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1. [2026 亳州期末] 下列能判断$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A = 40°, ∠ B = 80°$
B.$∠ A = 40°, ∠ B = 60°$
C.$∠ A = 20°, ∠ C = 80°$
D.$∠ B = 30°, ∠ C = 70°$
C
）A.$∠ A = 40°, ∠ B = 80°$
B.$∠ A = 40°, ∠ B = 60°$
C.$∠ A = 20°, ∠ C = 80°$
D.$∠ B = 30°, ∠ C = 70°$
答案
1.C
2. 教材P96练习T1变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 36°$,$∠ C = 72°$,折叠该纸片,使点A,B重合,折痕交AC于点D,连接BD,则图中的等腰三角形有
3
个.答案
∵ ∠A = 36°, ∠C = 72°,
∴ ∠ABC = 180° - 36° - 72° =72°,
∴ ∠ABC = ∠C = 72°,
∴ AB = AC,
∴ △ABC 是等腰三角形.
∵ 折叠该纸片,点 A,B 重合,折痕交 AC 于点 D,
∴ BD =AD,
∴ △ABD 是等腰三角形,
∴ ∠ABD = ∠A = 36°,
∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 72° - 36° = 36°,
∴ ∠BDC =180° - ∠C - ∠DBC = 72°,
∴ ∠BDC = ∠C,
∴ BD = BC,
∴ △BDC 是等腰三角形,
∴ 题图中的等腰三角形有 3 个.
3. [2026 潮州潮安区期中] 如图，上午10:00，一艘轮船从A地出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12:00到达B地，从A，B两地观望灯塔C，测得$∠ DAC = 40°$，$∠ DBC = 80°$，则从B地到灯塔C的距离为
40
海里。答案
∵ ∠DAC = 40°, ∠DBC = 80°, ∠DBC = ∠CAB +∠BCA,
∴ ∠BCA = ∠DBC - ∠DAC = 40°,
∴ ∠BCA = ∠BAC =40°,
∴ BC = BA.
∵ 该轮船以 20 海里/时的速度航行了 2 小时,
∴ BC = AB = 20 × 2 = 40(海里).
4. 教材P94探索变式 在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一判定定理时,慧慧先画出图形,再写出“已知”和“求证”(如下框所示),并给出证明思路:如图,过点A作BC的垂直平分线AD,垂足为点D.
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
(1)慧慧作的辅助线正确吗？若错误,请改正.
(2)根据慧慧的证明思路,写出完整的证明过程.
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
(1)慧慧作的辅助线正确吗？若错误,请改正.
(2)根据慧慧的证明思路,写出完整的证明过程.
答案
解:(1)不正确,正确的辅助线作法是过点 A 作 AD ⊥ BC于点 D.
(2)
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°.
在△ADB 和△ADC 中,∠B = ∠C, ∠ADB = ∠ADC,AD = AD,
∴ △ADB≌△ADC(AAS),
∴ AB = AC(全等三角形的对应边相等).
(2)
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°.
在△ADB 和△ADC 中,∠B = ∠C, ∠ADB = ∠ADC,AD = AD,
∴ △ADB≌△ADC(AAS),
∴ AB = AC(全等三角形的对应边相等).
5. 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$∠ EDF = ∠ C$.
(1)求证:$∠ BDF = ∠ A$.
(2)若$∠ A = 45°$,$DF$平分$∠ BDE$,求$△ ABC$的形状.
(1)求证:$∠ BDF = ∠ A$.
(2)若$∠ A = 45°$,$DF$平分$∠ BDE$,求$△ ABC$的形状.
答案
(1)证明:
∵ DE//BC,
∴ ∠AED = ∠C(两直线平行,同位角相等).
∵ ∠EDF = ∠C,
∴ ∠EDF = ∠AED,
∴ DF//AC,
∴ ∠BDF = ∠A(两直线平行,同位角相等).
(2)解:
∵ ∠BDF = ∠A,
∴ ∠BDF = 45°.
∵ DF 平分∠BDE,
∴ ∠BDE = 2∠BDF = 90°.
∵ DE//BC,
∴ ∠B = 180° - ∠BDE = 90°,
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 45°,
∴ ∠C = ∠A,
∴ AB = BC(等角对等边),
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
∵ DE//BC,
∴ ∠AED = ∠C(两直线平行,同位角相等).
∵ ∠EDF = ∠C,
∴ ∠EDF = ∠AED,
∴ DF//AC,
∴ ∠BDF = ∠A(两直线平行,同位角相等).
(2)解:
∵ ∠BDF = ∠A,
∴ ∠BDF = 45°.
∵ DF 平分∠BDE,
∴ ∠BDE = 2∠BDF = 90°.
∵ DE//BC,
∴ ∠B = 180° - ∠BDE = 90°,
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 45°,
∴ ∠C = ∠A,
∴ AB = BC(等角对等边),
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
6. 给出下列条件:①三条边都相等的三角形；②三个内角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为$60°$的等腰三角形.其中能判定该三角形为等边三角形的有
①②④
.(填序号)答案
①②④
7. [2026长春153中期末]将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置,已知$∠α=60°$,点$B,C$表示的刻度分别为$1\ \mathrm{cm},3\ \mathrm{cm}$,则线段$AB$的长为
2
cm.答案
∵ 直尺的两边互相平行,
∴ ∠ACB = ∠α = 60°,又
∵ ∠A = 60°,
∴ ∠ABC = 60°,
∴ △ABC 是等边三角形.
∵ 点B,C 表示的刻度分别为 1 cm,3 cm,
∴ BC = 2 cm,
∴ AB = BC = 2 cm.
