如图,在△ABC中,AB = AC,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且不与端点重合,连接AD,BE.
(1)若BE⊥AC,∠C = 66°,则∠ABE的度数为.
(2)若BE平分∠ABC,∠BEC = 72°,则∠BAC的度数为.
(3)若BE平分∠ABC,D为BC中点,∠CAD = 26°,则∠ABE的度数为.

(4)若AD,BE都是△ABC的高,探究∠BAC和∠EBC的数量关系,并说明理由.
(5)若∠BAC = $\frac{1}{2}$∠C,BE = AE,求证:△EBC是等腰三角形.

(1)42°
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C = 66°.
∵ BE ⊥ AC,
∴ ∠BEC = 90°,
∴ ∠EBC = 90° - ∠C = 90° - 66° = 24°,
∴ ∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 66° - 24° = 42°.
(2)36°
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠EBC.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC =∠ACB = 2∠EBC.
∵ ∠EBC + ∠ACB + ∠BEC = 180°,∠BEC = 72°,
∴ 3∠EBC + 72° = 180°,
∴ ∠EBC = 36°,
∴ ∠ABE = 36°,
∴ ∠BAC = ∠BEC - ∠ABE = 72° - 36° = 36°.
(3)32°
∵ AB = AC,D 为 BC 中点,
∴ AD ⊥ BC.
∵ ∠CAD = 26°,
∴ ∠C = 64°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C = 64°.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = 32°.
(4)解:∠BAC = 2∠EBC. 理由如下:
∵ AD,BE 都是△ABC 的高,AB = AC,
∴ ∠ADC = 90°,∠BEC = 90°,AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAC = 2∠DAC,∠DAC + ∠C = 90°,∠EBC + ∠C = 90°,
∴ ∠DAC = ∠EBC,
∴ ∠BAC = 2∠EBC.
(5)证明:
∵ AB = AC,∠BAC = $\frac{1}{2}$∠C,
∴ ∠ABC = ∠C = 2∠BAC.
∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°,
∴ ∠BAC + 2∠BAC + 2∠BAC = 180°,
解得∠BAC = 36°,
∴ ∠ABC = ∠C = 72°.
∵ BE = AE,
∴ ∠ABE = ∠BAC = 36°.
∵ ∠BEC = ∠BAC + ∠ABE = 36° + 36° = 72°,
∴ ∠BEC = ∠C,
∴ BE = BC,
∴ △EBC 是等腰三角形.

已知$△ ABC$是等边三角形.
【观察猜想】
(1)如图1,点D在线段AB上,$DE// BC$,交AC于点E,则$△ ADE$的形状为.
【实践发现】
如图2,点D为线段AB外一点,连接AD,以AD为一边作等边三角形ADE,连接BD,CE.
(2)猜想BD与CE的数量关系,并说明理由.
(3)BD与CE相交所形成的锐角的度数为.
【深入探究】
若点D在线段AB上,点F在线段CB的延长线上,$DF=DC$.
(4)如图3,当点D为AB的中点时,线段AD与BF的数量关系为.
(5)如图4,当点D为AB上任意一点时,其余条件不变,猜想线段AD与BF的数量关系,并说明理由.

(1)等边三角形
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B = 60°,∠AED = ∠C = 60°,
∴ △ADE 是等边三角形.
(2)BD = CE. 理由如下:
∵ △ABC,△ADE 都是等边三角形,
∴ ∠BAC = ∠DAE = 60°,AB = AC,AD = AE,
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
AB = AC, ∠BAD = ∠CAE, AD = AE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ BD = CE.
(3)60°
如图1,延长 BD 交 CE 于点 F. 由(2)知△BAD≌△CAE,
∴ ∠ACE = ∠ABD. 在△BCF 中,∠BCF + ∠CBF + ∠BFC =180°,
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠CBF + ∠BFC = 180°,
∴ 60° +60° + ∠BFC = 180°,
∴ ∠BFC = 60°.
(4)AD = BF
当点 D 为 AB 的中点时,AD = BD.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ACD = ∠BCD = 30°.
∵ DF = DC,
∴ ∠F = ∠BCD = 30°.
∵ ∠ABC = ∠BDF + ∠F = 60°,
∴ ∠BDF = 30°,
∴ ∠F =∠BDF,
∴ BD = BF,
∴ AD = BF.
(5)AD = BF. 理由如下:
如图2,过点 D 作 DE//BC,交 AC 于点 E.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠ABC = 60°,∠AED = ∠ACB = 60°,
∴ △ADE 是等边三角形,
∴ AD = DE = AE,
∴ BD = CE.
∵ DF = DC,
∴ ∠DCF = ∠F.
∵ ∠FDB = ∠DBC - ∠F = 60° - ∠F,∠DCE = 60° - ∠DCF,
∴ ∠FDB = ∠DCE.
在△BFD 和△EDC 中,BD = EC, ∠FDB = ∠DCE, DF = CD,
∴ △BFD≌△EDC(SAS),
∴ BF = DE,
∴ AD = BF.