1. [2026广州白云区期中]等腰三角形的一个内角是70°,则它的底角是.

1 70°或55° ①当顶角为70°时,底角为$\frac{180°-70°}{2}=55°$;②底角为70°.

2. 教材P99习题T1变式 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形ABC的周长为20,其中一边长为8,则它的“优美比”为.

2 $\frac{4}{3}$或$\frac{1}{2}$ ①当8为腰长时,$△ ABC$的底边长为$20 - 8 - 8 = 4$,$\therefore$ 该等腰三角形的“优美比”为$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. ②当8为底边长时,$△ ABC$的腰长为$\frac{1}{2}×(20 - 8)=6$,$\therefore$ 该等腰三角形的“优美比”为$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

3. 如图,每个小方格的边长均为1,点A,B,C都在小方格的格点上,则使$△ ABC$为等腰三角形的格点C有个.

3 8 ①当AB为底边时,作AB的垂直平分线,可找出5个格点C;②当AB为腰时,分别以点A,B为圆心、AB长为半径画弧,可找出3个格点C. 综上所述,这样的格点C有8个.

4. 如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,若BE是△ABC的中线,且BE把△ABC的周长分为10和18两部分,求AB的长.

4 解:设$AB = AC = 2x$,$BC = y$.
$\because BE$是$△ ABC$的中线,$\therefore AE = EC = x$.
①若$AB + AE$的长为10,则$2x + x = 10$,解得$x=\frac{10}{3}$.
由$BC + CE = 18$,得$x + y = 18$,即$\frac{10}{3}+y=18$,解得$y=\frac{44}{3}$,此时不能组成三角形,应舍去.
②若$AB + AE$的长为18,则$2x + x = 18$,解得$x = 6$.
由$BC + CE = 10$,得$x + y = 10$,即$6 + y = 10$,解得$y = 4$,此时能组成三角形,$\therefore AB$的长为12.

5. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$,求该等腰三角形底角的度数.

5 解:①如图1,当等腰三角形为锐角三角形时,
$AB = AC$,$BD ⊥ AC$于点D.
$\because ∠ ABD = 40°$,$\therefore ∠ A = 90°-40°=50°$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ABC = \frac{1}{2}(180°-∠ A)=65°$.

②如图2,当等腰三角形为钝角三角形时,
$AB = AC$,$BD ⊥ AC$交$CA$的延长线于点D.
$\because ∠ ABD = 40°$,$\therefore ∠ BAD = 90°-40°=50°$.
$\because ∠ ABC = ∠ ACB$,$∠ ABC + ∠ ACB = ∠ BAD = 50°$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BAD = 25°$.
综上所述,该等腰三角形的底角为$65°$或$25°$.

6. 新趋势·过程性学习 [2025 廊坊香河期中]
如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ ABC = 70°$,分别以点$A,B$为圆心,$AB$长为半径画弧,两弧交于点$P$,求$∠ APC$的度数.嘉嘉求的结果是$∠ APC = 40°$,淇淇说嘉嘉的解答正确,但不全面,$∠ APC$还有另一个不同的度数.请你写出嘉嘉的推理过程,并求出$∠ APC$的另一个不同的度数.(提示:可按照题中描述用尺规画图后求解)

6 解:如图,在$△ ABC$中,$\because AB = AC$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ ABC = 70°$,$\therefore ∠ BAC = 40°$.
①当点$P$在$AB$的左侧时,$AB = AP = BP$,
$\therefore △ ABP$为等边三角形,$\therefore ∠ PAB = 60°$,
$\therefore ∠ PAC = ∠ PAB + ∠ BAC = 100°$.
$\because AB = AC$,$\therefore AP = AC$,$\therefore △ APC$是等腰三角形,
$\therefore ∠ APC = \frac{1}{2}(180°-∠ PAC)=40°$.
②当点$P$在$AB$的右侧时,同理$△ ABP'$是等边三角形,
$\therefore ∠ BAP' = 60°$,$\therefore ∠ CAP' = ∠ BAP' - ∠ BAC = 60°-40°=20°$.
$\because AP' = AB = AC$,$\therefore △ ACP'$是等腰三角形,
$\therefore ∠ CP'A = \frac{1}{2}(180°-∠ CAP')=80°$,
$\therefore ∠ APC$的另一个度数是$80°$.