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1. （2025·徐州期中）【问题背景】七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0.你能做到吗？”
【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)$，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为-1；小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：$(1,3,5,7,9,11),(2,4,6,8,10,12)$，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了.
(1)小薇、小娟两位同学的办法中
【变式探究】(2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为-4，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果；如果不能，请说明理由.
【拓展延伸】(3)在$1,2,3,4,···,2\,007$共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果；如果不能，请说明理由.
【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)$，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为-1；小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：$(1,3,5,7,9,11),(2,4,6,8,10,12)$，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了.
(1)小薇、小娟两位同学的办法中
小薇
的办法是可行的.【变式探究】(2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为-4，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果；如果不能，请说明理由.
【拓展延伸】(3)在$1,2,3,4,···,2\,007$共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果；如果不能，请说明理由.
答案
1.(1)小薇
解析：小薇:$(1-2)+(-3+4)+(5-6)+(-7+8)+(9-10)+(-11+12)=0$,所以小薇的办法可行;小娟:因为$2+4+6+8+10+12=42$,所以要使6个偶数和为0,则要使其中一部分偶数和为$42÷2=21$,又因为偶数的和仍为偶数,所以小娟的办法不可行.
(2)能，示例：$-1+2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12=-4$
解析：将这12个数分成6组:$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)$,通过添加正负号让其中五组中各数的和都为-1,另外一组的和为1,即$(2-1)+(-4+3)+(-6+5)+(-8+7)+(-10+9)+(-12+11)=-4$.
(3)能，具体操作示例：将$1,2,3,4,\dots,2\ 006$分为1 003组,分别为$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),\dots,(2\ 001,2\ 002),(2\ 003,2\ 004),(2\ 005,2\ 006)$,使其中493组结果为-1,剩下510组结果为1,则这2 007个数的和为$-1×493+510+2\ 007=2\ 024$.
解析：在$1,2,3,4,\dots,2\ 006,2\ 007$中,一共有1 003个偶数,1 004个奇数,偶数个奇数的和是偶数,奇数个偶数的和是偶数,且偶数+偶数=偶数,所以能使它们的和为2 024.
解析：小薇:$(1-2)+(-3+4)+(5-6)+(-7+8)+(9-10)+(-11+12)=0$,所以小薇的办法可行;小娟:因为$2+4+6+8+10+12=42$,所以要使6个偶数和为0,则要使其中一部分偶数和为$42÷2=21$,又因为偶数的和仍为偶数,所以小娟的办法不可行.
(2)能，示例：$-1+2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12=-4$
解析：将这12个数分成6组:$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)$,通过添加正负号让其中五组中各数的和都为-1,另外一组的和为1,即$(2-1)+(-4+3)+(-6+5)+(-8+7)+(-10+9)+(-12+11)=-4$.
(3)能，具体操作示例：将$1,2,3,4,\dots,2\ 006$分为1 003组,分别为$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),\dots,(2\ 001,2\ 002),(2\ 003,2\ 004),(2\ 005,2\ 006)$,使其中493组结果为-1,剩下510组结果为1,则这2 007个数的和为$-1×493+510+2\ 007=2\ 024$.
解析：在$1,2,3,4,\dots,2\ 006,2\ 007$中,一共有1 003个偶数,1 004个奇数,偶数个奇数的和是偶数,奇数个偶数的和是偶数,且偶数+偶数=偶数,所以能使它们的和为2 024.
2. （2025·盐城校级期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变.图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数.
（1）请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边都变为相同的数（箭头上标注具体操作）.
（2）如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由.
（3）能否将2,4,6,9这4个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由.
（1）请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边都变为相同的数（箭头上标注具体操作）.
（2）如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由.
（3）能否将2,4,6,9这4个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由.
答案
2.(1)合理即可，示例见
(2)最少需要通过2次操作，理由：如果只进行1次操作,只能改变相邻的两个数,剩下的两个数不相等,因此最少需要通过2次操作，示例见
(3)不能，理由如下:$2+4+6+9=21$为奇数,每一次操作,将相邻两个数都减去同一个数,得到的四个数的和仍为奇数,由题意知,最终得到四个相同的数,所以最后得到的四个数的和应为偶数,所以不能将2,4,6,9这4个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上,使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数.
