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3. (2025·连云港期中)【问题背景】
新苏科版数学教材七上第68,81,83页分别出现了程序计算问题,这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程.其实,计算机的运算编程与数学原理是密不可分的,相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验,完成下列探究活动.
【课本变式】
(1)如图①中的程序计算,若小明输入a的值为-2,则输出的结果为
(2)小丽设置了一个程序计算如图②.若输出结果为4,则输入的x的值为
【拓展延伸】
(3)小雷同学也设置了一个程序计算如图③,A,B是数据输入口,C是计算结果的出口,计算过程是由A,B分别输入自然数x和y,经过计算后的结果w由C输出,此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征:
①若由A,B分别输入1,则输出结果3,记$w=C(1,1)=3$;
②若由B输入1,由A输入的自然数比原来增加1,则输出结果为原来的3倍,记$w=C(x+1,1)=3C(x,1)$;
③若由A输入的任何固定自然数不变,由B输入的自然数比原来增加1,则输出结果比原来增大4,记$w=C(x,y+1)=C(x,y)+4$.
回答下列问题:
问题1:计算$w=C(2,1)=$
问题2:计算$w=C(m,n)$.(用含$m,n$的代数式表示)
新苏科版数学教材七上第68,81,83页分别出现了程序计算问题,这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程.其实,计算机的运算编程与数学原理是密不可分的,相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验,完成下列探究活动.
【课本变式】
(1)如图①中的程序计算,若小明输入a的值为-2,则输出的结果为
-2
.(2)小丽设置了一个程序计算如图②.若输出结果为4,则输入的x的值为
2或-1
.【拓展延伸】
(3)小雷同学也设置了一个程序计算如图③,A,B是数据输入口,C是计算结果的出口,计算过程是由A,B分别输入自然数x和y,经过计算后的结果w由C输出,此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征:
①若由A,B分别输入1,则输出结果3,记$w=C(1,1)=3$;
②若由B输入1,由A输入的自然数比原来增加1,则输出结果为原来的3倍,记$w=C(x+1,1)=3C(x,1)$;
③若由A输入的任何固定自然数不变,由B输入的自然数比原来增加1,则输出结果比原来增大4,记$w=C(x,y+1)=C(x,y)+4$.
回答下列问题:
问题1:计算$w=C(2,1)=$
9
,$w=C(2,2)=$13
;问题2:计算$w=C(m,n)$.(用含$m,n$的代数式表示)
答案
3.(1)-2
解析：当$a=-2$时,$a^2=(-2)^2=4$,$(4-2)×(-3)+4=-2$.
(2)2或-1
解析：第一种情况:当$x＞0$时,$4x^2-12=4$,得到$x^2=4$,即$x=\pm2$,由$x＞0$得$x=2$;第二种情况:当$x≤0$时,$-4x=4$,$x=-1$,所以输入的$x$的值是2或-1.
(3)问题1:9 13
解析：$C(1,1)=3$,则$w=C(2,1)=C(1+1,1)=3×3=9$,又因为$C(x,y+1)=C(x,y)+4$,$C(2,1)=9$,所以$C(2,2)=C(2,1+1)=C(2,1)+4=9+4=13$.
问题2:$w=C(m,n)=3^m+4(n-1)$
解析：$C(1,1)=3$,$C(x+1,1)=3C(x,1)$,所以$C(m-1,1)=3C(m-2,1)$,$C(m-2,1)=3C(m-3,1)$,$\dots$,即$C(m,1)=3^{m-1}C(1,1)=3^{m-1}×3=3^m$,同理,$C(m,n)=C(m,n-1)+4$,$C(m,n-1)=C(m,n-2)+4$,$\dots$,所以$C(m,n)=C(m,1)+4(n-1)$,所以$w=C(m,n)=3^m+4(n-1)$.
解析：当$a=-2$时,$a^2=(-2)^2=4$,$(4-2)×(-3)+4=-2$.
(2)2或-1
解析：第一种情况:当$x＞0$时,$4x^2-12=4$,得到$x^2=4$,即$x=\pm2$,由$x＞0$得$x=2$;第二种情况:当$x≤0$时,$-4x=4$,$x=-1$,所以输入的$x$的值是2或-1.
(3)问题1:9 13
解析：$C(1,1)=3$,则$w=C(2,1)=C(1+1,1)=3×3=9$,又因为$C(x,y+1)=C(x,y)+4$,$C(2,1)=9$,所以$C(2,2)=C(2,1+1)=C(2,1)+4=9+4=13$.
问题2:$w=C(m,n)=3^m+4(n-1)$
解析：$C(1,1)=3$,$C(x+1,1)=3C(x,1)$,所以$C(m-1,1)=3C(m-2,1)$,$C(m-2,1)=3C(m-3,1)$,$\dots$,即$C(m,1)=3^{m-1}C(1,1)=3^{m-1}×3=3^m$,同理,$C(m,n)=C(m,n-1)+4$,$C(m,n-1)=C(m,n-2)+4$,$\dots$,所以$C(m,n)=C(m,1)+4(n-1)$,所以$w=C(m,n)=3^m+4(n-1)$.
