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1. 一列匀速前进的火车,从它进入 320 m 长的隧道到完全通过隧道共用了 18 s,隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照了 10 s,则这列火车的长为 （
A.190 m
B.400 m
C.380 m
D.240 m
B
）A.190 m
B.400 m
C.380 m
D.240 m
答案
1. B 提示:设这列火车的长为 x m.根据题意,得$\frac{320+x}{18}=\frac{x}{10}$,解得 x=400,即这列火车的长为 400 m.
解析
【分析】
这道题是典型的火车过隧道类行程问题，核心突破口是火车匀速行驶，速度始终保持不变。我们可以分两步梳理已知条件的逻辑关系：第一步，先明确“火车完全通过隧道”的实际行驶路程，是隧道自身长度加上火车自身的长度，对应总用时18s，就可以用含火车长度的代数式表示出火车速度；第二步，明确“灯光在火车上照了10s”的含义，灯光是固定不动的，这段时间火车行驶的路程刚好就是火车自身的长度，同样可以用含火车长度的代数式表示速度；最后利用匀速运动速度相等的关系列方程，就能解出火车长度。
【解析】
解：设这列火车的长度为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 推导两种场景下的速度表达式：
火车完全通过320m长的隧道，行驶总路程为隧道长+火车长，即$ (320+x) \, \mathrm{m} $，用时18s，因此火车速度可表示为$ \frac{320+x}{18} \, \mathrm{m/s} $。
固定灯光照射火车的10s内，火车行驶的路程恰好等于自身长度$ x \, \mathrm{m} $，因此火车速度也可表示为$ \frac{x}{10} \, \mathrm{m/s} $。
2. 列方程求解：
由于火车匀速行驶，两个场景下速度相等，可得方程：
$ \frac{320+x}{18} = \frac{x}{10} $
交叉相乘去分母：$ 10(320+x) = 18x $
展开整理：$ 3200 + 10x = 18x $
移项合并同类项：$ 8x = 3200 $
解得：$ x = 400 $
即这列火车的长度为400m。
【答案】
B.400 m
【知识点】
一元一次方程实际应用；火车过桥行程模型
【点评】
本题的易错点是对两个场景的行驶路程判断错误，不少同学会误将完全通过隧道的路程直接当成隧道长度320m，或是搞错灯光照射对应的行驶路程，只要抓住“匀速运动速度不变”这个核心等量关系，理清不同场景下的实际行驶路程，就能快速建立方程求解。
【难度系数】
0.6
这道题是典型的火车过隧道类行程问题，核心突破口是火车匀速行驶，速度始终保持不变。我们可以分两步梳理已知条件的逻辑关系：第一步，先明确“火车完全通过隧道”的实际行驶路程，是隧道自身长度加上火车自身的长度，对应总用时18s，就可以用含火车长度的代数式表示出火车速度；第二步，明确“灯光在火车上照了10s”的含义，灯光是固定不动的，这段时间火车行驶的路程刚好就是火车自身的长度，同样可以用含火车长度的代数式表示速度；最后利用匀速运动速度相等的关系列方程，就能解出火车长度。
【解析】
解：设这列火车的长度为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 推导两种场景下的速度表达式：
火车完全通过320m长的隧道，行驶总路程为隧道长+火车长，即$ (320+x) \, \mathrm{m} $，用时18s，因此火车速度可表示为$ \frac{320+x}{18} \, \mathrm{m/s} $。
固定灯光照射火车的10s内，火车行驶的路程恰好等于自身长度$ x \, \mathrm{m} $，因此火车速度也可表示为$ \frac{x}{10} \, \mathrm{m/s} $。
2. 列方程求解：
由于火车匀速行驶，两个场景下速度相等，可得方程：
$ \frac{320+x}{18} = \frac{x}{10} $
交叉相乘去分母：$ 10(320+x) = 18x $
展开整理：$ 3200 + 10x = 18x $
移项合并同类项：$ 8x = 3200 $
解得：$ x = 400 $
即这列火车的长度为400m。
【答案】
B.400 m
【知识点】
一元一次方程实际应用；火车过桥行程模型
【点评】
本题的易错点是对两个场景的行驶路程判断错误，不少同学会误将完全通过隧道的路程直接当成隧道长度320m，或是搞错灯光照射对应的行驶路程，只要抓住“匀速运动速度不变”这个核心等量关系，理清不同场景下的实际行驶路程，就能快速建立方程求解。
【难度系数】
0.6
2. 某公园改造一块长方形草地，长增加20%，宽减少20%，则这块长方形草地的面积 （
A.减少4%
B.不改变
C.增大4%
D.增大10%
A
）A.减少4%
B.不改变
C.增大4%
D.增大10%
答案
2. A 提示:设原长方形的长为a,宽为b,则面积为ab,新长方形的长为1.2a,宽为0.8b,则面积为0.96ab.所以这块长方形草地的面积减少$(1-\frac{0.96ab}{ab})×100\%=4\%$.
解析
【分析】
这道题没有直接给出长方形原来的长和宽，我们可以通过设未知数的方式简化计算：首先回忆长方形面积=长×宽，先设定原长方形的长和宽，算出原面积；再根据题目给出的长增加20%、宽减少20%的条件，算出变化后的新长和新宽，得到新面积；最后对比新面积和原面积，计算面积的变化比例，就能得到结果。也可以用设特殊值的方法，比如直接设原长、原宽为10这类方便计算的数，能更快得出结果。
【解析】
解：设原长方形草地的长为a，宽为b，
1. 计算原面积：根据长方形面积公式，原面积 $ S_{原} = a × b = ab $
2. 计算变化后的长和宽：
长增加20%，新长为 $ a × (1+20\%) = 1.2a $
宽减少20%，新宽为 $ b × (1-20\%) = 0.8b $
3. 计算新面积：新面积 $ S_{新} = 1.2a × 0.8b = 0.96ab $
4. 计算面积变化比例：
变化量占原面积的比例为 $ \frac{S_{原} - S_{新}}{S_{原}} × 100\% = \frac{ab - 0.96ab}{ab} × 100\% = 4\% $
说明面积相比原来减少了4%。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算，百分数的应用
【点评】
本题属于百分数应用的易错题，很多同学会错误认为长增加20%、宽减少20%后面积不变，忽略了两次变化的单位“1”并不相同，通过设字母或者设特殊值的方法都可以快速推导得到正确结果，不需要额外记忆结论。
【难度系数】
0.8
这道题没有直接给出长方形原来的长和宽，我们可以通过设未知数的方式简化计算：首先回忆长方形面积=长×宽，先设定原长方形的长和宽，算出原面积；再根据题目给出的长增加20%、宽减少20%的条件，算出变化后的新长和新宽，得到新面积；最后对比新面积和原面积，计算面积的变化比例，就能得到结果。也可以用设特殊值的方法，比如直接设原长、原宽为10这类方便计算的数，能更快得出结果。
【解析】
解：设原长方形草地的长为a，宽为b，
1. 计算原面积：根据长方形面积公式，原面积 $ S_{原} = a × b = ab $
2. 计算变化后的长和宽：
长增加20%，新长为 $ a × (1+20\%) = 1.2a $
宽减少20%，新宽为 $ b × (1-20\%) = 0.8b $
3. 计算新面积：新面积 $ S_{新} = 1.2a × 0.8b = 0.96ab $
4. 计算面积变化比例：
变化量占原面积的比例为 $ \frac{S_{原} - S_{新}}{S_{原}} × 100\% = \frac{ab - 0.96ab}{ab} × 100\% = 4\% $
说明面积相比原来减少了4%。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算，百分数的应用
【点评】
本题属于百分数应用的易错题，很多同学会错误认为长增加20%、宽减少20%后面积不变，忽略了两次变化的单位“1”并不相同，通过设字母或者设特殊值的方法都可以快速推导得到正确结果，不需要额外记忆结论。
【难度系数】
0.8
3. 从现在开始算，3年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，2年后哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍. 设哥哥现在的年龄是$x$岁，下列方程正确的是（
A.$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{x-3}{3}+5$
B.$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{x-3}{3}+3$
C.$\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{x-2}{2}-3$
D.$\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{x-3}{2}-5$
A
）A.$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{x-3}{3}+5$
B.$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{x-3}{3}+3$
C.$\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{x-2}{2}-3$
D.$\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{x-3}{2}-5$
答案
3. A 提示:根据题意,得2年后妹妹的年龄是$\frac{x+2}{2}$岁,3年前妹妹的年龄是$\frac{x-3}{3}$岁,2年后与3年前相比,妹妹的年龄增长了5岁,所以$\frac{x+2}{2}=\frac{x-3}{3}+5$.
解析
【分析】
这道题的核心是通过不同时间点的年龄关系建立等量方程，我们可以按照以下思路推导：
1. 先根据已知条件，用哥哥现在的年龄x分别表示出两个关键时间点的妹妹年龄：首先3年前哥哥的年龄是x-3，对应此时哥哥年龄是妹妹的3倍，因此3年前妹妹的年龄就是$\frac{x-3}{3}$；接着2年后哥哥的年龄是x+2，对应此时哥哥年龄是妹妹的2倍，因此2年后妹妹的年龄就是$\frac{x+2}{2}$。
2. 接下来找这两个妹妹年龄的等量关系：从3年前到2年后，时间跨度是3年（到现在）+2年（到2年后）=5年，也就是说2年后妹妹的年龄比3年前妹妹的年龄大5岁，把刚才得到的两个表达式代入这个关系，就能得到正确方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知哥哥现在的年龄为x岁：
① 3年前哥哥的年龄为$x-3$，由“3年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍”，可得3年前妹妹的年龄为$\frac{x-3}{3}$；
② 2年后哥哥的年龄为$x+2$，由“2年后哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍”，可得2年后妹妹的年龄为$\frac{x+2}{2}$；
③ 从3年前到2年后，经过的总时长为$3+2=5$年，即2年后妹妹的年龄比3年前妹妹的年龄多5岁，据此列方程：
$\frac{x+2}{2}=\frac{x-3}{3}+5$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，年龄问题
【点评】
本题属于年龄问题的基础变型题，没有直接设妹妹的年龄为未知数，而是通过两个时间点妹妹的年龄差建立等量关系，解题的核心是准确计算两个时间节点之间的间隔年数，不少同学容易误将间隔算为3年错选B，要注意年龄随时间同步增长的规律。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是通过不同时间点的年龄关系建立等量方程，我们可以按照以下思路推导：
1. 先根据已知条件，用哥哥现在的年龄x分别表示出两个关键时间点的妹妹年龄：首先3年前哥哥的年龄是x-3，对应此时哥哥年龄是妹妹的3倍，因此3年前妹妹的年龄就是$\frac{x-3}{3}$；接着2年后哥哥的年龄是x+2，对应此时哥哥年龄是妹妹的2倍，因此2年后妹妹的年龄就是$\frac{x+2}{2}$。
2. 接下来找这两个妹妹年龄的等量关系：从3年前到2年后，时间跨度是3年（到现在）+2年（到2年后）=5年，也就是说2年后妹妹的年龄比3年前妹妹的年龄大5岁，把刚才得到的两个表达式代入这个关系，就能得到正确方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知哥哥现在的年龄为x岁：
① 3年前哥哥的年龄为$x-3$，由“3年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍”，可得3年前妹妹的年龄为$\frac{x-3}{3}$；
② 2年后哥哥的年龄为$x+2$，由“2年后哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍”，可得2年后妹妹的年龄为$\frac{x+2}{2}$；
③ 从3年前到2年后，经过的总时长为$3+2=5$年，即2年后妹妹的年龄比3年前妹妹的年龄多5岁，据此列方程：
$\frac{x+2}{2}=\frac{x-3}{3}+5$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，年龄问题
【点评】
本题属于年龄问题的基础变型题，没有直接设妹妹的年龄为未知数，而是通过两个时间点妹妹的年龄差建立等量关系，解题的核心是准确计算两个时间节点之间的间隔年数，不少同学容易误将间隔算为3年错选B，要注意年龄随时间同步增长的规律。
【难度系数】
0.6
4. 为了节约用水,某自来水公司采取以下收费方法:若每户每月用水不超过15 t,则每吨水收费2元;若每户每月用水超过15 t,则超过部分按每吨2.5元收费. 已知9 月份小明家用水 $a\ \mathrm{t}(a＞15)$,实际交水费 50 元,则小明家实际用水
23
t.答案
4. 23
解析
【分析】
这是分段计费类的应用题，首先已知小明家用水量a＞15，说明水费需要分成两部分计算：第一部分是不超过15t的部分，按每吨2元计费；第二部分是超出15t的部分，即(a-15)t，按每吨2.5元计费，两部分费用之和等于实际缴纳的50元，据此列出一元一次方程，求解即可得到小明家的实际用水量。
【解析】
解：已知a＞15，因此总水费由两部分构成：
1. 15t水的费用：$15×2 = 30$ 元
2. 超出15t部分的水费：$2.5×(a - 15)$ 元
根据总水费为50元，列方程得：
$15×2 + 2.5(a-15) = 50$
展开计算：
$30 + 2.5a - 37.5 = 50$
整理得：
$2.5a = 57.5$
解得：
$a = 23$
【答案】
23
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的分段计费应用题，解题核心是先确认用水量对应的收费档位，避免直接将全部用水量按超出部分的单价计算，理清不同档位的计费规则后即可快速列方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类的应用题，首先已知小明家用水量a＞15，说明水费需要分成两部分计算：第一部分是不超过15t的部分，按每吨2元计费；第二部分是超出15t的部分，即(a-15)t，按每吨2.5元计费，两部分费用之和等于实际缴纳的50元，据此列出一元一次方程，求解即可得到小明家的实际用水量。
【解析】
解：已知a＞15，因此总水费由两部分构成：
1. 15t水的费用：$15×2 = 30$ 元
2. 超出15t部分的水费：$2.5×(a - 15)$ 元
根据总水费为50元，列方程得：
$15×2 + 2.5(a-15) = 50$
展开计算：
$30 + 2.5a - 37.5 = 50$
整理得：
$2.5a = 57.5$
解得：
$a = 23$
【答案】
23
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的分段计费应用题，解题核心是先确认用水量对应的收费档位，避免直接将全部用水量按超出部分的单价计算，理清不同档位的计费规则后即可快速列方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 如图，甲、乙两人沿着边长为90 m的正方形，按 $A \to B \to$ $C \to D \to A ···$ 的方向行走. 甲从点 $A$ 以
66 m/min 的速度行走，乙从点 $B$ 以72 m/min 的速度行走. 假设两人同时出发，则当乙第一次追上甲时，用了
66 m/min 的速度行走，乙从点 $B$ 以72 m/min 的速度行走. 假设两人同时出发，则当乙第一次追上甲时，用了
45
min.答案
5. 45 提示:设当乙第一次追上甲时,用了x min. 根据题意,得72x=66x+90×3,解得x=45.
解析
【分析】
这是典型的环形同向追及问题，解题思路如下：1. 先确定两人的初始路程差：两人沿$A \to B \to C \to D \to A$的方向行走，甲从A出发，乙从B出发，沿行走方向，速度更快的乙如果直接往甲的前进方向走，两人距离会越来越大，因此甲实际位于乙的环形路径前方，间隔了正方形的3条边长，初始路程差为$90×3=270\ \mathrm{m}$。2. 追及问题的核心等量关系是：速度快的人走的总路程 = 速度慢的人走的总路程 + 初始路程差。3. 设追及时间为$x$分钟，代入两人的速度列出一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设当乙第一次追上甲时，用了$x\ \mathrm{min}$。
根据追及的路程等量关系，乙行走的总路程等于甲行走的总路程加上初始的路程差，列方程得：
$72x = 66x + 90×3$
化简得：
$72x - 66x = 270$
$6x = 270$
解得：
$x=45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用，行程追及问题
【点评】
本题的易错点是误将初始路程差算为1条边长90m，忽略了两人同向沿正方形行走时，若乙初始位置在甲前进方向的前方，速度更快的乙会和甲拉开距离，因此实际追及的路程差是环形路径上乙到甲的反向间隔长度，理清两人的相对位置关系是解题的核心。
【难度系数】
0.6
这是典型的环形同向追及问题，解题思路如下：1. 先确定两人的初始路程差：两人沿$A \to B \to C \to D \to A$的方向行走，甲从A出发，乙从B出发，沿行走方向，速度更快的乙如果直接往甲的前进方向走，两人距离会越来越大，因此甲实际位于乙的环形路径前方，间隔了正方形的3条边长，初始路程差为$90×3=270\ \mathrm{m}$。2. 追及问题的核心等量关系是：速度快的人走的总路程 = 速度慢的人走的总路程 + 初始路程差。3. 设追及时间为$x$分钟，代入两人的速度列出一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设当乙第一次追上甲时，用了$x\ \mathrm{min}$。
根据追及的路程等量关系，乙行走的总路程等于甲行走的总路程加上初始的路程差，列方程得：
$72x = 66x + 90×3$
化简得：
$72x - 66x = 270$
$6x = 270$
解得：
$x=45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用，行程追及问题
【点评】
本题的易错点是误将初始路程差算为1条边长90m，忽略了两人同向沿正方形行走时，若乙初始位置在甲前进方向的前方，速度更快的乙会和甲拉开距离，因此实际追及的路程差是环形路径上乙到甲的反向间隔长度，理清两人的相对位置关系是解题的核心。
【难度系数】
0.6
6. 某种零件由甲、乙、丙三个工作组加工. 已知甲组有 $x$ 人,每人每小时可加工 8 件;乙组的人数比甲组的 $a$ 倍少 4 人,每人每小时可加工 10 件;丙组的人数比甲组的人数少 6 人,每人每小时加工 12 件. 若三个工作组同时工作 1 小时恰好完成 1 188件,则满足条件的所有正整数 $a$ 为
11 或 8 或 3
.答案
6. 11 或 8 或 3 提示:由题意可得,8x+10(ax-4)+12(x-6)=1 188,化简,得(2+a)x=130.因为a为正整数,所以130必能被x整除,则大于6的整数x可为10,13,26.当x=10时,a=13-2=11;当x=13时,a=10-2=8;当x=26时,a=5-2=3.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先根据题目给出的各组人数、单人每小时加工数，分别表示出三个组1小时的总加工量，根据总工作量为1188件列出方程；第二步对所列方程进行化简，得到关于正整数a和正整数x的不定方程；第三步结合实际场景的隐含约束：三个组的人数都必须是正整数，推导得到x的取值范围，再结合a是正整数的条件，找出130所有符合要求的正因数x，代入计算得到对应的正整数a即可。
【解析】
解：
1. 表示各组1小时加工总量：
甲组1小时加工总量：$8x$ 件；
乙组人数为 $(ax-4)$ 人，1小时加工总量：$10(ax-4)$ 件；
丙组人数为 $(x-6)$ 人，1小时加工总量：$12(x-6)$ 件。
2. 根据总工作量列方程：
三个组同时工作1小时共完成1188件，因此：
$8x + 10(ax-4) + 12(x-6) = 1188$
展开并整理方程：
$8x + 10ax - 40 + 12x -72 = 1188$
合并同类项得：
$20x +10ax = 1300$
两边同时除以10，化简得：
$(a+2)x = 130$
3. 结合实际约束筛选符合条件的正整数解：
因为各组人数必须为正整数，因此：
丙组人数 $x-6＞0$，即 $x＞6$；
乙组人数 $ax-4＞0$，且a、x均为正整数，因此 $a+2 ≥ 3$，x是130的正因数。
对130分解质因数得 $130=2×5×13$，它的所有正因数为1、2、5、10、13、26、65、130，结合$x＞6$筛选出候选x值为10、13、26、65、130：
当$x=10$时，$a+2=130÷10=13$，得$a=11$，符合正整数要求；
当$x=13$时，$a+2=130÷13=10$，得$a=8$，符合正整数要求；
当$x=26$时，$a+2=130÷26=5$，得$a=3$，符合正整数要求；
当$x=65$时，$a+2=130÷65=2$，得$a=0$，不是正整数，舍去；
当$x=130$时，$a+2=130÷130=1$，得$a=-1$，为负数，舍去。
因此满足条件的正整数a为11、8、3。
【答案】
11 或 8 或 3
【知识点】
列代数式，不定方程整数解，实际问题取值约束
【点评】
本题属于结合生产场景的代数综合题，核心考点是不定方程的正整数求解，容易出错的地方是忽略“工作组人数必须为正整数”的隐含约束，没有先限定x的取值范围就盲目枚举因数，导致多解或者漏解，对学生挖掘实际问题隐含条件的能力有一定考察作用。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：第一步先根据题目给出的各组人数、单人每小时加工数，分别表示出三个组1小时的总加工量，根据总工作量为1188件列出方程；第二步对所列方程进行化简，得到关于正整数a和正整数x的不定方程；第三步结合实际场景的隐含约束：三个组的人数都必须是正整数，推导得到x的取值范围，再结合a是正整数的条件，找出130所有符合要求的正因数x，代入计算得到对应的正整数a即可。
【解析】
解：
1. 表示各组1小时加工总量：
甲组1小时加工总量：$8x$ 件；
乙组人数为 $(ax-4)$ 人，1小时加工总量：$10(ax-4)$ 件；
丙组人数为 $(x-6)$ 人，1小时加工总量：$12(x-6)$ 件。
2. 根据总工作量列方程：
三个组同时工作1小时共完成1188件，因此：
$8x + 10(ax-4) + 12(x-6) = 1188$
展开并整理方程：
$8x + 10ax - 40 + 12x -72 = 1188$
合并同类项得：
$20x +10ax = 1300$
两边同时除以10，化简得：
$(a+2)x = 130$
3. 结合实际约束筛选符合条件的正整数解：
因为各组人数必须为正整数，因此：
丙组人数 $x-6＞0$，即 $x＞6$；
乙组人数 $ax-4＞0$，且a、x均为正整数，因此 $a+2 ≥ 3$，x是130的正因数。
对130分解质因数得 $130=2×5×13$，它的所有正因数为1、2、5、10、13、26、65、130，结合$x＞6$筛选出候选x值为10、13、26、65、130：
当$x=10$时，$a+2=130÷10=13$，得$a=11$，符合正整数要求；
当$x=13$时，$a+2=130÷13=10$，得$a=8$，符合正整数要求；
当$x=26$时，$a+2=130÷26=5$，得$a=3$，符合正整数要求；
当$x=65$时，$a+2=130÷65=2$，得$a=0$，不是正整数，舍去；
当$x=130$时，$a+2=130÷130=1$，得$a=-1$，为负数，舍去。
因此满足条件的正整数a为11、8、3。
【答案】
11 或 8 或 3
【知识点】
列代数式，不定方程整数解，实际问题取值约束
【点评】
本题属于结合生产场景的代数综合题，核心考点是不定方程的正整数求解，容易出错的地方是忽略“工作组人数必须为正整数”的隐含约束，没有先限定x的取值范围就盲目枚举因数，导致多解或者漏解，对学生挖掘实际问题隐含条件的能力有一定考察作用。
【难度系数】
0.3
7. 阅读诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数；两只栖一树，三只没去处；三只栖一树，闲了两棵树；请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的群鸦有
21
只.答案
7. 21 提示:设有x棵树. 根据题意,得2x+3=3×(x-2),解得x=9. 所以2x+3=21.所以诗句中谈到的群鸦有21只.
解析
【分析】
这道题是典型的古代数学实际应用题，解题核心是抓住“鸦的总数量是固定不变的”这个隐藏等量关系来列方程求解。首先我们可以优先设树的数量为未知数x：第一步先根据第一种栖息规则“两只栖一树，三只没去处”，表示出鸦的总数量为2x+3；第二步再根据第二种栖息规则“三只栖一树，闲了两棵树”，说明只有(x-2)棵树上栖息了乌鸦，由此表示出鸦的总数量为3(x-2)；第三步让两个表示鸦总数的代数式相等得到方程，解出树的数量后，代入就能算出鸦的总只数。
【解析】
解：设有x棵树，根据鸦的总数量不变列方程：
$2x + 3 = 3(x - 2)$
展开右侧得：
$2x + 3 = 3x - 6$
移项计算：
$3 + 6 = 3x - 2x$
解得：
$x = 9$
将x=9代入2x+3，可得鸦的总数量为：
$2×9 + 3 = 21$
【答案】
21
【知识点】
一元一次方程应用，古代数学问题
【点评】
本题以古诗为载体，将数学问题融入传统文化场景，解题的易错点是对“闲了两棵树”的理解，很容易误把鸦的数量写成3x-2，只要牢牢抓住“总鸦数不变”的核心等量关系，理清两种场景下鸦数和树数的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
这道题是典型的古代数学实际应用题，解题核心是抓住“鸦的总数量是固定不变的”这个隐藏等量关系来列方程求解。首先我们可以优先设树的数量为未知数x：第一步先根据第一种栖息规则“两只栖一树，三只没去处”，表示出鸦的总数量为2x+3；第二步再根据第二种栖息规则“三只栖一树，闲了两棵树”，说明只有(x-2)棵树上栖息了乌鸦，由此表示出鸦的总数量为3(x-2)；第三步让两个表示鸦总数的代数式相等得到方程，解出树的数量后，代入就能算出鸦的总只数。
【解析】
解：设有x棵树，根据鸦的总数量不变列方程：
$2x + 3 = 3(x - 2)$
展开右侧得：
$2x + 3 = 3x - 6$
移项计算：
$3 + 6 = 3x - 2x$
解得：
$x = 9$
将x=9代入2x+3，可得鸦的总数量为：
$2×9 + 3 = 21$
【答案】
21
【知识点】
一元一次方程应用，古代数学问题
【点评】
本题以古诗为载体，将数学问题融入传统文化场景，解题的易错点是对“闲了两棵树”的理解，很容易误把鸦的数量写成3x-2，只要牢牢抓住“总鸦数不变”的核心等量关系，理清两种场景下鸦数和树数的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 某中学在一块长8 m、宽6 m的长方形空地上进行绿化. 如图,先将其划分成一个长方形$ABCD$区域Ⅰ(阴影部分)和一个四周宽度相等的环形区域Ⅱ(空白部分),再在区域Ⅰ种植甲、乙、丙三种花卉. 若区域Ⅰ满足$AB:BC=2:3$,种植丙花卉区域的面积是长方形$ABCD$面积的$\dfrac{1}{3}$,则种植丙花卉区域的面积为
8
$\mathrm{m}^2$.答案
8. 8 提示:设环形区域Ⅱ四周的宽度为x m,则AB=(6-2x)m,BC=(8-2x)m.又因为AB:BC=2:3,所以3(6-2x)=2(8-2x),解得x=1,则AB=4 m,BC=6 m. 所以长方形ABCD的面积为4×6=24($\mathrm{m}^2$).所以种植丙花卉区域的面积为$\frac{1}{3}×24=8(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先抓住核心条件：环形区域Ⅱ四周宽度相等，我们可以设这个相等的宽度为x m，这样内部长方形ABCD的两条边长就可以用大长方形的长、宽减去两倍的宽度x来表示，也就是AB=(6-2x)m，BC=(8-2x)m。接下来题目给出了AB和BC的比值为2:3，利用比例的基本性质就可以列出关于x的一元一次方程，解出x之后就能得到AB和BC的实际长度，算出长方形ABCD的总面积，最后根据丙的面积是ABCD面积的1/3，直接相乘就能得到丙区域的面积，整体顺推即可完成求解。
【解析】
解：设环形区域Ⅱ四周的宽度为x m，
则长方形ABCD的边长AB=(6-2x)m，BC=(8-2x)m，
由AB:BC=2:3，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”可得：
$3(6-2x)=2(8-2x)$
展开括号得：$18 - 6x = 16 - 4x$
移项合并同类项得：$-2x = -2$
解得：$x=1$
将x=1代入AB、BC的表达式，得：
$AB=6-2×1=4\ \mathrm{m}$，$BC=8-2×1=6\ \mathrm{m}$
因此长方形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=AB× BC=4×6=24\ \mathrm{m}^2$
已知种植丙花卉区域的面积是长方形ABCD面积的$\frac{1}{3}$，因此：
$S_{\mathrm{丙}}=24×\frac{1}{3}=8\ \mathrm{m}^2$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程应用，长方形面积计算，比例基本性质
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题突破口是抓住环形区域四周宽度相等的隐含条件，将内部长方形的边长用含未知数的代数式表示，再结合给定的边长比建立方程求解。本题难度不高，容易出错的点是列比例方程时混淆比例的内外项，或者忘记边长要减去两倍的环形宽度，解题时注意对应关系即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住核心条件：环形区域Ⅱ四周宽度相等，我们可以设这个相等的宽度为x m，这样内部长方形ABCD的两条边长就可以用大长方形的长、宽减去两倍的宽度x来表示，也就是AB=(6-2x)m，BC=(8-2x)m。接下来题目给出了AB和BC的比值为2:3，利用比例的基本性质就可以列出关于x的一元一次方程，解出x之后就能得到AB和BC的实际长度，算出长方形ABCD的总面积，最后根据丙的面积是ABCD面积的1/3，直接相乘就能得到丙区域的面积，整体顺推即可完成求解。
【解析】
解：设环形区域Ⅱ四周的宽度为x m，
则长方形ABCD的边长AB=(6-2x)m，BC=(8-2x)m，
由AB:BC=2:3，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”可得：
$3(6-2x)=2(8-2x)$
展开括号得：$18 - 6x = 16 - 4x$
移项合并同类项得：$-2x = -2$
解得：$x=1$
将x=1代入AB、BC的表达式，得：
$AB=6-2×1=4\ \mathrm{m}$，$BC=8-2×1=6\ \mathrm{m}$
因此长方形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=AB× BC=4×6=24\ \mathrm{m}^2$
已知种植丙花卉区域的面积是长方形ABCD面积的$\frac{1}{3}$，因此：
$S_{\mathrm{丙}}=24×\frac{1}{3}=8\ \mathrm{m}^2$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程应用，长方形面积计算，比例基本性质
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题突破口是抓住环形区域四周宽度相等的隐含条件，将内部长方形的边长用含未知数的代数式表示，再结合给定的边长比建立方程求解。本题难度不高，容易出错的点是列比例方程时混淆比例的内外项，或者忘记边长要减去两倍的环形宽度，解题时注意对应关系即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
9. 某企业生产一种产品,每件产品的成本价为400元,销售价为510元,本季度销售了$m$件.为了进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润保持不变,该产品每件成本价应降低多少元?
答案
9. 解:设该产品每件成本价应降低x元.
根据题意,得$[510×(1-4\%)-(400-x)]×(1+10\%)m=(510-400)m$,解得x=10.4.
所以该产品每件成本价应降低10.4元.
根据题意,得$[510×(1-4\%)-(400-x)]×(1+10\%)m=(510-400)m$,解得x=10.4.
所以该产品每件成本价应降低10.4元.
解析
【分析】
这是典型的销售利润类应用题，解题思路要紧扣总利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先算出本季度的原有总利润：原有单件利润为原售价减去原成本，乘以原销量m即可得到本季度总利润。第二步根据题干给出的调价、销量提升条件，分别推导下季度的对应参数：新售价是原售价的(1-4%)，新销量是原销量的(1+10%)，设成本降低x元后，新的单件成本为(400-x)元，由此写出下季度的单件利润和总利润。题目要求下季度总利润和本季度保持一致，因此可以列出等式方程，由于m不为0，方程两边的m可以直接约去，无需额外求解m的数值，就能解出x的结果。
【解析】
解：设该产品每件成本价应降低x元。
1. 计算本季度总利润：
本季度单件利润为 $510 - 400 = 110$ 元，总利润为 $110m$ 元。
2. 表示下季度的各项参数：
下季度每件售价为 $510×(1-4\%)$ 元，
下季度每件成本为 $(400 - x)$ 元，
下季度单件利润为 $[510×(1-4\%) - (400 - x)]$ 元，
下季度总销量为 $(1+10\%)m$ 件，
下季度总利润为 $[510×(1-4\%) - (400 - x)]×(1+10\%)m$ 元。
3. 根据“销售利润保持不变”列方程：
$[510×(1-4\%) - (400 - x)]×(1+10\%)m = (510 - 400)m$
由于$m≠0$，方程两边同时除以m化简得：
$(489.6 - 400 + x)×1.1 = 110$
进一步计算得：
$89.6 + x = 100$
解得 $x=10.4$。
【答案】该产品每件成本价应降低10.4元。
【知识点】一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】本题是初中数学常规的销售类一元一次方程应用题，核心是理清售价、成本、销量三个要素变化前后的对应关系，无需求解参数m，利用等式性质直接约去不为0的m即可简化计算，易错点是容易搞错变化后单件利润的表达式，忽略成本降低对利润的正向影响。
【难度系数】0.6
这是典型的销售利润类应用题，解题思路要紧扣总利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先算出本季度的原有总利润：原有单件利润为原售价减去原成本，乘以原销量m即可得到本季度总利润。第二步根据题干给出的调价、销量提升条件，分别推导下季度的对应参数：新售价是原售价的(1-4%)，新销量是原销量的(1+10%)，设成本降低x元后，新的单件成本为(400-x)元，由此写出下季度的单件利润和总利润。题目要求下季度总利润和本季度保持一致，因此可以列出等式方程，由于m不为0，方程两边的m可以直接约去，无需额外求解m的数值，就能解出x的结果。
【解析】
解：设该产品每件成本价应降低x元。
1. 计算本季度总利润：
本季度单件利润为 $510 - 400 = 110$ 元，总利润为 $110m$ 元。
2. 表示下季度的各项参数：
下季度每件售价为 $510×(1-4\%)$ 元，
下季度每件成本为 $(400 - x)$ 元，
下季度单件利润为 $[510×(1-4\%) - (400 - x)]$ 元，
下季度总销量为 $(1+10\%)m$ 件，
下季度总利润为 $[510×(1-4\%) - (400 - x)]×(1+10\%)m$ 元。
3. 根据“销售利润保持不变”列方程：
$[510×(1-4\%) - (400 - x)]×(1+10\%)m = (510 - 400)m$
由于$m≠0$，方程两边同时除以m化简得：
$(489.6 - 400 + x)×1.1 = 110$
进一步计算得：
$89.6 + x = 100$
解得 $x=10.4$。
【答案】该产品每件成本价应降低10.4元。
【知识点】一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】本题是初中数学常规的销售类一元一次方程应用题，核心是理清售价、成本、销量三个要素变化前后的对应关系，无需求解参数m，利用等式性质直接约去不为0的m即可简化计算，易错点是容易搞错变化后单件利润的表达式，忽略成本降低对利润的正向影响。
【难度系数】0.6
