1. (2025·宿城期末)如图,在矩形 $ABCD$ 中.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):分别在 $BC$,$AD$ 上作点 $E$,$F$,使四边形 $BEDF$ 是菱形;
(2)在(1)的条件下,若 $AB = 3$,$AD = 5$,求菱形 $BEDF$ 的边长.

解:(1)如答图，四边形BEDF即为所求。

(2)
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF。
在Rt△ABF中，AB=3，AF=AD - DF=5 - BF。
根据勾股定理，得BF²=AB²+AF²，
∴BF²=3²+(5 - BF)²，解得BF=3.4。
∴菱形BEDF的边长为3.4。

2. (2025·宿城期中)已知:如图,线段 $m$,$n$.
(1)求作一个菱形,使它的边长为 $m$,一条对角线为 $n$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若 $m = 13$,$n = 10$,求该菱形的高.

解:(1)如答图，菱形ABCD即为所求作的图形。

(2)如答图，设菱形ABCD的对角线相交于点O，高为h，则∠AOD=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$n=5，
则OD=$\sqrt{AD^{2}-OA^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$。
∴BD=2OD=24。
∵$S_{菱形ABCD}=AD· h=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×10×24=120$，
∴h=$\frac{120}{13}$，即该菱形的高为$\frac{120}{13}$。

3. 如图,$AC$ 为菱形 $ABCD$ 的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.(保留作图痕迹)
(1)如图①,过点 $B$ 作 $AC$ 的垂线;
(2)如图②,$E$ 为线段 $AB$ 的中点,过点 $B$ 作 $AC$ 的平行线.

解:(1)如答图①，连接BD，则BD即为所求。

(2)如答图②，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF。
∵四边形ABCD为菱形，
∴DF//BC，
∴∠AFE=∠BCE，∠FAE=∠CBE。
∵E为线段AB的中点，
∴AE=BE，
∴△AEF≌△BEC(AAS)，
∴AF=BC，
∴四边形ACBF为平行四边形，
∴BF//AC，则直线BF即为所求。