登录
5. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，沿 $EF$ 翻折后，点 $B$ 落在边 $CD$ 上的点 $G$ 处. 若 $EG⊥ CD$，$BE = 4$，$DG = 3$，则 $AE$ 的长为
$\frac{9}{14}$
.答案
5. $\frac{9}{14}$
6. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，将正方形 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠，则图形中阴影部分的周长为(
A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8$
D.$6$
C
)A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8$
D.$6$
答案
6. C
7. (2025·梁溪区期中)如图，已知正方形纸片 $ABCD$ 的边长为 $9$，$BE = 3$，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 对折至 $△ AGE$，延长 $EG$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接 $AF$.
(1) 证明：$△ AGF≌△ ADF$；
(2) 求线段 $EF$ 的长.
(1) 证明：$△ AGF≌△ ADF$；
(2) 求线段 $EF$ 的长.
答案
7. (1) 证明: 在正方形 $ABCD$ 中, $AD = AB = BC = CD = 9$,
$∠D = ∠B = ∠BCD = 90^{\circ}$.
∵ 将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 对折至 $△ AGE$,
∴ $AB = AG$，$BE = GE$，$∠B = ∠AGE = 90^{\circ}$.
∴ $AD = AG$，$∠D = ∠AGF = 90^{\circ}$.
又
∵ $AF = AF$，
∴ $Rt△ AGF ≌ Rt△ ADF(HL)$.
(2) 解: 由 (1) 可知 $EG = BE = 3$，$CE = 6$.
设 $DF = x$，则 $GF = x$，$EF = x + 3$，$CF = 9 - x$.
在 $Rt△ CEF$ 中，$CE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$，
∴ $6^{2} + (9 - x)^{2} = (x + 3)^{2}$，解得 $x = \frac{9}{2}$.
∴ $EF = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$.
$∠D = ∠B = ∠BCD = 90^{\circ}$.
∵ 将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 对折至 $△ AGE$,
∴ $AB = AG$，$BE = GE$，$∠B = ∠AGE = 90^{\circ}$.
∴ $AD = AG$，$∠D = ∠AGF = 90^{\circ}$.
又
∵ $AF = AF$，
∴ $Rt△ AGF ≌ Rt△ ADF(HL)$.
(2) 解: 由 (1) 可知 $EG = BE = 3$，$CE = 6$.
设 $DF = x$，则 $GF = x$，$EF = x + 3$，$CF = 9 - x$.
在 $Rt△ CEF$ 中，$CE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$，
∴ $6^{2} + (9 - x)^{2} = (x + 3)^{2}$，解得 $x = \frac{9}{2}$.
∴ $EF = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$.
