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17.(真题·嘉兴)计算：
(1)$\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 1)$。
(1)$\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 1)$。
答案
(1)2 (2)$4-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是：先根据二次根式的性质化简各二次根式，再按照四则运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内）进行计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$，$\sqrt{9} = 3$，则原式$=5 - 3 = 2$；
(2) 先利用乘法分配律展开：$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} × \sqrt{8} - \sqrt{2} × 1$，再化简：$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$，则原式$=\frac{\sqrt{2}}{2} + 4 - \sqrt{2} = 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$；
【答案】(1)$2$；(2)$4 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题，主要考查二次根式的性质及混合运算的法则，计算时需注意二次根式的化简准确性和运算顺序，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$，$\sqrt{9} = 3$，则原式$=5 - 3 = 2$；
(2) 先利用乘法分配律展开：$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} × \sqrt{8} - \sqrt{2} × 1$，再化简：$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$，则原式$=\frac{\sqrt{2}}{2} + 4 - \sqrt{2} = 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$；
【答案】(1)$2$；(2)$4 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题，主要考查二次根式的性质及混合运算的法则，计算时需注意二次根式的化简准确性和运算顺序，难度不大。
【难度系数】0.7
18.(真题·绍兴柯桥)计算：
(1) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{$
$} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} × 27$；
(2) $(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$。
(1) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{$
$} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} × 27$；(2) $(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$。
答案
(1)$2-9\sqrt{3}$ (2)$1-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问需运用二次根式的除法、乘法法则分别计算，再化简合并结果；第(2)问需借助完全平方公式和平方差公式展开后计算，核心是掌握二次根式运算法则与乘法公式，计算时要注意二次根式的化简，确保步骤准确。
【解析】
(1) 计算二次根式除法：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$；
计算二次根式乘法：先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sqrt{\frac{1}{3}}×27=\frac{\sqrt{3}}{3}×27=9\sqrt{3}$；
因此原式$=2 -9\sqrt{3}$。
(2) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开$(\sqrt{2}-1)^2$：
$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2 -2×\sqrt{2}×1 +1^2=2 -2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$；
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2=5-3=2$；
因此原式$=(3-2\sqrt{2}) -2=1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$2-9\sqrt{3}$；(2)$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的乘除运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式运算与乘法公式的应用，属于基础运算题，需熟练掌握二次根式化简、乘除法则及相关公式，计算时注意符号和化简的准确性，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题包含两小问，第(1)问需运用二次根式的除法、乘法法则分别计算，再化简合并结果；第(2)问需借助完全平方公式和平方差公式展开后计算，核心是掌握二次根式运算法则与乘法公式，计算时要注意二次根式的化简，确保步骤准确。
【解析】
(1) 计算二次根式除法：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$；
计算二次根式乘法：先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sqrt{\frac{1}{3}}×27=\frac{\sqrt{3}}{3}×27=9\sqrt{3}$；
因此原式$=2 -9\sqrt{3}$。
(2) 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开$(\sqrt{2}-1)^2$：
$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2 -2×\sqrt{2}×1 +1^2=2 -2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$；
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2=5-3=2$；
因此原式$=(3-2\sqrt{2}) -2=1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$2-9\sqrt{3}$；(2)$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的乘除运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式运算与乘法公式的应用，属于基础运算题，需熟练掌握二次根式化简、乘除法则及相关公式，计算时注意符号和化简的准确性，难度适中。
【难度系数】
0.5
19.(真题·绍兴上虞)设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a+b)(a-b)-4b$的值。
答案
由题意知$a=2,b=\sqrt{6}-2$,$(a+b)(a-b)-4b=a^2-b^2-4b=2^2-(\sqrt{6}-2)^2-4(\sqrt{6}-2)=2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需确定无理数$\sqrt{6}$的整数部分$a$和小数部分$b$：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可得$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-a=\sqrt{6}-2$；接着对所求代数式利用平方差公式化简，再代入$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
解：1. 求$a$、$b$的值：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
$\therefore \sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$。
2. 化简代数式：
$(a+b)(a-b)-4b = a^2 - b^2 -4b$。
3. 代入求值：
将$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$代入化简后的式子：
原式$=2^2 - (\sqrt{6}-2)^2 -4(\sqrt{6}-2)$
$=4 - (6 -4\sqrt{6} +4) -4\sqrt{6} +8$
$=4 -10 +4\sqrt{6} -4\sqrt{6} +8$
$=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题结合无理数的估算考查代数式的化简求值，需先正确确定无理数的整数与小数部分，再运用平方差公式简化计算，避免直接代入的复杂运算，是基础题型，注重对核心公式和概念的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需确定无理数$\sqrt{6}$的整数部分$a$和小数部分$b$：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可得$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-a=\sqrt{6}-2$；接着对所求代数式利用平方差公式化简，再代入$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
解：1. 求$a$、$b$的值：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
$\therefore \sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$。
2. 化简代数式：
$(a+b)(a-b)-4b = a^2 - b^2 -4b$。
3. 代入求值：
将$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$代入化简后的式子：
原式$=2^2 - (\sqrt{6}-2)^2 -4(\sqrt{6}-2)$
$=4 - (6 -4\sqrt{6} +4) -4\sqrt{6} +8$
$=4 -10 +4\sqrt{6} -4\sqrt{6} +8$
$=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题结合无理数的估算考查代数式的化简求值，需先正确确定无理数的整数与小数部分，再运用平方差公式简化计算，避免直接代入的复杂运算，是基础题型，注重对核心公式和概念的应用。
【难度系数】
0.6
