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10.在学习二次根式过程中，对代数式 $ M $ 定义新运算：$[M] = \sqrt{M^2}$，在代数式 $ a+b+1 $ 中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算。实数 $ a,b $ 在数轴上的位置如图所示。例如：$ a+[b]+1 = a+\sqrt{b^2}+1 = a-b+1 $，$[a+b]+1 = \sqrt{(a+b)^2}+1 = -a-b+1,··· $。下列说法：
①$ a+[b+1] = a-b-1 $；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为 $ 0 $；
④所有可能的“新运算操作”共有 $ 6 $ 种不同运算结果。
其中正确的个数是 …………………………………………………（
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
①$ a+[b+1] = a-b-1 $；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为 $ 0 $；
④所有可能的“新运算操作”共有 $ 6 $ 种不同运算结果。
其中正确的个数是 …………………………………………………（
D
）A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
答案
解析:因为$-3＜b＜-2$,所以$-2＜b+1＜-1$,所以$a+[b+1]=a+\sqrt{(b+1)^2}=a+[-(b+1)]=a-b-1$,①正确；因为$1＞0$,所以$a+b+[1]=a+b+\sqrt{1^2}=a+b+1$,②错误；因为$-3＜b＜-2,0＜a＜1$,结合数轴知,$-2＜a+b＜-1$,所以$-1＜a+b+1＜0$,所以$[a+b+1]=-(a+b+1)$,所以$[a+b+1]+(a+b+1)=-(a+b+1)+(a+b+1)=0$,所以存在“新运算操作”,使其运算结果与原代数式之和为0,③错误；可能的“新运算操作”有,$[a]+b+1=a+b+1,a+[b]+1=a-b+1,a+b+[1]=a+b+1,[a+b]+1=-a-b+1,a+[b+1]=a-b-1,[a+b+1]=-a-b-1$,所以所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果,④错误。所以正确的个数有1个,故选:D。
解析
【分析】
首先根据数轴确定实数a、b的范围：由数轴可知，0 ＜ a ＜ 1，-3 ＜ b ＜ -2；新运算[M]的本质是求M的绝对值，即[M] = √M² = |M|。“新运算操作”是在代数式a+b+1中任意加一次新运算，不改变字母和数字顺序，共6种可能的操作，需逐一计算每种操作的结果，再判断四个说法的正确性。
【解析】
由数轴得：0 ＜ a ＜ 1，-3 ＜ b ＜ -2，新运算[M] = √M² = |M|。
逐个分析四个说法：
1. 分析①：计算b+1的范围：因为-3 ＜ b ＜ -2，所以-2 ＜ b+1 ＜ -1，即b+1为负数，故|b+1| = -(b+1)，则a+[b+1] = a + |b+1| = a - (b+1) = a - b -1，因此①正确。
2. 分析②：原代数式为a+b+1，对a加新运算时，[a]+b+1 = |a| + b +1，因a＞0，|a|=a，结果为a+b+1，与原代数式相等，说明存在这样的操作，故②错误。
3. 分析③：原代数式a+b+1的范围：0 ＜ a ＜1，-3 ＜b ＜ -2，故-2 ＜ a+b ＜ -1，进而-1 ＜ a+b+1 ＜0，即a+b+1为负数，故[a+b+1] = |a+b+1| = -(a+b+1)，此时操作结果与原代数式的和为：-(a+b+1) + (a+b+1) =0，说明存在这样的操作，故③错误。
4. 分析④：列出所有6种新运算操作的结果：
[a]+b+1 = a +b+1；
a+[b]+1 = a -b +1；
a+b+[1] = a+b+1；
[a+b]+1 = -a -b +1；
a+[b+1] = a -b -1；
[a+b+1] = -a -b -1；
上述结果中，a+b+1重复，不同结果共5种，故④错误。
综上，只有①正确，正确的个数为1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；数轴与实数
【点评】
本题考查新定义运算，核心是理解新运算本质为求绝对值，需结合数轴确定字母范围，逐一分析所有可能的操作，考查学生对新定义的理解、绝对值运算及分类讨论能力，需注意避免漏算操作或计算错误。
【难度系数】
0.4
首先根据数轴确定实数a、b的范围：由数轴可知，0 ＜ a ＜ 1，-3 ＜ b ＜ -2；新运算[M]的本质是求M的绝对值，即[M] = √M² = |M|。“新运算操作”是在代数式a+b+1中任意加一次新运算，不改变字母和数字顺序，共6种可能的操作，需逐一计算每种操作的结果，再判断四个说法的正确性。
【解析】
由数轴得：0 ＜ a ＜ 1，-3 ＜ b ＜ -2，新运算[M] = √M² = |M|。
逐个分析四个说法：
1. 分析①：计算b+1的范围：因为-3 ＜ b ＜ -2，所以-2 ＜ b+1 ＜ -1，即b+1为负数，故|b+1| = -(b+1)，则a+[b+1] = a + |b+1| = a - (b+1) = a - b -1，因此①正确。
2. 分析②：原代数式为a+b+1，对a加新运算时，[a]+b+1 = |a| + b +1，因a＞0，|a|=a，结果为a+b+1，与原代数式相等，说明存在这样的操作，故②错误。
3. 分析③：原代数式a+b+1的范围：0 ＜ a ＜1，-3 ＜b ＜ -2，故-2 ＜ a+b ＜ -1，进而-1 ＜ a+b+1 ＜0，即a+b+1为负数，故[a+b+1] = |a+b+1| = -(a+b+1)，此时操作结果与原代数式的和为：-(a+b+1) + (a+b+1) =0，说明存在这样的操作，故③错误。
4. 分析④：列出所有6种新运算操作的结果：
[a]+b+1 = a +b+1；
a+[b]+1 = a -b +1；
a+b+[1] = a+b+1；
[a+b]+1 = -a -b +1；
a+[b+1] = a -b -1；
[a+b+1] = -a -b -1；
上述结果中，a+b+1重复，不同结果共5种，故④错误。
综上，只有①正确，正确的个数为1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；数轴与实数
【点评】
本题考查新定义运算，核心是理解新运算本质为求绝对值，需结合数轴确定字母范围，逐一分析所有可能的操作，考查学生对新定义的理解、绝对值运算及分类讨论能力，需注意避免漏算操作或计算错误。
【难度系数】
0.4
11.(真题·舟山定海)化简$\sqrt{(-2025)^2}=$______。
答案
2025
解析
【分析】本题考查二次根式的化简，需运用二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式转化为绝对值形式，再依据绝对值的定义计算结果。
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对$\sqrt{(-2025)^2}$化简可得：$\sqrt{(-2025)^2}=|-2025|$；因为负数的绝对值是它的相反数，所以$|-2025|=2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】本题为基础题，考查二次根式的基本性质，解题关键是牢记二次根式的结果为非负数，避免直接计算为$-2025$的错误。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对$\sqrt{(-2025)^2}$化简可得：$\sqrt{(-2025)^2}=|-2025|$；因为负数的绝对值是它的相反数，所以$|-2025|=2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】本题为基础题，考查二次根式的基本性质，解题关键是牢记二次根式的结果为非负数，避免直接计算为$-2025$的错误。
【难度系数】0.8
12.(真题·金华永康)比较大小：$\sqrt{5}$ ______ 2(填“＞”“=”或“＜”)。
答案
＞
解析
【分析】
要比较$\sqrt{5}$和2的大小，可将整数2转化为二次根式形式，利用算术平方根的性质，把2变形为$\sqrt{4}$，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的规律，比较两个算术平方根的大小即可得出结果。
【解析】
解：因为$2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$，
又因为$5＞4$，
所以$\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，
即$\sqrt{5}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
实数的大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题为基础题型，考查实数大小比较的基本方法，通过将整数转化为同次根式的方式简化比较过程，思路直观，是巩固算术平方根性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
要比较$\sqrt{5}$和2的大小，可将整数2转化为二次根式形式，利用算术平方根的性质，把2变形为$\sqrt{4}$，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的规律，比较两个算术平方根的大小即可得出结果。
【解析】
解：因为$2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$，
又因为$5＞4$，
所以$\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，
即$\sqrt{5}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
实数的大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题为基础题型，考查实数大小比较的基本方法，通过将整数转化为同次根式的方式简化比较过程，思路直观，是巩固算术平方根性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
13.(真题·宁波北仑)要使二次根式$\sqrt{x-1}$有意义,请写出一个满足条件的整数$x$的值:________。
答案
1(答案不唯一:x≥1且为整数均可)
解析
【分析】要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式得到x的取值范围，再在该范围内选取一个整数即可。
【解析】二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-1}$，需满足$x-1≥0$，解得$x≥1$。在$x≥1$的整数中，任意一个都满足条件，例如取$x=1$。
【答案】1（答案不唯一，只要是大于等于1的整数均可）
【知识点】二次根式有意义的条件，整数的取值范围
【点评】本题属于基础题，核心考查二次根式有意义的条件，难度较低，答案具有开放性，只要掌握基本知识点即可轻松作答。
【难度系数】0.9
【解析】二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-1}$，需满足$x-1≥0$，解得$x≥1$。在$x≥1$的整数中，任意一个都满足条件，例如取$x=1$。
【答案】1（答案不唯一，只要是大于等于1的整数均可）
【知识点】二次根式有意义的条件，整数的取值范围
【点评】本题属于基础题，核心考查二次根式有意义的条件，难度较低，答案具有开放性，只要掌握基本知识点即可轻松作答。
【难度系数】0.9
14.(真题·绍兴越城)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°,∠ C=45°$,$AC=2$,则$BC$的长为________。
答案
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算BC的长度，由于△ABC不是直角三角形，需作高将其转化为两个直角三角形。过点A作AD⊥BC于D，这样△ADC和△ADB均为直角三角形，分别利用45°和30°的特殊三角函数值计算DC、BD的长度，再将两者相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=2，
根据三角函数定义：
$AD = AC·\sin45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$DC = AC·\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
在Rt△ADB中，∠B=30°，
根据三角函数定义：$\tan B = \frac{AD}{BD}$，
则$BD = \frac{AD}{\tan30°} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{2}×\sqrt{3} = \sqrt{6}$。
因此，$BC = BD + DC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角三角函数
【点评】
本题通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解边长，是解三角形的常规题型，需掌握作高转化的解题方法。
【难度系数】
0.5
要计算BC的长度，由于△ABC不是直角三角形，需作高将其转化为两个直角三角形。过点A作AD⊥BC于D，这样△ADC和△ADB均为直角三角形，分别利用45°和30°的特殊三角函数值计算DC、BD的长度，再将两者相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=2，
根据三角函数定义：
$AD = AC·\sin45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$DC = AC·\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
在Rt△ADB中，∠B=30°，
根据三角函数定义：$\tan B = \frac{AD}{BD}$，
则$BD = \frac{AD}{\tan30°} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{2}×\sqrt{3} = \sqrt{6}$。
因此，$BC = BD + DC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角三角函数
【点评】
本题通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解边长，是解三角形的常规题型，需掌握作高转化的解题方法。
【难度系数】
0.5
15.(真题·杭州钱塘)如图,从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形,则图中阴影部分面积为
24
。答案
24 解析:两个小正方形的边长分别为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$和$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,所以大正方形的边长为$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$,所以大正方形的面积为$(5\sqrt{2})^2=50$,所以图中阴影部分面积为$50-8-18=24$,故答案为:24。
解析
【分析】要计算阴影部分面积，需先求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积。首先根据正方形面积公式，由两个小正方形的面积求出它们的边长，再结合图形关系得到大正方形的边长，进而算出大正方形面积，最后减去两个小正方形的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求两个小正方形的边长：
根据正方形面积公式，面积为8的小正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；面积为18的小正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
2. 求大正方形的边长：
观察图形可知，大正方形的边长等于两个小正方形边长之和，即$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
3. 求大正方形的面积：
大正方形面积为$(5\sqrt{2})^2=50$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 两个小正方形面积 = $50 - 8 - 18 = 24$。
【答案】24
【知识点】正方形面积、二次根式运算
【点评】本题结合正方形性质考查二次根式的应用，关键是通过图形关系确定大正方形的边长，属于基础题型，需熟练掌握正方形面积公式和二次根式的化简运算。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求两个小正方形的边长：
根据正方形面积公式，面积为8的小正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；面积为18的小正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
2. 求大正方形的边长：
观察图形可知，大正方形的边长等于两个小正方形边长之和，即$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
3. 求大正方形的面积：
大正方形面积为$(5\sqrt{2})^2=50$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积 = 大正方形面积 - 两个小正方形面积 = $50 - 8 - 18 = 24$。
【答案】24
【知识点】正方形面积、二次根式运算
【点评】本题结合正方形性质考查二次根式的应用，关键是通过图形关系确定大正方形的边长，属于基础题型，需熟练掌握正方形面积公式和二次根式的化简运算。
【难度系数】0.6
16.(真题·台州路桥)公元3世纪,我国数学家刘徽就能利用公式
$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得到二次根式的近似值。其中,a取最大的正整数,r取正整数,则利用公式估算$\sqrt{17} \approx$
$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得到二次根式的近似值。其中,a取最大的正整数,r取正整数,则利用公式估算$\sqrt{17} \approx$
4.125
。答案
4.125 解析:$\sqrt{17}=\sqrt{16+1}=\sqrt{4^2+1}$,所以$a=4,r=1$,所以$\sqrt{17}\approx4+\frac{1}{2×4}=4+\frac{1}{8}=4.125$,故答案为:4.125。
解析
【分析】要利用公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$计算$\sqrt{17}$，需先将17拆分为“最大正整数的平方加正整数”的形式，确定公式中a和r的取值：17可表示为$4^2 +1$，其中最大的正整数a=4，正整数r=1，再代入公式计算即可得到近似值。
【解析】解：将$\sqrt{17}$变形为$\sqrt{4^2 +1}$，根据题意，a取最大的正整数，故a=4，r=1。代入公式得：
$\sqrt{17} \approx a + \frac{r}{2a} = 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = 4.125$
【答案】4.125
【知识点】二次根式的近似计算、有理数的混合运算
【点评】本题考查给定近似公式的应用，核心是正确确定公式中a和r的取值，属于基础题型，只要理解题意即可完成计算。
【难度系数】0.8
【解析】解：将$\sqrt{17}$变形为$\sqrt{4^2 +1}$，根据题意，a取最大的正整数，故a=4，r=1。代入公式得：
$\sqrt{17} \approx a + \frac{r}{2a} = 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = 4.125$
【答案】4.125
【知识点】二次根式的近似计算、有理数的混合运算
【点评】本题考查给定近似公式的应用，核心是正确确定公式中a和r的取值，属于基础题型，只要理解题意即可完成计算。
【难度系数】0.8
