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10. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则BD的长为（
A.$6\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$6$
D.$8$
D
）A.$6\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$6$
D.$8$
答案
解：$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB=BC$，$AC⊥ BD$，$BD=2OB$，由题意知$AB+BC=10$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=6$，$\therefore AB=5$，$OA· OB=12$，设$OA=x$，$OB=y$，则$x^2+y^2=5^2=25$，$xy=12$，$\therefore （x+y）^2=x^2+y^2+2xy=25+2×12=49$，$\therefore x+y=7$，$\therefore x$和$y$是一元二次方程$m^2 - 7m+12=0$的两个根，解得$m_1=3$，$m_2=4$，由图可得$OB＞OA$，$\therefore OB=4$，$\therefore BD=2OB=8$，故选：D。
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形性质与函数图像的信息推导：菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O，故O是AC中点，且AC⊥BD，BD=2OB。动点P沿AB→BC→CD运动，当P到达C点时，△AOP面积为0，对应图2中x=10时y=0，说明AB+BC=10；又菱形AB=BC，因此AB=5。当△AOP面积最大时，对应△AOB的面积为6，结合菱形对角线垂直的性质，通过勾股定理和面积公式可求出OB的长度，进而得到BD的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，AC⊥BD，BD=2OB，O为AC中点。
由图2可知，当点P运动到点C时，△AOP的面积为0，此时运动路程AB+BC=10，
又AB=BC，故AB=5。
当△AOP面积最大为6时，对应△AOB的面积为6，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=6$，即$OA·OB=12$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$OA^2 + OB^2 = AB^2 = 5^2=25$。
设OA=m，OB=n，则$\begin{cases}mn=12 \\ m^2 +n^2=25\end{cases}$，
则$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=25+2×12=49$，故m+n=7；
$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=25-24=1$，故|m-n|=1。
结合图像可知OB＞OA，因此OB=4，
所以BD=2OB=8。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是几何与函数图像结合的综合题，关键是从图像中获取AB长度和△AOB的面积，利用菱形对角线垂直平分的性质，结合勾股定理求解对角线长度，考查了学生的数形结合能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形性质与函数图像的信息推导：菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O，故O是AC中点，且AC⊥BD，BD=2OB。动点P沿AB→BC→CD运动，当P到达C点时，△AOP面积为0，对应图2中x=10时y=0，说明AB+BC=10；又菱形AB=BC，因此AB=5。当△AOP面积最大时，对应△AOB的面积为6，结合菱形对角线垂直的性质，通过勾股定理和面积公式可求出OB的长度，进而得到BD的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，AC⊥BD，BD=2OB，O为AC中点。
由图2可知，当点P运动到点C时，△AOP的面积为0，此时运动路程AB+BC=10，
又AB=BC，故AB=5。
当△AOP面积最大为6时，对应△AOB的面积为6，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=6$，即$OA·OB=12$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$OA^2 + OB^2 = AB^2 = 5^2=25$。
设OA=m，OB=n，则$\begin{cases}mn=12 \\ m^2 +n^2=25\end{cases}$，
则$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=25+2×12=49$，故m+n=7；
$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=25-24=1$，故|m-n|=1。
结合图像可知OB＞OA，因此OB=4，
所以BD=2OB=8。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是几何与函数图像结合的综合题，关键是从图像中获取AB长度和△AOB的面积，利用菱形对角线垂直平分的性质，结合勾股定理求解对角线长度，考查了学生的数形结合能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
11. 计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果是________.
答案
解：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$。故答案为：3。
解析
【分析】
要计算$\sqrt{(-3)^2}$，需遵循运算顺序：先计算根号内的平方项，再求该结果的算术平方根。首先根据平方运算规则算出$(-3)^2$的值，再依据算术平方根的定义确定最终结果，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
解：第一步，计算根号内的平方：
$(-3)^2 = (-3) × (-3) = 9$；
第二步，计算算术平方根：
$\sqrt{9} = 3$；
因此，$\sqrt{(-3)^2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
算术平方根、二次根式的性质
【点评】
本题考查基础的算术平方根计算，核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，本题中$a=-3$，故$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$。需注意区分平方根与算术平方根的概念，避免出现结果为±3的错误，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
要计算$\sqrt{(-3)^2}$，需遵循运算顺序：先计算根号内的平方项，再求该结果的算术平方根。首先根据平方运算规则算出$(-3)^2$的值，再依据算术平方根的定义确定最终结果，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
解：第一步，计算根号内的平方：
$(-3)^2 = (-3) × (-3) = 9$；
第二步，计算算术平方根：
$\sqrt{9} = 3$；
因此，$\sqrt{(-3)^2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
算术平方根、二次根式的性质
【点评】
本题考查基础的算术平方根计算，核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，本题中$a=-3$，故$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$。需注意区分平方根与算术平方根的概念，避免出现结果为±3的错误，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
12. 请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：
答案不唯一，如$y=x$
.答案
解：例如：$y=x$，或$y=x+2$等，答案不唯一。
解析
【分析】
首先回忆一次函数的定义与性质：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中斜率$k$决定函数的增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目要求写出$y$随$x$增大而增大的一次函数，因此只需取$k＞0$，$b$为任意实数，构造符合条件的表达式即可，答案不唯一。
【解析】
一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），根据$y$随$x$增大而增大的条件，需满足$k＞0$。例如选取$k=1$，$b=0$，则函数表达式为$y=x$（也可选取其他$k＞0$的数和任意$b$，如$y=x+2$等）。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的表达式
【点评】
本题是基础开放性题目，考查一次函数增减性与斜率$k$的关系，掌握一次函数基本性质即可作答，答案不唯一，体现数学的灵活性。
【难度系数】
0.8
首先回忆一次函数的定义与性质：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中斜率$k$决定函数的增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目要求写出$y$随$x$增大而增大的一次函数，因此只需取$k＞0$，$b$为任意实数，构造符合条件的表达式即可，答案不唯一。
【解析】
一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），根据$y$随$x$增大而增大的条件，需满足$k＞0$。例如选取$k=1$，$b=0$，则函数表达式为$y=x$（也可选取其他$k＞0$的数和任意$b$，如$y=x+2$等）。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的表达式
【点评】
本题是基础开放性题目，考查一次函数增减性与斜率$k$的关系，掌握一次函数基本性质即可作答，答案不唯一，体现数学的灵活性。
【难度系数】
0.8
13. 一家公司打算招聘一名英文翻译.甲应试者的听、说、读、写四项英语水平的测试成绩分别为：85、78、85、73.公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，则甲应试者的平均成绩（百分制）为
79.5
分.答案
解：$\overline{x}=\frac{85×2+78×1+85×3+73×4}{2+1+3+4}=79.5$（分），$\therefore$ 甲应试者的平均成绩为79.5分，故答案为：79.5。
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：题目要求按听、说、读、写2:1:3:4的权重计算平均成绩，需使用加权平均数公式，先分别计算各项成绩乘以对应权重的总和，再除以权重的总和，即可得到甲的平均成绩。
【解析】
加权平均数的计算公式为：$\overline{x}=\frac{w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + w_4x_4}{w_1 + w_2 + w_3 + w_4}$，其中$w_1,w_2,w_3,w_4$为各项权重，$x_1,x_2,x_3,x_4$为对应成绩。
代入甲的成绩和权重：
分子：$85×2 + 78×1 + 85×3 + 73×4 = 170 + 78 + 255 + 292 = 795$
分母：$2 + 1 + 3 + 4 = 10$
则平均成绩：$\overline{x}=\frac{795}{10}=79.5$（分）
【答案】
79.5
【知识点】
加权平均数，比与比例
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，核心是理解权重的含义并正确运用公式计算，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：题目要求按听、说、读、写2:1:3:4的权重计算平均成绩，需使用加权平均数公式，先分别计算各项成绩乘以对应权重的总和，再除以权重的总和，即可得到甲的平均成绩。
【解析】
加权平均数的计算公式为：$\overline{x}=\frac{w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + w_4x_4}{w_1 + w_2 + w_3 + w_4}$，其中$w_1,w_2,w_3,w_4$为各项权重，$x_1,x_2,x_3,x_4$为对应成绩。
代入甲的成绩和权重：
分子：$85×2 + 78×1 + 85×3 + 73×4 = 170 + 78 + 255 + 292 = 795$
分母：$2 + 1 + 3 + 4 = 10$
则平均成绩：$\overline{x}=\frac{795}{10}=79.5$（分）
【答案】
79.5
【知识点】
加权平均数，比与比例
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，核心是理解权重的含义并正确运用公式计算，属于常规题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
14. 已知$ x=\sqrt{5}-1 $，则代数式$ x^2 - 5x - 6 = \underline{\hspace{10cm}} $.
答案
解：$\because x=\sqrt{5}-1$，$\therefore x^2 - 5x - 6=（x+1）（x - 6）=（\sqrt{5}-1+1）（\sqrt{5}-1 - 6）=\sqrt{5}（\sqrt{5}-7）=5 - 7\sqrt{5}$。故答案为$5 - 7\sqrt{5}$。
解析
【分析】
对于代数式求值问题，优先考虑通过因式分解简化计算，避免直接代入复杂运算。本题中的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，代入已知的x值后能简化计算步骤，快速得到结果。
【解析】
解：先对代数式因式分解：
$x^2 -5x -6 = (x+1)(x-6)$
将$x=\sqrt{5}-1$代入上式：
原式$= (\sqrt{5}-1 +1)(\sqrt{5}-1 -6)$
$= \sqrt{5} × (\sqrt{5} -7)$
$= \sqrt{5} × \sqrt{5} - \sqrt{5} ×7$
$=5 -7\sqrt{5}$
【答案】
$5 -7\sqrt{5}$
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、二次根式的乘法运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查十字相乘法分解二次三项式和二次根式的乘法运算，通过因式分解简化计算过程，降低运算难度，适合巩固代数运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
对于代数式求值问题，优先考虑通过因式分解简化计算，避免直接代入复杂运算。本题中的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，代入已知的x值后能简化计算步骤，快速得到结果。
【解析】
解：先对代数式因式分解：
$x^2 -5x -6 = (x+1)(x-6)$
将$x=\sqrt{5}-1$代入上式：
原式$= (\sqrt{5}-1 +1)(\sqrt{5}-1 -6)$
$= \sqrt{5} × (\sqrt{5} -7)$
$= \sqrt{5} × \sqrt{5} - \sqrt{5} ×7$
$=5 -7\sqrt{5}$
【答案】
$5 -7\sqrt{5}$
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、二次根式的乘法运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查十字相乘法分解二次三项式和二次根式的乘法运算，通过因式分解简化计算过程，降低运算难度，适合巩固代数运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
15. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60°$，$AE$ 为边 $BC$ 上的高，$AE = 3\sqrt{3}$，$CE = 2$，则平行四边形 $ABCD$ 的周长为 ______.
答案
解：当$E$在$BC$上时，如图，$\because ∠ AHB=90°$，$∠ B=60°$，$\therefore sinB=\frac{AE}{AB}$，$\therefore AB=\frac{AE}{sin60°}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$，$\because BE=\frac{1}{2}AB=3$，$\therefore BC=BE+CE=3+2=5$，$\therefore$ 平行四边形$ABCD$的周长$=2（AB+BC）=2×（6+5）=22$；当$E$在$BC$延长线上时，如图，由以上解答知：$AB=6$，$BE=3$，$\therefore BC=BE - CE=3 - 2=1$，$\therefore$ 平行四边形$ABCD$的周长$=2（AB+BC）=2×（6+1）=14$，$\therefore$ 平行四边形$ABCD$的周长是14或22。故答案为：14或22。
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确AE是BC边上的高，因此△ABE为直角三角形，结合已知∠ABC=60°和AE的长度，可利用直角三角形的边角关系求出AB和BE的长度。关键在于高AE的位置：E可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上，需分两种情况计算BC的长度，再根据平行四边形周长公式计算结果，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当E在BC边上时：
∵ AE是BC边上的高，
∴ ∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠B=60°，AE=3√3，
由sinB = AE/AB，得AB = AE / sin60° = (3√3) / (√3/2) = 6；
由cosB = BE/AB，得BE = AB × cos60° = 6 × (1/2) = 3；
此时BC = BE + CE = 3 + 2 = 5，
平行四边形ABCD的周长 = 2×(AB + BC) = 2×(6 + 5) = 22。
2. 当E在BC的延长线上时：
同理，在Rt△ABE中，AB=6，BE=3，
此时BC = BE - CE = 3 - 2 = 1，
平行四边形ABCD的周长 = 2×(AB + BC) = 2×(6 + 1) = 14。
综上，平行四边形ABCD的周长为14或22。
【答案】
14或22
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的边角关系，分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形的性质及直角三角形的相关计算，核心是需考虑高的位置有两种情况，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想，解题时要全面分析图形的可能性。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先明确AE是BC边上的高，因此△ABE为直角三角形，结合已知∠ABC=60°和AE的长度，可利用直角三角形的边角关系求出AB和BE的长度。关键在于高AE的位置：E可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上，需分两种情况计算BC的长度，再根据平行四边形周长公式计算结果，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当E在BC边上时：
∵ AE是BC边上的高，
∴ ∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠B=60°，AE=3√3，
由sinB = AE/AB，得AB = AE / sin60° = (3√3) / (√3/2) = 6；
由cosB = BE/AB，得BE = AB × cos60° = 6 × (1/2) = 3；
此时BC = BE + CE = 3 + 2 = 5，
平行四边形ABCD的周长 = 2×(AB + BC) = 2×(6 + 5) = 22。
2. 当E在BC的延长线上时：
同理，在Rt△ABE中，AB=6，BE=3，
此时BC = BE - CE = 3 - 2 = 1，
平行四边形ABCD的周长 = 2×(AB + BC) = 2×(6 + 1) = 14。
综上，平行四边形ABCD的周长为14或22。
【答案】
14或22
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的边角关系，分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形的性质及直角三角形的相关计算，核心是需考虑高的位置有两种情况，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想，解题时要全面分析图形的可能性。
【难度系数】
0.5
16. 我们把$a$、$b$、$c$三个数的中位数记作$Z|a, b, c|$，例如：$Z|-2, 2, 5|=2$。
已知函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$。则下列结论：
① $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为函数图象上两点，当$x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$；
②当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大；
③当$x＞0$时$y$有最小值$0$；
④若直线$y = \frac{1}{2}x + b$与函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$的图象有且只有$2$个交点，则$b=1$或$b=-\frac{1}{2}$。
其中正确的有 ______（请填写正确结论的序号）。
已知函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$。则下列结论：
① $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为函数图象上两点，当$x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$；
②当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大；
③当$x＞0$时$y$有最小值$0$；
④若直线$y = \frac{1}{2}x + b$与函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$的图象有且只有$2$个交点，则$b=1$或$b=-\frac{1}{2}$。
其中正确的有 ______（请填写正确结论的序号）。
答案
解：当$2x - 2≤ x+1≤ -x+1$时，解得：$x≤0$，当$2x - 2≤ -x+1≤ x+1$时，解得：$0≤ x≤1$，当$-x+1≤ 2x - 2≤ x+1$时，解得：$1≤ x≤3$，当$-x+1≤ x+1≤ 2x - 2$时，解得：$x≥3$，$\because y=Z|2x - 2, x+1, |x+1|=\begin{cases}x + 1(x ≤ 0) \\-x + 1(0 ≤ x ≤ 1) \\2x - 2(1 ≤ x ≤ 3) \\x + 1(x ≥ 3)\end{cases}$。函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$的图象如图所示：
①如图，当$x_1=0$，$x_2=1$时，满足$x_1＜x_2$，但$y_1＞y_2$故①不正确；②由图象可知，当$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大，故②正确；③由图象可知，当$x＞0$时，$y$有最小值0，故③正确；④$y=\frac{1}{2}x + b$与函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$的图象有且只有2个交点，当直线$y=\frac{1}{2}x + b$经过点（0，1）时，则$1=\frac{1}{2}×0 + b$，解得$b=1$，当直线$y=\frac{1}{2}x + b$经过点（1，0）时，则$0=\frac{1}{2}×1 + b$解得$b=-\frac{1}{2}$，故④正确。故答案为：②③④。解析
【分析】
首先明确中位数的定义：三个数的中位数是将这三个数按从小到大排序后，位于中间位置的数。要确定函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$，需先找到三个函数$y=2x-2$、$y=x+1$、$y=-x+1$的交点，以此划分区间，再在每个区间内确定三个数的大小关系，进而得到中位数对应的表达式，最后逐一判断四个结论是否正确。
【解析】
1. 求三个函数的交点，划分区间：
令$2x-2 = x+1$，解得$x=3$；
令$2x-2 = -x+1$，解得$x=1$；
令$x+1 = -x+1$，解得$x=0$；
因此，按$x$的取值分为四个区间：$x≤0$，$0≤x≤1$，$1≤x≤3$，$x≥3$。
2. 确定各区间内的中位数（即函数$y$的表达式）：
当$x≤0$时，三个数的大小为$2x-2 ≤ x+1 ≤ -x+1$，中位数为$x+1$，故$y=x+1$；
当$0≤x≤1$时，三个数的大小为$2x-2 ≤ -x+1 ≤ x+1$，中位数为$-x+1$，故$y=-x+1$；
当$1≤x≤3$时，三个数的大小为$-x+1 ≤ 2x-2 ≤ x+1$，中位数为$2x-2$，故$y=2x-2$；
当$x≥3$时，三个数的大小为$-x+1 ≤ x+1 ≤ 2x-2$，中位数为$x+1$，故$y=x+1$；
综上，$y=\begin{cases}x + 1 & (x ≤ 0) \\-x + 1 & (0 ≤ x ≤ 1) \\2x - 2 & (1 ≤ x ≤ 3) \\x + 1 & (x ≥ 3)\end{cases}$，其图象如图所示：
3. 判断各结论：
①取$x_1=0$，$x_2=1$，满足$x_1＜x_2$，此时$y_1=0+1=1$，$y_2=-1+1=0$，$y_1＞y_2$，故①错误；
②当$x＞1$时，函数在$1≤x≤3$时为$y=2x-2$，在$x≥3$时为$y=x+1$，均为一次函数且斜率为正，故$y$随$x$增大而增大，②正确；
③当$x＞0$时，在$0≤x≤1$区间，$y=-x+1$的最小值为$0$（$x=1$时）；在$1≤x≤3$区间，$y=2x-2$的最小值为$0$（$x=1$时）；$x＞3$时$y=x+1$逐渐增大，故$x＞0$时$y$的最小值为$0$，③正确；
④直线$y=\frac{1}{2}x + b$与该函数图象有且只有2个交点：当直线过点$(0,1)$时，代入得$1=\frac{1}{2}×0 + b$，解得$b=1$；当直线过点$(1,0)$时，代入得$0=\frac{1}{2}×1 + b$，解得$b=-\frac{1}{2}$，此时直线与图象有2个交点，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
中位数、一次函数性质、分段函数
【点评】
本题结合新定义“中位数”，考查分段函数的构建与一次函数的性质，关键是通过求交点划分区间确定中位数对应的表达式，再逐一分析结论，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
首先明确中位数的定义：三个数的中位数是将这三个数按从小到大排序后，位于中间位置的数。要确定函数$y=Z|2x - 2, x+1, -x+1|$，需先找到三个函数$y=2x-2$、$y=x+1$、$y=-x+1$的交点，以此划分区间，再在每个区间内确定三个数的大小关系，进而得到中位数对应的表达式，最后逐一判断四个结论是否正确。
【解析】
1. 求三个函数的交点，划分区间：
令$2x-2 = x+1$，解得$x=3$；
令$2x-2 = -x+1$，解得$x=1$；
令$x+1 = -x+1$，解得$x=0$；
因此，按$x$的取值分为四个区间：$x≤0$，$0≤x≤1$，$1≤x≤3$，$x≥3$。
2. 确定各区间内的中位数（即函数$y$的表达式）：
当$x≤0$时，三个数的大小为$2x-2 ≤ x+1 ≤ -x+1$，中位数为$x+1$，故$y=x+1$；
当$0≤x≤1$时，三个数的大小为$2x-2 ≤ -x+1 ≤ x+1$，中位数为$-x+1$，故$y=-x+1$；
当$1≤x≤3$时，三个数的大小为$-x+1 ≤ 2x-2 ≤ x+1$，中位数为$2x-2$，故$y=2x-2$；
当$x≥3$时，三个数的大小为$-x+1 ≤ x+1 ≤ 2x-2$，中位数为$x+1$，故$y=x+1$；
综上，$y=\begin{cases}x + 1 & (x ≤ 0) \\-x + 1 & (0 ≤ x ≤ 1) \\2x - 2 & (1 ≤ x ≤ 3) \\x + 1 & (x ≥ 3)\end{cases}$，其图象如图所示：
3. 判断各结论：
①取$x_1=0$，$x_2=1$，满足$x_1＜x_2$，此时$y_1=0+1=1$，$y_2=-1+1=0$，$y_1＞y_2$，故①错误；
②当$x＞1$时，函数在$1≤x≤3$时为$y=2x-2$，在$x≥3$时为$y=x+1$，均为一次函数且斜率为正，故$y$随$x$增大而增大，②正确；
③当$x＞0$时，在$0≤x≤1$区间，$y=-x+1$的最小值为$0$（$x=1$时）；在$1≤x≤3$区间，$y=2x-2$的最小值为$0$（$x=1$时）；$x＞3$时$y=x+1$逐渐增大，故$x＞0$时$y$的最小值为$0$，③正确；
④直线$y=\frac{1}{2}x + b$与该函数图象有且只有2个交点：当直线过点$(0,1)$时，代入得$1=\frac{1}{2}×0 + b$，解得$b=1$；当直线过点$(1,0)$时，代入得$0=\frac{1}{2}×1 + b$，解得$b=-\frac{1}{2}$，此时直线与图象有2个交点，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
中位数、一次函数性质、分段函数
【点评】
本题结合新定义“中位数”，考查分段函数的构建与一次函数的性质，关键是通过求交点划分区间确定中位数对应的表达式，再逐一分析结论，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
17.（8分）计算：
（1）$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$；
（2）$(\sqrt{8} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}$。
（1）$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$；
（2）$(\sqrt{8} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}$。
答案
（1）原式$=3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2}=0$；（2）原式$=\sqrt{48}+\sqrt{18}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，对于二次根式的加减，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；对于二次根式的混合运算，可利用乘法分配律展开后分别计算，再化简结果。
【解析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2}=(3-4+1)\sqrt{2}=0$；
（2）利用乘法分配律展开式子：
原式$=\sqrt{8}×\sqrt{6} + \sqrt{3}×\sqrt{6}$，分别计算乘法项：$\sqrt{8×6}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因此结果为$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
【答案】
（1）原式$=3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2}=0$；（2）原式$=\sqrt{48}+\sqrt{18}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并及二次根式乘法运算律的应用，只要掌握基本规则即可顺利解答，是巩固二次根式知识的典型题目。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，对于二次根式的加减，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；对于二次根式的混合运算，可利用乘法分配律展开后分别计算，再化简结果。
【解析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2}=(3-4+1)\sqrt{2}=0$；
（2）利用乘法分配律展开式子：
原式$=\sqrt{8}×\sqrt{6} + \sqrt{3}×\sqrt{6}$，分别计算乘法项：$\sqrt{8×6}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因此结果为$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
【答案】
（1）原式$=3\sqrt{2} -4\sqrt{2} + \sqrt{2}=0$；（2）原式$=\sqrt{48}+\sqrt{18}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并及二次根式乘法运算律的应用，只要掌握基本规则即可顺利解答，是巩固二次根式知识的典型题目。
【难度系数】
0.8
