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18.（8分）如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，连接 $DE$，$EB$，$BF$，$DF$.
（1）求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
（2）请添加一个条件：______，使四边形 $BEDF$ 为菱形.
（1）求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
（2）请添加一个条件：______，使四边形 $BEDF$ 为菱形.
答案
（1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AO=CO$，$DO=BO$，$\because E$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点，$\therefore OE=\frac{1}{2}AO$，$OF=\frac{1}{2}OC$，$\therefore OE=OF$，$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形；（2）解：添加$AC⊥ BD$，$\because AC⊥ BD$，$\therefore EF⊥ BD$，$\because$ 四边形$BEDF$是平行四边形，$\therefore$ 四边形$BEDF$为菱形，故答案为：$AC⊥ BD$。
解析
【分析】本题分为两小问，第（1）问需利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点条件得到四边形BEDF的对角线互相平分，进而判定其为平行四边形；第（2）问在已证平行四边形的基础上，根据菱形的判定定理添加合适条件，使平行四边形转化为菱形。
【解析】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}AO$，OF=$\frac{1}{2}OC$，
∴OE=OF。又
∵DO=BO，
∴四边形BEDF的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可证四边形BEDF是平行四边形。（2）要使平行四边形BEDF为菱形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加条件AC⊥BD。此时EF⊥BD，结合四边形BEDF是平行四边形，即可判定其为菱形。
【答案】（1）证明见上述解析；（2）AC⊥BD
【知识点】平行四边形的判定与性质、菱形的判定
【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定，属于基础题型，需熟练掌握相关定理，结合图形性质推导，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}AO$，OF=$\frac{1}{2}OC$，
∴OE=OF。又
∵DO=BO，
∴四边形BEDF的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可证四边形BEDF是平行四边形。（2）要使平行四边形BEDF为菱形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加条件AC⊥BD。此时EF⊥BD，结合四边形BEDF是平行四边形，即可判定其为菱形。
【答案】（1）证明见上述解析；（2）AC⊥BD
【知识点】平行四边形的判定与性质、菱形的判定
【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定，属于基础题型，需熟练掌握相关定理，结合图形性质推导，难度适中。
【难度系数】0.6
19.（8分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）第三组竞赛成绩的众数是
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的大约有多少人？
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.
信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）第三组竞赛成绩的众数是
76
，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是78
；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的大约有多少人？
答案
（1）第2组频数为$50 - （4+12+20+4）=10$，补全图形如下：
（2）第三组竞赛成绩的众数是76，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是$\frac{77+79}{2}=78$，故答案为：76、78；（3）$1500×\frac{50-4-10}{50}=1080$（人），答：估计该校参赛学生成绩不低于80分的大约有1080人。解析
【分析】
解决本题需分三步：第一步，根据总抽取人数和已知各组频数，计算缺失的第2组频数以补全直方图；第二步，依据众数、中位数的定义，结合第三组数据和总人数确定众数与中位数；第三步，利用样本中成绩不低于80分的比例，估计总体中对应的参赛人数。
【解析】
（1）计算第2组频数：总抽取学生数为50，已知第1组（50-60分）频数4，第3组（70-80分）频数12，第4组（80-90分）频数20，第5组（90-100分）频数4，因此第2组（60-70分）频数为：$50 - (4+12+20+4) = 10$，据此补全频数分布直方图（在60-70分区间绘制高度为10的矩形）。
（2）众数：第三组数据中，76出现次数最多（共3次），故众数为76；中位数：50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，前两组总人数为$4+10=14$，因此第15~26个数据在第三组，将第三组数据排序后，第25个数据为77，第26个数据为79，故中位数为$\frac{77+79}{2}=78$。
（3）样本中成绩不低于80分的人数为第4、5组之和：$20+4=24$，占比为$\frac{24}{50}$，因此估计该校1500名学生中成绩不低于80分的人数为：$1500×\frac{24}{50}=1080$（人）。
【答案】
（1）补全的频数分布直方图（第2组高度为10）；（2）76、78；（3）1080人。
【知识点】
频数分布直方图，众数，中位数，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点，涵盖频数分布直方图补全、众数与中位数计算、用样本估计总体，难度适中，需掌握基本统计概念与计算逻辑。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步：第一步，根据总抽取人数和已知各组频数，计算缺失的第2组频数以补全直方图；第二步，依据众数、中位数的定义，结合第三组数据和总人数确定众数与中位数；第三步，利用样本中成绩不低于80分的比例，估计总体中对应的参赛人数。
【解析】
（1）计算第2组频数：总抽取学生数为50，已知第1组（50-60分）频数4，第3组（70-80分）频数12，第4组（80-90分）频数20，第5组（90-100分）频数4，因此第2组（60-70分）频数为：$50 - (4+12+20+4) = 10$，据此补全频数分布直方图（在60-70分区间绘制高度为10的矩形）。
（2）众数：第三组数据中，76出现次数最多（共3次），故众数为76；中位数：50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，前两组总人数为$4+10=14$，因此第15~26个数据在第三组，将第三组数据排序后，第25个数据为77，第26个数据为79，故中位数为$\frac{77+79}{2}=78$。
（3）样本中成绩不低于80分的人数为第4、5组之和：$20+4=24$，占比为$\frac{24}{50}$，因此估计该校1500名学生中成绩不低于80分的人数为：$1500×\frac{24}{50}=1080$（人）。
【答案】
（1）补全的频数分布直方图（第2组高度为10）；（2）76、78；（3）1080人。
【知识点】
频数分布直方图，众数，中位数，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点，涵盖频数分布直方图补全、众数与中位数计算、用样本估计总体，难度适中，需掌握基本统计概念与计算逻辑。
【难度系数】
0.6
20.（8分）1号探测气球从海拔50m处出发，以2m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔70m处出发，以1m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.设两个气球所在位置的海拔分别为$y_1$和$y_2$（单位：m），上升时间为$x$（单位：min）.
（1）用式子分别表示$y_1$和$y_2$关于$x$的函数关系；
（2）当$x=35min$时，求$y_1 - y_2$的值；
（3）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
（1）用式子分别表示$y_1$和$y_2$关于$x$的函数关系；
（2）当$x=35min$时，求$y_1 - y_2$的值；
（3）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
答案
（1）$y_1=2x+50$，$y_2=x+70$，$\therefore y_1$关于$x$的函数关系为$y_1=2x+50$，$y_2$关于$x$的函数关系为$y_2=x+70$。（2）当$x=35$时，$y_1=2×35+50=120$，$y_2=35+70=105$，$120 - 105=15（m）$，$\therefore y_1 - y_2$的值为15。（3）当$y_1=y_2$时，得$2x+50=x+70$，解得$x=20$，$\therefore$ 两个气球能位于同一高度，这时气球上升了20min。
解析
【分析】
解决本题需结合“海拔=初始海拔+上升高度”的关系，上升高度由速度×时间计算，以此推导两个气球海拔关于时间的函数；代入具体时间计算差值时，直接将x的值代入对应函数即可；判断两气球是否同高，只需令两个函数值相等，解一元一次方程，再结合上升时间范围（0≤x≤60min）判断解的合理性。
【解析】
（1）1号气球初始海拔50m，速度2m/min，上升x min后，海拔y₁=初始海拔+上升高度=50 + 2x，即y₁=2x+50；2号气球初始海拔70m，速度1m/min，上升x min后，海拔y₂=70 + x，即y₂=x+70（x的取值范围为0≤x≤60）。
（2）当x=35min时，代入y₁=2x+50，得y₁=2×35+50=120m；代入y₂=x+70，得y₂=35+70=105m；则y₁ - y₂=120 - 105=15m。
（3）若两气球位于同一高度，则y₁=y₂，即2x+50=x+70，移项得2x - x=70 - 50，解得x=20；因20min在0≤x≤60min范围内，故两个气球能位于同一高度，此时上升时间为20min。
【答案】
（1）y₁=2x+50，y₂=x+70；（2）15；（3）能，20min。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是一次函数在实际问题中的基础应用，核心是从实际情境建立函数模型，利用函数与方程的关系解决问题，考查学生对一次函数概念的理解和基本运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合“海拔=初始海拔+上升高度”的关系，上升高度由速度×时间计算，以此推导两个气球海拔关于时间的函数；代入具体时间计算差值时，直接将x的值代入对应函数即可；判断两气球是否同高，只需令两个函数值相等，解一元一次方程，再结合上升时间范围（0≤x≤60min）判断解的合理性。
【解析】
（1）1号气球初始海拔50m，速度2m/min，上升x min后，海拔y₁=初始海拔+上升高度=50 + 2x，即y₁=2x+50；2号气球初始海拔70m，速度1m/min，上升x min后，海拔y₂=70 + x，即y₂=x+70（x的取值范围为0≤x≤60）。
（2）当x=35min时，代入y₁=2x+50，得y₁=2×35+50=120m；代入y₂=x+70，得y₂=35+70=105m；则y₁ - y₂=120 - 105=15m。
（3）若两气球位于同一高度，则y₁=y₂，即2x+50=x+70，移项得2x - x=70 - 50，解得x=20；因20min在0≤x≤60min范围内，故两个气球能位于同一高度，此时上升时间为20min。
【答案】
（1）y₁=2x+50，y₂=x+70；（2）15；（3）能，20min。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是一次函数在实际问题中的基础应用，核心是从实际情境建立函数模型，利用函数与方程的关系解决问题，考查学生对一次函数概念的理解和基本运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
