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6. (邵阳中考) 小明参加 100 m 短跑训练，2018 年 1—4 月的训练成绩如下表所示：
体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明 5 年(60 个月)后 100 m 短跑的成绩为
(温馨提示:目前 100 m 短跑世界纪录为 9 秒58) （
A.14.8 s
B.3.8 s
C.3 s
D.预测结果不可靠
体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明 5 年(60 个月)后 100 m 短跑的成绩为
(温馨提示:目前 100 m 短跑世界纪录为 9 秒58) （
D
）A.14.8 s
B.3.8 s
C.3 s
D.预测结果不可靠
答案
6. D 解析:若短跑的成绩与月份满足一次函数关系,计算可得 5 年后 100 m 短跑的成绩为 3.8 s,这与事实不符,故短跑的成绩与月份不满足一次函数关系,无法预测,故选 D.
7.(绍兴中考)实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是 15 cm,底面的长是 30 cm,宽是 20 cm,容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点 A 的三条棱的长分别为 10 cm,10 cm,$y\ \mathrm{cm}(y ≤ 15)$,当铁块的顶部高出水面 2 cm 时,x,y 满足的表达式是
$y=\dfrac{6x+10}{5}(0＜x ≤ \dfrac{65}{6})$ 或 $y=\dfrac{120-15x}{2}(6 ≤ x＜8)$
.答案
7. $y=\dfrac{6x+10}{5}(0＜x ≤ \dfrac{65}{6})$ 或 $y=\dfrac{120-15x}{2}(6 ≤ x＜8)$
解析:①当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 $y$ cm 的那一面平放在长方体的容器底面时,则铁块浸在水中的高度为8 cm,此时,水位上升了 $(8-x)\ \mathrm{cm}(x＜8)$,铁块浸在水中的体积为 $10 × 8 × y=80y(\ \mathrm{cm}^3),\therefore 80y=30 × 20 ×(8-x),\therefore y=$$\dfrac{120-15x}{2}.\because y ≤ 15,\therefore x ≥ 6$, 即 $y=\dfrac{120-15x}{2}(6 ≤ x＜8)$. ②当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 10 cm 的那一面平放在长方体的容器底面时,同①的方法,得 $y=\dfrac{6x+10}{5}(0＜x ≤ \dfrac{65}{6})$.
解析:①当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 $y$ cm 的那一面平放在长方体的容器底面时,则铁块浸在水中的高度为8 cm,此时,水位上升了 $(8-x)\ \mathrm{cm}(x＜8)$,铁块浸在水中的体积为 $10 × 8 × y=80y(\ \mathrm{cm}^3),\therefore 80y=30 × 20 ×(8-x),\therefore y=$$\dfrac{120-15x}{2}.\because y ≤ 15,\therefore x ≥ 6$, 即 $y=\dfrac{120-15x}{2}(6 ≤ x＜8)$. ②当长方体实心铁块的棱长为 10 cm 和 10 cm 的那一面平放在长方体的容器底面时,同①的方法,得 $y=\dfrac{6x+10}{5}(0＜x ≤ \dfrac{65}{6})$.
8. (2025·眉山中考)国家卫生健康委在全民健康调查中发现,近年来的肥胖人群快速增长,为加强对健康饮食的重视,特发布各地区四季健康饮食食谱.现有A,B两种食品,每份食品的质量为50 g,其核心营养素如下：
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少份?
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g,从A,B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g,且能量最低,应选用A,B两种食品各多少份?
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少份?
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g,从A,B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g,且能量最低,应选用A,B两种食品各多少份?
答案
8. (1) 设选用 $A,B$ 两种食品分别为 $x$ 份和 $y$ 份, $\because$ 要从这两种食品中摄入 1 280 Kcal 能量和 62 g 蛋白质,
$\therefore \begin{cases} 240x+280y=1\ 280,\\ 12x+13y=62, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x=3,\\ y=2, \end{cases}$ $\therefore$ 选用 $A,B$ 两种食品分别为 3 份和 2 份.
(2) 设选用 $A$ 种食品 $a$ 份,依题意, $\dfrac{300-50a}{50}=6-a$, 即选用$B$ 种食品 $(6-a)$ 份, 则 $12a+13(6-a) ≥ 76,12a+78-13a ≥$76, 解得 $a ≤ 2$, 设能量为 $b$, 则 $b=240a+280(6-a)=-40a+$$1\ 680.\because -40＜0,\therefore b$ 随 $a$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $a=2$ 时能量最低,即 $6-2=4,\therefore$ 应选用 $A,B$ 两种食品分别为 2 份和4 份.
$\therefore \begin{cases} 240x+280y=1\ 280,\\ 12x+13y=62, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x=3,\\ y=2, \end{cases}$ $\therefore$ 选用 $A,B$ 两种食品分别为 3 份和 2 份.
(2) 设选用 $A$ 种食品 $a$ 份,依题意, $\dfrac{300-50a}{50}=6-a$, 即选用$B$ 种食品 $(6-a)$ 份, 则 $12a+13(6-a) ≥ 76,12a+78-13a ≥$76, 解得 $a ≤ 2$, 设能量为 $b$, 则 $b=240a+280(6-a)=-40a+$$1\ 680.\because -40＜0,\therefore b$ 随 $a$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $a=2$ 时能量最低,即 $6-2=4,\therefore$ 应选用 $A,B$ 两种食品分别为 2 份和4 份.
9. (2025·安庆校级月考)某商场准备购进甲、乙两种服装进行销售.甲种服装每件进价160元,售价210元;乙种服装每件进价120元,售价150元.现计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于60件.设购进甲种服装x件,两种服装全部售完,商场获利y元.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若购进100件服装的总费用不超过15 000元,求最大利润为多少元;
(3)在(2)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠$a(0＜a＜20)$元的价格进行优惠促销活动,乙种服装每件进价减少b元,售价不变,且$a-b=4$,若最大利润为4 000元,求a的值.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若购进100件服装的总费用不超过15 000元,求最大利润为多少元;
(3)在(2)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠$a(0＜a＜20)$元的价格进行优惠促销活动,乙种服装每件进价减少b元,售价不变,且$a-b=4$,若最大利润为4 000元,求a的值.
答案
9. (1) $y=(210-160)x+(150-120)(100-x)=20x+3\ 000(x ≥ 60)$.
(2) 由题意得 $\begin{cases} x ≥ 60,\\ 160x+120 ×(100-x) ≤ 15\ 000, \end{cases}$ $\therefore 60 ≤ x ≤ 75$.
$\because y=20x+3\ 000$ 中 $k=20＞0,\therefore y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $x=75$ 时, $y_\mathrm{最大}=20 × 75+3\ 000=4\ 500$, 即最大利润为4 500 元.
(3) $\because a-b=4,\therefore b=a-4$. 由题意得 $y=(210-160-a)x+$$(150-120+b)(100-x)=(50-a)x+(30+b) × 100-(30+b)x=$$(24-2a)x+100a+2\ 600$.
$\because 60 ≤ x ≤ 75,0＜a＜20,\therefore$ 当 $0＜a＜12$ 时, $24-2a＞0,\therefore y$ 随 $x$的增大而增大, $\therefore$ 当 $x=75$ 时, $y_\mathrm{最大}=(24-2a) × 75+100a+$$2\ 600=4\ 000,\therefore a=8$, 符合题意. 当 $a=12$ 时, $y=100 × 12+$$2\ 600=3\ 800 ≠ 4\ 000$, 不符合题意. 当 $12＜a＜20$ 时, $24-2a＜$$0,y$ 随 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $x=60$ 时, $y_\mathrm{最大}=(24-2a) × 60+$$100a+2\ 600=4\ 000,\therefore a=2$, 不符合题意, 舍去. 综上, $a=8$.
(2) 由题意得 $\begin{cases} x ≥ 60,\\ 160x+120 ×(100-x) ≤ 15\ 000, \end{cases}$ $\therefore 60 ≤ x ≤ 75$.
$\because y=20x+3\ 000$ 中 $k=20＞0,\therefore y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $x=75$ 时, $y_\mathrm{最大}=20 × 75+3\ 000=4\ 500$, 即最大利润为4 500 元.
(3) $\because a-b=4,\therefore b=a-4$. 由题意得 $y=(210-160-a)x+$$(150-120+b)(100-x)=(50-a)x+(30+b) × 100-(30+b)x=$$(24-2a)x+100a+2\ 600$.
$\because 60 ≤ x ≤ 75,0＜a＜20,\therefore$ 当 $0＜a＜12$ 时, $24-2a＞0,\therefore y$ 随 $x$的增大而增大, $\therefore$ 当 $x=75$ 时, $y_\mathrm{最大}=(24-2a) × 75+100a+$$2\ 600=4\ 000,\therefore a=8$, 符合题意. 当 $a=12$ 时, $y=100 × 12+$$2\ 600=3\ 800 ≠ 4\ 000$, 不符合题意. 当 $12＜a＜20$ 时, $24-2a＜$$0,y$ 随 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $x=60$ 时, $y_\mathrm{最大}=(24-2a) × 60+$$100a+2\ 600=4\ 000,\therefore a=2$, 不符合题意, 舍去. 综上, $a=8$.
