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10. (2026·佛山期末)某校教学楼共三层,设有左、右两个楼梯口,通常在放学时,若人流量持续过大,会导致拥堵,从而出现不安全因素.通过观察发现位于教学楼二楼的七年级学生从放学时刻起,经过单个楼梯口等待人数按每分钟10人递增,5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递减;位于三楼的八年级学生从放学时刻起,经过单个楼梯口等待人数按每分钟6人递增,5分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减.忽略在楼梯上的通行时间,若在单个楼梯口等待人数超过70人,就可能出现安全问题.
(1)若设在楼梯口等待的人数为$y$(人),时间为$t$(分钟),试分别写出七、八年级学生$y$和$t$之间的函数关系式,并指出$t$的取值范围.
(2)若七、八年级学生同时放学,试计算等待人数超过70人所持续的时间.
(3)要使单个楼梯口等待人数不超过70人,则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学?
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(1)若设在楼梯口等待的人数为$y$(人),时间为$t$(分钟),试分别写出七、八年级学生$y$和$t$之间的函数关系式,并指出$t$的取值范围.
(2)若七、八年级学生同时放学,试计算等待人数超过70人所持续的时间.
(3)要使单个楼梯口等待人数不超过70人,则八年级学生最好比七年级迟几分钟放学?
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答案
10. (1) 七年级: 当 $0 ≤ t ≤ 5$ 时, $y=10t$; 当 $t＞5$ 时, $y=10 × 5-6 ×$$(t-5)=50-6t+30=80-6t$. 令 $80-6t=0$, 解得 $t=\dfrac{40}{3},\therefore$ 七年级等待的人数 $y$ 和 $t$ 之间的函数关系式为 $y_1=\begin{cases} 10t,0 ≤ t ≤ 5,\\ 80-6t,5＜t ≤ \dfrac{40}{3}. \end{cases}$
八年级: 当 $0 ≤ t ≤ 5$ 时, $y=6t$; 当 $t＞5$ 时, $y=6 × 5-12 ×(t-$$5)=30-12t+60=90-12t$.
令 $90-12t=0$, 解得 $t=\dfrac{15}{2},\therefore$ 八年级等待的人数 $y$ 和 $t$ 之间的函数关系式为 $y_2=\begin{cases} 6t,0 ≤ t ≤ 5,\\ 90-12t,5＜t ≤ \dfrac{15}{2}. \end{cases}$
(2) 在 0 到 5 分钟内,人数逐渐增加,5 分钟后,人数逐渐减少,当七、八年级学生同时放学,在单个楼梯口等待的总人数为两个年级人数之和, $0 ≤ t ≤ 5$ 时, 总人数 $y=10t+6t=$$16t$, 令 $y=70$, 则 $70=16t$, 解得 $t=\dfrac{35}{8}$; $t＞5$ 时, $y=80-6t+90-$$12t=170-18t$, 令 $y=70$, 则 $70=170-18t$, 解得 $t=\dfrac{50}{9};\therefore$ 持续时间为 $\dfrac{50}{9}-\dfrac{35}{8}=\dfrac{85}{72}$(分钟), $\therefore$ 等待人数超过 70 人所持续的时间为 $\dfrac{85}{72}$ 分钟.
(3) 设八年级学生比七年级迟 $x$ 分钟放学. 当 $0 ≤ t ≤ 5$ 时,$10t+6(t-x) ≤ 70$, 当 $t=5$ 时总人数最多, $50+6(5-x) ≤ 70$,解得 $x ≥ \dfrac{5}{3}$;
当 $5＜t ≤ 5+x$ 时, $80-6t+6(t-x) ≤ 70$, 解得 $x ≥ \dfrac{5}{3}$;
当 $t＞5+x$ 时, 人数逐渐减少, $\therefore x ≥ \dfrac{5}{3}$, 即八年级学生最好比七年级迟 $\dfrac{5}{3}$ 分钟放学.
八年级: 当 $0 ≤ t ≤ 5$ 时, $y=6t$; 当 $t＞5$ 时, $y=6 × 5-12 ×(t-$$5)=30-12t+60=90-12t$.
令 $90-12t=0$, 解得 $t=\dfrac{15}{2},\therefore$ 八年级等待的人数 $y$ 和 $t$ 之间的函数关系式为 $y_2=\begin{cases} 6t,0 ≤ t ≤ 5,\\ 90-12t,5＜t ≤ \dfrac{15}{2}. \end{cases}$
(2) 在 0 到 5 分钟内,人数逐渐增加,5 分钟后,人数逐渐减少,当七、八年级学生同时放学,在单个楼梯口等待的总人数为两个年级人数之和, $0 ≤ t ≤ 5$ 时, 总人数 $y=10t+6t=$$16t$, 令 $y=70$, 则 $70=16t$, 解得 $t=\dfrac{35}{8}$; $t＞5$ 时, $y=80-6t+90-$$12t=170-18t$, 令 $y=70$, 则 $70=170-18t$, 解得 $t=\dfrac{50}{9};\therefore$ 持续时间为 $\dfrac{50}{9}-\dfrac{35}{8}=\dfrac{85}{72}$(分钟), $\therefore$ 等待人数超过 70 人所持续的时间为 $\dfrac{85}{72}$ 分钟.
(3) 设八年级学生比七年级迟 $x$ 分钟放学. 当 $0 ≤ t ≤ 5$ 时,$10t+6(t-x) ≤ 70$, 当 $t=5$ 时总人数最多, $50+6(5-x) ≤ 70$,解得 $x ≥ \dfrac{5}{3}$;
当 $5＜t ≤ 5+x$ 时, $80-6t+6(t-x) ≤ 70$, 解得 $x ≥ \dfrac{5}{3}$;
当 $t＞5+x$ 时, 人数逐渐减少, $\therefore x ≥ \dfrac{5}{3}$, 即八年级学生最好比七年级迟 $\dfrac{5}{3}$ 分钟放学.
11. A 城有某种农机 30 台,B 城有该农机 40 台,现要将这些农机全部运往 C,D 两乡,调运任务承包给某运输公司. 已知 C 乡需要农机34 台,D 乡需要农机 36 台,从 A 城往 C,D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和200 元/台,从 B 城往 C,D 两乡运送农机的费用分别为 150 元/台和 240 元/台.
(1)设从 A 城运往 C 乡该农机 x 台,运送全部农机的总费用为 W 元,求 W 关于 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16 460 元,则有多少种不同的调运方案?将这些方案设计出来.
(3)现该运输公司决定对从 A 城运往 C 乡的农机的运输费每台减免 a 元$(a ≤ 200)$作为优惠,其他费用不变,如何调运,使总费用最少?
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(1)设从 A 城运往 C 乡该农机 x 台,运送全部农机的总费用为 W 元,求 W 关于 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16 460 元,则有多少种不同的调运方案?将这些方案设计出来.
(3)现该运输公司决定对从 A 城运往 C 乡的农机的运输费每台减免 a 元$(a ≤ 200)$作为优惠,其他费用不变,如何调运,使总费用最少?
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答案
11. (1) 若从 $A$ 城运往 $C$ 乡农机 $x$ 台, 则从 $A$ 城运往 $D$ 乡农机$(30-x)$ 台, 从 $B$ 城运往 $C$ 乡农机 $(34-x)$ 台, 从 $B$ 城运往$D$ 乡农机 $[40-(34-x)]$ 台, $\therefore W=250x+200(30-x)+$$150(34-x)+240[40-(34-x)]=140x+12\ 540$.
又 $\because \begin{cases} x ≥ 0,\\ 30-x ≥ 0,\\ 34-x ≥ 0,\\ 40-(34-x) ≥ 0, \end{cases}$ $\therefore 0 ≤ x ≤ 30,\therefore W$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $W=140x+12\ 540(0 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数).
(2) 要使 $W ≥ 16\ 460$, 即 $140x+12\ 540 ≥ 16\ 460$, 解得 $x ≥ 28$.又 $\because 0 ≤ x ≤ 30,\therefore 28 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数, $\therefore$ 有 3 种不同的调运方案:①当 $x=28$ 时,从 $A$ 城运往 $C$ 乡 28 台,运往$D$ 乡 2 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 6 台,运往 $D$ 乡 34 台;②当$x=29$ 时,从 $A$ 城运往 $C$ 乡 29 台,运往 $D$ 乡 1 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 5 台,运往 $D$ 乡 35 台;③当 $x=30$ 时,从 $A$ 城运往$C$ 乡 30 台,运往 $D$ 乡 0 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 4 台,运往$D$ 乡 36 台.
(3) $\because$ 从 $A$ 城运往 $C$ 乡的农机的运费每台减免 $a$ 元,$\therefore W=x(250-a)+200(30-x)+150(34-x)+240[40-(34-$$x)]=(140-a)x+12\ 540$.
$\because a ≤ 200,\therefore$ 需对 $a$ 进行讨论. ①当 $0＜a＜140$, 即 $140-a＞0$时, $W$ 随 $x$ 的增大而增大, 当 $x=0$ 时, $W$ 取最小值, 此时的方案为从 $A$ 城运往 $C$ 乡 0 台, 运往 $D$ 乡 30 台, 从 $B$ 城运往$C$ 乡 34 台, 运往 $D$ 乡 6 台; ②当 $a=140$ 时, $W=12\ 540$ 为定值, 此时 $x$ 只需满足 $0 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数即可, 共有31 种不同的方案, 每种方案总费用一样; ③当 $140＜$$a ≤ 200$, 即 $140-a＜0$ 时, $W$ 随 $x$ 的增大而减小, 当 $x=30$时, $W$ 取最小值, 此时的方案为从 $A$ 城运往 $C$ 乡 30 台, 运往 $D$ 乡 0 台, 从 $B$ 城运往 $C$ 乡 4 台, 运往 $D$ 乡 36 台.
又 $\because \begin{cases} x ≥ 0,\\ 30-x ≥ 0,\\ 34-x ≥ 0,\\ 40-(34-x) ≥ 0, \end{cases}$ $\therefore 0 ≤ x ≤ 30,\therefore W$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $W=140x+12\ 540(0 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数).
(2) 要使 $W ≥ 16\ 460$, 即 $140x+12\ 540 ≥ 16\ 460$, 解得 $x ≥ 28$.又 $\because 0 ≤ x ≤ 30,\therefore 28 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数, $\therefore$ 有 3 种不同的调运方案:①当 $x=28$ 时,从 $A$ 城运往 $C$ 乡 28 台,运往$D$ 乡 2 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 6 台,运往 $D$ 乡 34 台;②当$x=29$ 时,从 $A$ 城运往 $C$ 乡 29 台,运往 $D$ 乡 1 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 5 台,运往 $D$ 乡 35 台;③当 $x=30$ 时,从 $A$ 城运往$C$ 乡 30 台,运往 $D$ 乡 0 台,从 $B$ 城运往 $C$ 乡 4 台,运往$D$ 乡 36 台.
(3) $\because$ 从 $A$ 城运往 $C$ 乡的农机的运费每台减免 $a$ 元,$\therefore W=x(250-a)+200(30-x)+150(34-x)+240[40-(34-$$x)]=(140-a)x+12\ 540$.
$\because a ≤ 200,\therefore$ 需对 $a$ 进行讨论. ①当 $0＜a＜140$, 即 $140-a＞0$时, $W$ 随 $x$ 的增大而增大, 当 $x=0$ 时, $W$ 取最小值, 此时的方案为从 $A$ 城运往 $C$ 乡 0 台, 运往 $D$ 乡 30 台, 从 $B$ 城运往$C$ 乡 34 台, 运往 $D$ 乡 6 台; ②当 $a=140$ 时, $W=12\ 540$ 为定值, 此时 $x$ 只需满足 $0 ≤ x ≤ 30$, 且 $x$ 为整数即可, 共有31 种不同的方案, 每种方案总费用一样; ③当 $140＜$$a ≤ 200$, 即 $140-a＜0$ 时, $W$ 随 $x$ 的增大而减小, 当 $x=30$时, $W$ 取最小值, 此时的方案为从 $A$ 城运往 $C$ 乡 30 台, 运往 $D$ 乡 0 台, 从 $B$ 城运往 $C$ 乡 4 台, 运往 $D$ 乡 36 台.
