1. (徐州中考改编)$\sqrt{2026}$的值介于().

A.30与35之间
B.35与40之间
C.40与45之间
D.45与50之间

1.D

【分析】
要判断$\sqrt{2026}$的取值范围，需用“夹逼法”解题：先找到与2026相邻的两个能开得尽方的正整数，再通过这两个整数的算术平方根，就能确定$\sqrt{2026}$所在的区间。解题时优先回忆常见整数的平方值，找到比2026小的最大完全平方数、比2026大的最小完全平方数即可。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
$45^2=45×45=2025$，$50^2=50×50=2500$
可得大小关系：$2025＜2026＜2500$
根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，对上述不等式同时开算术平方根，得：
$\sqrt{2025}＜\sqrt{2026}＜\sqrt{2500}$
即$45＜\sqrt{2026}＜50$
因此$\sqrt{2026}$的值介于45与50之间。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根估算、完全平方数计算、实数大小比较
【点评】
本题考查无理数的估算，核心方法是“夹逼法”，熟练掌握常见整数的平方值是快速解题的关键，考查内容比较基础。
【难度系数】
0.85

2. 若一把钥匙藏在如图所示的16块正方形瓷砖的某一块下面,则钥匙藏在黑瓷砖(图中阴影部分)下的概率是().

A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$

2.C

【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路清晰：首先明确每块瓷砖下藏钥匙的可能性相等，概率的计算规则是符合条件的情况数除以所有可能的总情况数。第一步先计算瓷砖的总数量，第二步准确数出阴影黑瓷砖的数量，第三步代入概率公式计算就能得到结果。
【解析】
解：首先计算总瓷砖数量：由图可知瓷砖为4行4列排列，总数量为 $4×4=16$ 块，且每块瓷砖下藏钥匙的可能性相等。
再逐行数阴影黑瓷砖的数量，可得黑瓷砖共4块。
根据概率计算公式，钥匙藏在黑瓷砖下的概率为：
$P=\frac{\mathrm{黑瓷砖数量}}{\mathrm{总瓷砖数量}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、等可能事件
【点评】
本题属于基础概率应用题，解题核心是准确计数总瓷砖数和阴影瓷砖数，计算量很小，只要认真审题计数就很容易得分。
【难度系数】
0.85

3. 在$\frac{1}{x},\frac{1}{2},\frac{x+1}{2},\frac{xy}{π},\frac{3}{x+y},a+\frac{1}{m}$中，分式的个数为().

A.2
B.5
C.4
D.3

3.D

【分析】
要判断分式的个数，首先要明确分式的判定标准：判断一个式子是否为分式，核心是看它的分母中是否含有字母（注意π是固定常数，不属于未知字母）。解题时逐个分析给出的式子，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，若$A$、$B$均为整式，且分母$B$中含有未知字母，则该式子为分式。我们逐个判断：
1. $\frac{1}{x}$：分母为$x$，含有未知字母，属于分式；
2. $\frac{1}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{x+1}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{xy}{π}$：π是固定常数，分母不含未知字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{3}{x+y}$：分母为$x+y$，含有未知字母，属于分式；
6. $a+\frac{1}{m}$：式子中$\frac{1}{m}$的分母为$m$，含有未知字母，整体属于分式。
综上，符合要求的分式共有3个。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题属于分式判断的基础题型，解题关键是牢记分式的判定规则，易错点是容易误将常数π当作未知字母，或者忽略分母特征只看分子结构导致判断错误，做题时要逐一核对每个式子的分母组成。
【难度系数】
0.7

4. 若代数式$\dfrac{2}{x-3}$有意义，则实数$x$的取值范围是（）.

A.$x=0$
B.$x=3$
C.$x≠0$
D.$x≠3$

4.D

【分析】
要确定代数式$\dfrac{2}{x-3}$有意义时$x$的取值范围，首先识别该代数式属于分式，根据分式有意义的核心要求：分式的分母不能为0，因此只需令该分式的分母不等于0，解出对应不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于代数式$\dfrac{2}{x-3}$，其分母为$x-3$，因此可列不等式：
$x-3≠0$
解得$x≠3$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，核心考察对分式有意义条件的掌握，牢记“分式分母不为0”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5. 设$\sqrt{2}=a,\sqrt{3}=b$，用含$a,b$的式子表示$\sqrt{0.54}$，则下列表示正确的是（）.

A.$0.3ab$
B.$3ab$
C.$0.1ab^2$
D.$0.1a^2b$

5.A

【分析】
要解决这道题，核心思路是先利用二次根式的运算性质化简$\sqrt{0.54}$，将被开方数拆分为含有2和3的因数乘积的形式，再把已知的$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{3}=b$代入化简后的式子，最后匹配选项即可。具体思考步骤：第一步先把小数形式的被开方数转化为分数，拆分质因数；第二步用二次根式乘除性质拆分、化简根式，得到仅含$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的表达式；第三步代入$a$、$b$整理结果，对应选项判断。
【解析】
解：先化简$\sqrt{0.54}$：
$\sqrt{0.54}=\sqrt{\frac{54}{100}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}$
将54分解质因数得$54=2×3^2×3$，代入$\sqrt{54}$化简：
$\sqrt{54}=\sqrt{2×3^2×3}=\sqrt{2}×\sqrt{3^2}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}·\sqrt{3}$
又$\sqrt{100}=10$，因此：
$\sqrt{0.54}=\frac{3\sqrt{2}·\sqrt{3}}{10}=0.3\sqrt{2}·\sqrt{3}$
把$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{3}=b$代入，得$\sqrt{0.54}=0.3ab$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式运算性质、代数式代换
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是正确拆分被开方数的质因数，熟练运用二次根式的运算性质化简，再结合已知条件代换即可得出结果。
【难度系数】
0.8

6. 已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象过点$(0,2)$，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的关系式为().

A.$y=x+2$
B.$y=-x+2$
C.$y=x+2$或$y=-x+2$
D.$y=x-2$或$y=-x+2$

6.C

【分析】
解题时先利用已知的函数图象经过的点求出解析式中的常数项b，再求出一次函数与x轴的交点坐标，结合三角形面积公式列方程求出k的值，注意k的取值有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
第一步：求常数项b
∵ 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象过点$(0,2)$
∴ 将$x=0$，$y=2$代入解析式得：$2 = k×0 + b$，解得$b=2$
∴ 一次函数解析式可写为$y=kx+2$
第二步：求一次函数与x轴的交点坐标
令$y=0$，则$0 = kx + 2$，解得$x=-\frac{2}{k}$
即一次函数与x轴的交点为$(-\frac{2}{k}, 0)$
第三步：结合三角形面积列方程求k
一次函数与两坐标轴围成的三角形的两条直角边长度分别为与y轴交点的纵坐标绝对值$|2|=2$，与x轴交点的横坐标绝对值$\left|-\frac{2}{k}\right|=\left|\frac{2}{k}\right|$
根据三角形面积为2，可得：
$\frac{1}{2} × 2 × \left|\frac{2}{k}\right| = 2$
化简得：$\left|\frac{2}{k}\right|=2$
即$\frac{2}{k}=2$或$\frac{2}{k}=-2$
解得$k=1$或$k=-1$
∴ 一次函数的关系式为$y=x+2$或$y=-x+2$
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数与坐标轴交点；三角形面积公式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，同时要注意绝对值运算带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$,则$\frac{a - b}{b}=$.

7.$-\frac{1}{3}$

【分析】
本题已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，可从两个方向思考：一是利用同分母分式的减法法则，将待求式拆分为两个分式的差，直接代入已知比值计算；二是采用参数法，根据已知比例设参数表示a和b，再代入待求式约分得到结果，两种方法均符合学段要求，计算难度低。
【解析】
方法一：拆分法
根据同分母分式的减法运算规则：$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1$
已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，代入得：$\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$
方法二：参数法
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$，满足$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$），代入待求式得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{2k-3k}{3k}=\frac{-k}{3k}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式化简、比例的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查分式的基本运算和比例的应用，两种常用解题思路都容易掌握，熟练掌握基础运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

8. 若$\sqrt{(x-3)^2}=x-3$，则$x$的取值范围是________.

8.$x≥3$

【分析】
本题需要结合二次根式的性质和绝对值的性质求解。首先回忆二次根式的化简规则：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将等式左边化简为绝对值形式；再根据绝对值的性质：若$|a|=a$，说明$a$是非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
已知$\sqrt{(x-3)^2}=x-3$，因此$|x-3|=x-3$
根据绝对值的性质：当$a≥0$时，$|a|=a$，可得$x-3≥0$
解不等式得：$x≥3$
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简规则和绝对值的性质，解题时要注意不要忽略$x-3=0$的情况，避免漏解，熟练掌握相关基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

9. 比较下列实数的大小：$3\sqrt{6}$ ______ $2\sqrt{13}$.（填“＞”或“＜”）

9.$＞$

【分析】
要比较两个正的含二次根式的实数的大小，由于二者均为正数，根据“正数的平方越大，原数越大”的性质，可采用平方法：将两个数分别平方去掉根号，比较得到的整数的大小，就能推出原数的大小关系。
【解析】
分别计算两个数的平方：
$(3\sqrt{6})^2=3^2×(\sqrt{6})^2=9×6=54$
$(2\sqrt{13})^2=2^2×(\sqrt{13})^2=4×13=52$
因为$54＞52$，且$3\sqrt{6}＞0$、$2\sqrt{13}＞0$，正数平方越大原数越大，因此$3\sqrt{6}＞2\sqrt{13}$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次根式大小比较；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是比较正二次根式大小的常用技巧，解题时注意该方法仅适用于两个正数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10. 小刚将一个骰子随意抛了10次，出现的点数分别为6,3,1,2,3,4,3,5,3,4.在这10次中“4”出现的频数是，“3”出现的频率是。

10.2 0.4

【分析】
要解决本题，首先需要明确两个统计概念：①频数指的是一组数据中某个特定数据出现的次数，求“4”的频数只需统计10次抛骰子结果里4出现的次数即可；②频率是某数据的频数除以总试验次数，求“3”的频率需要先统计3出现的频数，再除以总次数10就能得到结果。
【解析】
已知10次抛骰子出现的点数为：6,3,1,2,3,4,3,5,3,4。
1. 统计“4”出现的次数：观察数据可知4共出现2次，因此“4”出现的频数是2。
2. 统计“3”出现的次数：观察数据可知3共出现4次，总试验次数为10次，根据频率公式：频率=频数÷总次数，可得“3”出现的频率为$4÷10=0.4$。
【答案】
2；0.4
【知识点】
频数的概念；频率的计算
【点评】
本题是统计类基础题，主要考查对频数、频率定义的掌握，解题时只需准确计数对应数字的出现次数，代入频率公式计算即可，注意计数时不要出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.9

11. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，$P$ 为 $BC$ 上任意一点，连接 $PA$，以 $PA$，$PC$ 为邻边作平行四边形 $PAQC$，连接 $PQ$，则 $PQ$ 的最小值为________.

11.$\frac{12}{5}$ 解析:如图,设AC,QP交于点O,连接OB,过点O作$OP'⊥ BC$于点$P'$.

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
$\because$ 四边形APCQ是平行四边形,
$\therefore OQ=OP,CO=OA=2$.
$\because S_{△ BXC}=\frac{1}{2}OC· AB=\frac{1}{2}BC· OP'$,
$\therefore OP'=\frac{OC· AB}{BC}=\frac{2×3}{5}=\frac{6}{5}$.
当点P位于点$P'$处时,OP最小.故QP的最小值为$\frac{6}{5}×2=\frac{12}{5}$.

【分析】
本题是直角三角形与平行四边形结合的最值问题，解题思路可按以下步骤梳理：①首先利用平行四边形的性质转化所求线段：平行四边形对角线互相平分，因此PQ与AC的交点O是AC和PQ的中点，可得PQ=2OP，求PQ的最小值等价于求OP的最小值；②分析OP的最小值：O是AC中点为定点，P在BC上运动，根据“垂线段最短”，当OP垂直BC时，OP长度最小；③计算最短长度：先用勾股定理求出BC的长度，再用面积法求出O到BC的垂线段长度，最后乘2即可得到PQ的最小值。
【解析】
设AC、QP交于点O，过点O作$OP'⊥ BC$于点$P'$。
1. 求BC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 利用平行四边形性质转化线段：
∵ 四边形APCQ是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴ $OQ=OP$，$CO=OA=\frac{1}{2}AC=2$，即$PQ=2OP$。
3. 求OP的最小值：
O为定点，P在BC上运动，根据垂线段最短，当P与$P'$重合时，OP长度最小，最小值为$OP'$的长度。
用面积法计算$OP'$：$△BOC$的面积可表示为$\frac{1}{2}OC· AB$（以OC为底，AB为B到AC的高），也可表示为$\frac{1}{2}BC· OP'$（以BC为底，$OP'$为O到BC的高），因此：
$\frac{1}{2}OC· AB=\frac{1}{2}BC· OP'$，代入数值解得：
$OP'=\frac{OC· AB}{BC}=\frac{2×3}{5}=\frac{6}{5}$。
4. 计算PQ的最小值：
$PQ_{min}=2OP'=2×\frac{6}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理，平行四边形的性质，垂线段最短
【点评】
本题将最值问题与几何图形性质结合，核心是利用转化思想，将PQ的最小值转化为定点到直线的最短距离求解，面积法求高是解决这类垂线段长度问题的常用技巧，解题时要注意灵活转化未知线段。
【难度系数】
0.6

12. 若 $ m $ 是$\sqrt{7}$的小数部分，则 $ m^2 + 4m + 2026 $ 的值是 ______.

12.2029

【分析】
解题首先要确定$\sqrt{7}$的小数部分$m$：先估算$\sqrt{7}$的取值范围，得到它的整数部分，用$\sqrt{7}$减去整数部分即可得到$m$的值；再观察待求代数式的结构，发现可以利用完全平方公式对代数式进行配方变形，简化计算，最后代入$m$的值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为$2$，小数部分$m=\sqrt{7}-2$
对待求式配方变形：
$m^2 + 4m + 2026$
$=(m^2+4m+4)-4+2026$
$=(m+2)^2+2022$
将$m=\sqrt{7}-2$代入上式：
原式$=(\sqrt{7}-2+2)^2+2022$
$=(\sqrt{7})^2+2022$
$=7+2022$
$=2029$
【答案】
2029
【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是无理数估算与整式化简求值的综合题型，核心是正确得到无理数的小数部分，通过配方的方式化简代数式可以大幅降低计算量，避免根式运算出错。
【难度系数】
0.7