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14. (12 分)如图,在$△ ABC$中,$AB=13$,$AC=20$,$AD=12$,且$AD ⊥ BC$,垂足为$D$.求$BC$的长.
答案
14. $\because AB=13,AC=20,AD=12,AD⊥ BC$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$,
$\therefore BC=BD+CD=21$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$,
$\therefore BC=BD+CD=21$.
解析
【分析】
观察图形可知AD是△ABC的高，由AD⊥BC可得到△ABD和△ACD都是直角三角形；已知两个直角三角形的斜边AB、AC以及公共直角边AD的长度，可先根据勾股定理分别求出BD、CD的长度，再根据BC是BD与CD的和，即可求出BC的总长度。
【解析】
解：
∵AB=13，AC=20，AD=12，AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$，
∴$BC=BD+CD=5+16=21$。
【答案】
21
【知识点】
勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是基础计算题，解题关键是借助三角形的高将原三角形拆分为两个直角三角形，再利用勾股定理分别计算线段长度，最后通过线段求和得到结果，计算时要注意根号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
观察图形可知AD是△ABC的高，由AD⊥BC可得到△ABD和△ACD都是直角三角形；已知两个直角三角形的斜边AB、AC以及公共直角边AD的长度，可先根据勾股定理分别求出BD、CD的长度，再根据BC是BD与CD的和，即可求出BC的总长度。
【解析】
解：
∵AB=13，AC=20，AD=12，AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$，
∴$BC=BD+CD=5+16=21$。
【答案】
21
【知识点】
勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是基础计算题，解题关键是借助三角形的高将原三角形拆分为两个直角三角形，再利用勾股定理分别计算线段长度，最后通过线段求和得到结果，计算时要注意根号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
15. (12分)已知$y$是$x$的一次函数,表中给出了部分对应值.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求$m,n$的值.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求$m,n$的值.
答案
15. (1)设该一次函数的表达式为$y=kx+b$.
由题意,得$\begin{cases} -k+b=5, \\ 2k+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=4. \end{cases}$
故该一次函数的表达式为$y=-x+4$.
(2)当$x=4$时,$y=-x+4=0$;
当$y=-3$时,$y=-x+4=-3$,解得$x=7$.
故$m,n$的值分别为0,7.
由题意,得$\begin{cases} -k+b=5, \\ 2k+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=4. \end{cases}$
故该一次函数的表达式为$y=-x+4$.
(2)当$x=4$时,$y=-x+4=0$;
当$y=-3$时,$y=-x+4=-3$,解得$x=7$.
故$m,n$的值分别为0,7.
解析
【分析】
（1）求解一次函数表达式，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，要确定$k$和$b$两个未知参数，需要两组$x$、$y$的对应值代入，列二元一次方程组求解即可。（2）求$m$时，$m$是$x=4$对应的函数值，直接将$x=4$代入已求出的解析式计算即可；求$n$时，$n$是$y=-3$对应的自变量值，将$y=-3$代入解析式解方程即可得到$n$。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=-1,y=5$和$x=2,y=2$分别代入表达式，得：
$\begin{cases} -k+b=5 \\ 2k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代入$-k+b=5$，得$1+b=5$，解得$b=4$。
因此该一次函数的表达式为$y=-x+4$。
(2) 求$m$的值：当$x=4$时，代入$y=-x+4$，得$m=-4+4=0$。
求$n$的值：当$y=-3$时，代入$y=-x+4$，得$-3=-n+4$，移项解得$n=7$。
【答案】
(1) $y=-x+4$
(2) $m=0$，$n=7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）求解一次函数表达式，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，要确定$k$和$b$两个未知参数，需要两组$x$、$y$的对应值代入，列二元一次方程组求解即可。（2）求$m$时，$m$是$x=4$对应的函数值，直接将$x=4$代入已求出的解析式计算即可；求$n$时，$n$是$y=-3$对应的自变量值，将$y=-3$代入解析式解方程即可得到$n$。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=-1,y=5$和$x=2,y=2$分别代入表达式，得：
$\begin{cases} -k+b=5 \\ 2k+b=2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代入$-k+b=5$，得$1+b=5$，解得$b=4$。
因此该一次函数的表达式为$y=-x+4$。
(2) 求$m$的值：当$x=4$时，代入$y=-x+4$，得$m=-4+4=0$。
求$n$的值：当$y=-3$时，代入$y=-x+4$，得$-3=-n+4$，移项解得$n=7$。
【答案】
(1) $y=-x+4$
(2) $m=0$，$n=7$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可得分。
【难度系数】
0.8
16. (16分)如图,过点$A(2,0)$的两条直线$l_1,l_2$分别交$y$轴于点$B,C$,其中点$B$在原点上方,点$C$在原点下方,已知$AB=\sqrt{13}$.
(1)求点$B$的坐标;
(2)若$OC:OB=1:3$,求直线$l_2$的函数表达式.
(1)求点$B$的坐标;
(2)若$OC:OB=1:3$,求直线$l_2$的函数表达式.
答案
16. (1)$\because$ 点$A$的坐标为$(2,0)$,$\therefore OA=2$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOA$中,$AO^2+OB^2=AB^2$,
即$2^2+OB^2=(\sqrt{13})^2$,$\therefore OB=3$.
$\because$ 点$B$在原点上方,
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,3)$.
(2)$\because OC:OB=1:3$,$\therefore OC=1$.
$\because$ 点$C$在原点下方,
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,-1)$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,
由$l_2$过点$A,C$,得$\begin{cases} b=-1, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=-1. \end{cases}$
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOA$中,$AO^2+OB^2=AB^2$,
即$2^2+OB^2=(\sqrt{13})^2$,$\therefore OB=3$.
$\because$ 点$B$在原点上方,
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,3)$.
(2)$\because OC:OB=1:3$,$\therefore OC=1$.
$\because$ 点$C$在原点下方,
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,-1)$.
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,
由$l_2$过点$A,C$,得$\begin{cases} b=-1, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=-1. \end{cases}$
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$.
解析
【分析】
(1) 点B在y轴上，横坐标为0，只需求出OB的长度即可得到点B坐标。已知点A坐标为$(2,0)$可得$OA=2$，$\mathrm{Rt}△BOA$中已知斜边AB的长度，可通过勾股定理计算OB的长度，再结合点B在原点上方确定纵坐标为正，即可得点B坐标。
(2) 先根据$OC:OB=1:3$，结合第一问求得的OB长度算出OC的长度，再根据点C在原点下方确定点C的坐标。求直线$l_2$的解析式可使用待定系数法，设表达式为$y=kx+b$，将$l_2$经过的A、C两点坐标代入，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点$A$的坐标为$(2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOA$中，$AO^2+OB^2=AB^2$，
即$2^2+OB^2=(\sqrt{13})^2$，$\therefore OB=3$。
$\because$ 点$B$在原点上方，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,3)$。
(2) $\because OC:OB=1:3$，$\therefore OC=1$。
$\because$ 点$C$在原点下方，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,-1)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
由$l_2$过点$A,C$，得$\begin{cases} b=-1, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=-1. \end{cases}$
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
【答案】
(1) $B(0,3)$；(2) $y=\frac{1}{2}x-1$
【知识点】
勾股定理；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是先结合勾股定理求出坐标轴上点的坐标，再用待定系数法求函数解析式，解题时需注意点在坐标轴不同位置的坐标符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
(1) 点B在y轴上，横坐标为0，只需求出OB的长度即可得到点B坐标。已知点A坐标为$(2,0)$可得$OA=2$，$\mathrm{Rt}△BOA$中已知斜边AB的长度，可通过勾股定理计算OB的长度，再结合点B在原点上方确定纵坐标为正，即可得点B坐标。
(2) 先根据$OC:OB=1:3$，结合第一问求得的OB长度算出OC的长度，再根据点C在原点下方确定点C的坐标。求直线$l_2$的解析式可使用待定系数法，设表达式为$y=kx+b$，将$l_2$经过的A、C两点坐标代入，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点$A$的坐标为$(2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOA$中，$AO^2+OB^2=AB^2$，
即$2^2+OB^2=(\sqrt{13})^2$，$\therefore OB=3$。
$\because$ 点$B$在原点上方，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,3)$。
(2) $\because OC:OB=1:3$，$\therefore OC=1$。
$\because$ 点$C$在原点下方，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,-1)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
由$l_2$过点$A,C$，得$\begin{cases} b=-1, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=-1. \end{cases}$
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
【答案】
(1) $B(0,3)$；(2) $y=\frac{1}{2}x-1$
【知识点】
勾股定理；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，解题核心是先结合勾股定理求出坐标轴上点的坐标，再用待定系数法求函数解析式，解题时需注意点在坐标轴不同位置的坐标符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
