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1. 计算：
(1)$2\sin 30° - \sqrt{12} + \tan 60°$；
(2)$8\sin 30° - 2\cos^2 45° + \sqrt{27}\tan 60°$；
(3)$\sin^2 60° + |\tan 45° - \sqrt{2}| - 2\cos 45°$；
(4)$-1^4 + \sqrt{2} - \sin 45° - \cos 30° - \tan 60° + (\sqrt{2} - 1)^0$。
(1)$2\sin 30° - \sqrt{12} + \tan 60°$；
(2)$8\sin 30° - 2\cos^2 45° + \sqrt{27}\tan 60°$；
(3)$\sin^2 60° + |\tan 45° - \sqrt{2}| - 2\cos 45°$；
(4)$-1^4 + \sqrt{2} - \sin 45° - \cos 30° - \tan 60° + (\sqrt{2} - 1)^0$。
答案
(1)原式=$1-\sqrt{3}$；
(2)原式=$12$；
(3)原式=$-\frac{1}{4}$；
(4)原式=$\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$。
(2)原式=$12$；
(3)原式=$-\frac{1}{4}$；
(4)原式=$\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
这4道题均属于特殊角三角函数值与实数运算结合的计算题，解题思路如下：①首先牢固记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值；②按照实数混合运算顺序，先计算乘方、开方、三角函数值、绝对值、零指数幂等运算，再进行加减运算；③计算过程中注意二次根式化简、去绝对值时先判断内部正负、零指数幂的适用条件（底数不为0）、乘方的符号规则，最后合并同类二次根式得到最简结果。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值、化简二次根式：
原式$=2×\frac{1}{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1-\sqrt{3}$
(2) 分别计算三角函数、乘方、二次根式乘法：
原式$=8×\frac{1}{2} - 2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 3\sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=4 - 2×\frac{1}{2} + 9$
$=4 - 1 + 9$
$=12$
(3) 先计算乘方、去绝对值、代入三角函数值：
原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + |1 - \sqrt{2}| - 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{3}{4} + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=\frac{3}{4} -1$
$=-\frac{1}{4}$
(4) 注意$-1^4=-1$，非零数的零次幂为1：
原式$=-1 + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + 1$
$=(-1+1) + (\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$1-\sqrt{3}$；(2)$12$；(3)$-\frac{1}{4}$；(4)$\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，零指数幂运算
【点评】
此类题目是三角函数计算的基础题型，易错点为记错特殊角的三角函数值、混淆乘方符号、去绝对值时符号错误、零指数幂运算规则记错，解题时需逐个核对每一步运算的规则，做完后可反向检查结果是否合理。
【难度系数】
0.6
这4道题均属于特殊角三角函数值与实数运算结合的计算题，解题思路如下：①首先牢固记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值；②按照实数混合运算顺序，先计算乘方、开方、三角函数值、绝对值、零指数幂等运算，再进行加减运算；③计算过程中注意二次根式化简、去绝对值时先判断内部正负、零指数幂的适用条件（底数不为0）、乘方的符号规则，最后合并同类二次根式得到最简结果。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值、化简二次根式：
原式$=2×\frac{1}{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$=1-\sqrt{3}$
(2) 分别计算三角函数、乘方、二次根式乘法：
原式$=8×\frac{1}{2} - 2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 3\sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=4 - 2×\frac{1}{2} + 9$
$=4 - 1 + 9$
$=12$
(3) 先计算乘方、去绝对值、代入三角函数值：
原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + |1 - \sqrt{2}| - 2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{3}{4} + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}$
$=\frac{3}{4} -1$
$=-\frac{1}{4}$
(4) 注意$-1^4=-1$，非零数的零次幂为1：
原式$=-1 + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} + 1$
$=(-1+1) + (\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$1-\sqrt{3}$；(2)$12$；(3)$-\frac{1}{4}$；(4)$\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，零指数幂运算
【点评】
此类题目是三角函数计算的基础题型，易错点为记错特殊角的三角函数值、混淆乘方符号、去绝对值时符号错误、零指数幂运算规则记错，解题时需逐个核对每一步运算的规则，做完后可反向检查结果是否合理。
【难度系数】
0.6
2. 如图,将$∠BAC$放置在$5×5$的正方形网格中,如果顶点$A,B,C$均在格点上,求$∠BAC$的正切值.
答案
如图,连接BC.
$\because AB=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,且$∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=45°$,$\therefore \tan∠ BAC=1$。
解析
【分析】
要求∠BAC的正切值，需将该角放在直角三角形中计算，因此首先考虑连接BC构造△ABC。接下来借助网格用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定∠BAC所在直角三角形的边的关系，最后根据正切的定义求出对应值即可。
【解析】
如图，连接BC。
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：
$AB=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
因此$AB^2+BC^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=10+10=20$，$AC^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
可得$AB^2+BC^2=AC^2$，
所以△ABC是直角三角形，且$∠ABC=90°$，
又因为$AB=BC$，所以△ABC是等腰直角三角形，
因此$∠BAC=45°$，故$\tan∠BAC=\tan45°=1$。
【答案】
如图,连接BC.
$\because AB=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,且$∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=45°$,$\therefore \tan∠ BAC=1$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；正切的定义
【点评】
本题属于网格背景下的三角函数基础题，解题关键是通过添加辅助线构造三角形，利用勾股定理及逆定理判断三角形形状，进而求出角的三角函数值，解题思路常规，掌握网格中线段长度的计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的正切值，需将该角放在直角三角形中计算，因此首先考虑连接BC构造△ABC。接下来借助网格用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定∠BAC所在直角三角形的边的关系，最后根据正切的定义求出对应值即可。
【解析】
如图，连接BC。
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：
$AB=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
因此$AB^2+BC^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=10+10=20$，$AC^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
可得$AB^2+BC^2=AC^2$，
所以△ABC是直角三角形，且$∠ABC=90°$，
又因为$AB=BC$，所以△ABC是等腰直角三角形，
因此$∠BAC=45°$，故$\tan∠BAC=\tan45°=1$。
【答案】
如图,连接BC.
$\because AB=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,且$∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=45°$,$\therefore \tan∠ BAC=1$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；正切的定义
【点评】
本题属于网格背景下的三角函数基础题，解题关键是通过添加辅助线构造三角形，利用勾股定理及逆定理判断三角形形状，进而求出角的三角函数值，解题思路常规，掌握网格中线段长度的计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形ABCD(阴影部分),做成要制作的飞机的一个机翼,请你根据图中的数据帮小明计算出CD的长度.(结果保留根号)
答案
由题意,得在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,$∠ E=90°$,$∠ EBC=60°$,
$\therefore ∠ BCE=30°$,$\tan 30°=\frac{BE}{EC}$,
$\therefore BE=EC· \tan 30°=51×\frac{\sqrt{3}}{3}=17\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore CF=AE=AB+BE=(34+17\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,$∠ FAD=45°$,$\therefore ∠ FDA=45°$,
$\therefore DF=AF=EC=51\ \mathrm{cm}$,
则$CD=FC-FD=34+17\sqrt{3}-51=(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$.
故$CD$的长度为$(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$.
$\therefore ∠ BCE=30°$,$\tan 30°=\frac{BE}{EC}$,
$\therefore BE=EC· \tan 30°=51×\frac{\sqrt{3}}{3}=17\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore CF=AE=AB+BE=(34+17\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,$∠ FAD=45°$,$\therefore ∠ FDA=45°$,
$\therefore DF=AF=EC=51\ \mathrm{cm}$,
则$CD=FC-FD=34+17\sqrt{3}-51=(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$.
故$CD$的长度为$(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形AECF是矩形，因此可得AF=EC=51cm，AE=FC。要求CD的长度，可转化为求FC与FD的差，因此需要分别求出FC和FD的长度：①求FD：在Rt△AFD中，∠FAD=45°且∠F为直角，因此△AFD是等腰直角三角形，FD=AF=EC=51cm；②求FC：FC等于AE，AE为AB与BE的和，AB已知为34cm，因此只需计算BE的长度即可。已知∠ABC=120°，可得邻补角∠EBC=60°，在Rt△BEC中已知EC=51cm，结合30°角的三角函数值即可求出BE，进而求出FC，最后用FC减FD就能得到CD的长度。
【解析】
由题意得四边形AECF是矩形，
∴$AF=EC=51\mathrm{cm}$，$∠ E=∠ F=90°$，$AE=FC$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ E=90°$，$∠ EBC=180°-120°=60°$，
$\therefore ∠ BCE=30°$，
$\because \tan30°=\frac{BE}{EC}$，
$\therefore BE=EC· \tan 30°=51×\frac{\sqrt{3}}{3}=17\sqrt{3}(\mathrm{cm})$，
$\therefore FC=AE=AB+BE=(34+17\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，$∠ F=90°$，$∠ FAD=45°$，
$\therefore ∠ FDA=45°$，$△ AFD$是等腰直角三角形，
$\therefore DF=AF=51\ \mathrm{cm}$，
则$CD=FC-FD=34+17\sqrt{3}-51=(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$。
【答案】
$CD$的长度为$(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合几何图形的性质考查三角函数的应用，解题核心是将未知线段转化为可求解的线段差，通过拆分图形找到对应直角三角形即可完成计算，考验学生对图形的拆解分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知四边形AECF是矩形，因此可得AF=EC=51cm，AE=FC。要求CD的长度，可转化为求FC与FD的差，因此需要分别求出FC和FD的长度：①求FD：在Rt△AFD中，∠FAD=45°且∠F为直角，因此△AFD是等腰直角三角形，FD=AF=EC=51cm；②求FC：FC等于AE，AE为AB与BE的和，AB已知为34cm，因此只需计算BE的长度即可。已知∠ABC=120°，可得邻补角∠EBC=60°，在Rt△BEC中已知EC=51cm，结合30°角的三角函数值即可求出BE，进而求出FC，最后用FC减FD就能得到CD的长度。
【解析】
由题意得四边形AECF是矩形，
∴$AF=EC=51\mathrm{cm}$，$∠ E=∠ F=90°$，$AE=FC$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ E=90°$，$∠ EBC=180°-120°=60°$，
$\therefore ∠ BCE=30°$，
$\because \tan30°=\frac{BE}{EC}$，
$\therefore BE=EC· \tan 30°=51×\frac{\sqrt{3}}{3}=17\sqrt{3}(\mathrm{cm})$，
$\therefore FC=AE=AB+BE=(34+17\sqrt{3})\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，$∠ F=90°$，$∠ FAD=45°$，
$\therefore ∠ FDA=45°$，$△ AFD$是等腰直角三角形，
$\therefore DF=AF=51\ \mathrm{cm}$，
则$CD=FC-FD=34+17\sqrt{3}-51=(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$。
【答案】
$CD$的长度为$(17\sqrt{3}-17)\mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合几何图形的性质考查三角函数的应用，解题核心是将未知线段转化为可求解的线段差，通过拆分图形找到对应直角三角形即可完成计算，考验学生对图形的拆解分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
