19. (15分)(建德市)如图 1,四边形 AOBC 是正方形,点 C 的坐标是$(4\sqrt{2},0)$。
(1)求点 A 的坐标和正方形 AOBC 的面积。
(2)将正方形 AOBC 绕点 O 按顺时针方向旋转$45°$,求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积。
(3)如图 2,动点 P 从点 O 出发,沿折线$O-A-C-B$方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动;另一动点 Q 从点 C 出发,沿折线$C-B-O-A$方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速运动。P,Q两点同时出发,当点 Q 运动到点 A 时,点 P,Q 同时停止运动。设运动时间为$t(\mathrm{s})$,是否存在这样的$t$值,使$△ OPQ$成为等腰三角形? 若存在,请直接写出$t$的值;若不存在,请说明理由。

19.(1)如图1,连结AB与OC交于点D。由△OCA为等腰直角三角形,得AD=OD=$\frac{1}{2}$OC=$2\sqrt{2}$,所以点A的坐标为$(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$。所以正方形AOBC的面积为$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=16$。
(2)如图1,设旋转后的正方形为正方形A'OB'C',可得OA'=OB=4,则A'C=$4\sqrt{2}−4$。由题意可知∠CA'E=90°,∠OCB=45°,所以△A'EC是等腰直角三角形。所以A'E=A'C=$4\sqrt{2}−4$。
所以$S_{四边形OA'EB}=S_{△OC}−S_{△A'EC}=8−\frac{1}{2}×(4\sqrt{2}−4)^2=16\sqrt{2}−16$。
(3)存在。根据点Q在不同线段上的运动情况,可分为三种:
①如图2,当点Q在BC上时,使OQ=QP,QM为OP的垂直平分线,则OP=2OM=2BQ。
因为OP=t,BQ=4−2t,所以t=2(4−2t),解得$t=\frac{8}{5}$。
②如图3,当点Q在OB上时,使OQ=OP,而OP=t,OQ=8−2t,所以t=8−2t,解得$t=\frac{8}{3}$。
③如图4,当点Q在OA上时,使OQ=PQ,所以$(2t−8)^2=(t−4)^2+(12−2t)^2$,整理得$t^2−24t+96=0$,解得$t=12+4\sqrt{3}$(舍去),$t=12−4\sqrt{3}$。综上所述,t的值为$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$或$12−4\sqrt{3}$时,△OPQ为等腰三角形。