16. (10分)(杭州市上城区)如图,在$□ ABCD$中,$CE$平分$∠ BCD$交$AD$于点$E$,$DF$平分$∠ ADC$交$BC$于点$F$,$CE$与$DF$交于点$P$,连结$EF$,$BP$。
(1)求证:四边形$CDEF$是菱形。
(2)若$AB=2$,$BC=3$,$∠ A=120°$,求$BP$的值。

16.(1)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD//BC。所以∠EDF=∠DFC。因为DF平分∠ADC,所以∠EDF=∠CDF。所以∠DFC=∠CDF。所以CD=CF。同理可得CD=DE,所以CF=DE,且CF//DE。所以四边形CDEF为菱形。
(2)过点P作PG⊥BC于点G。因为AB=2,BC=3,∠A=120°,且四边形CDEF为菱形,所以CF=EF=CD=AB=2,∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$∠A=60°。所以△CEF为等边三角形。所以CE=CF=2。所以PC=$\frac{1}{2}$CE=1。所以CG=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$,PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以BG=BC−CG=$3−\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。在Rt△BPG中,$BP=\sqrt{BG^2+PG^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{7}$。

17.(10分)(绍兴市越城区)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E是AD边的中点,M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD,AN。
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形。
(2)在点M移动过程中:
①当四边形AMDN为矩形时,求AM的长。
②当四边形AMDN为菱形时,求AM的长。

17.(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CD=AD=2,AB//CD。所以∠NDA=∠DAM。因为E是AD边的中点,所以AE=DE,且∠NDA=∠DAM,∠NED=∠AEM。所以△AEM≌△DEN。所以DN=AM。又因为NC//AB,所以四边形AMDN是平行四边形。
(2)①当四边形AMDN为矩形时,DM⊥AB。在Rt△ADM中,DM⊥AB,∠DAB=60°,AD=2,所以AM=1。所以当AM=1时,四边形AMDN为矩形。
②当四边形AMDN为菱形时,DM=AM。因为DM=AM,∠DAB=60°,所以△ADM为等边三角形。所以AM=AD=2。所以当AM=2时,四边形AMDN为菱形。

18.(12分)(杭州市西湖区)在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4$,将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转到$△ EDC$,其中点$A,B$的对应点分别为$E,D$,连结$AE$。
(1)如图1,当点$D$在线段$BA$的延长线上时:
①求证:四边形$ABCE$是平行四边形。
②若$A$为$BD$的中点,求四边形$ACED$的面积。
(2)如图2,当点$D$在线段$BA$上时,若$D$为$AB$的中点,求$CE$的长。

18.(1)①由旋转可知,∠ACB=∠DCE,∠ACE=∠BCD,EC=AC,DC=BC,所以∠B=∠BDC。因为AB=AC,所以EC=AB,∠B=∠ACB。所以∠DCE=∠BDC。所以EC//AB。所以四边形ABCE是平行四边形。
②因为DC=BC,A为BD的中点,所以AD=AB=AC,AC⊥BD。因为CE=AB,所以CE=AD。因为CE//AB,所以四边形ACED是平行四边形。因为AD=AC,所以四边形ACED是菱形。因为∠CAD=90°,所以四边形ACED是正方形。所以CD⊥AE,CD=AE=BC=4。所以$S_{四边形ACED}=\frac{1}{2}CD·AE=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H,则∠BHC=∠AHC=90°。由旋转得CE=AC,DC=BC=4,所以AB=AC=CE,BH=DH。设BH=DH=m。因为D为AB的中点,所以AD=BD=2BH=2m。所以AH=AD+DH=3m,AC=AB=2AD=4m。
因为$AC^2−AH^2=CH^2=BC^2−BH^2$,所以$(4m)^2−(3m)^2=4^2−m^2$,解得$m_1=\sqrt{2},m_2=−\sqrt{2}$(不符合题意,舍去)。所以CE=AC=$4\sqrt{2}$。