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4.有一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 （
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
）A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
答案
D
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需遵循三个步骤：首先计算这组数据的平均数，接着求出每个数据与平均数差值的平方，最后计算这些平方值的平均数，即为方差，再根据结果选出对应选项。
【解析】
1. 计算平均数：这组数据为2,3,3,4，共4个数据，平均数$\bar{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=\frac{12}{4}=3$；
2. 计算每个数据与平均数差值的平方：
$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$；
3. 计算方差：方差$s^2=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=\frac{2}{4}=0.5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
方差计算、平均数计算
【点评】
本题是统计模块的基础计算题，核心考查方差的计算公式，只要掌握计算步骤，细心计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需遵循三个步骤：首先计算这组数据的平均数，接着求出每个数据与平均数差值的平方，最后计算这些平方值的平均数，即为方差，再根据结果选出对应选项。
【解析】
1. 计算平均数：这组数据为2,3,3,4，共4个数据，平均数$\bar{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=\frac{12}{4}=3$；
2. 计算每个数据与平均数差值的平方：
$(2-3)^2=1$，$(3-3)^2=0$，$(3-3)^2=0$，$(4-3)^2=1$；
3. 计算方差：方差$s^2=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)=\frac{2}{4}=0.5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
方差计算、平均数计算
【点评】
本题是统计模块的基础计算题，核心考查方差的计算公式，只要掌握计算步骤，细心计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.两组数据(A组:n=4,B组:n=5),A组的组内离差平方和为12，B组的组内离差平方和为15,下列说法正确的是 (
A.A组数据的组内波动一定小于B组
B.因两组样本量不同,需消除样本量影响后才能对比两组离散程度
C.A组的组内离差平方和小,说明A组数据更集中
D.两组数据的组内离差平方和等于总离差平方和
B
)A.A组数据的组内波动一定小于B组
B.因两组样本量不同,需消除样本量影响后才能对比两组离散程度
C.A组的组内离差平方和小,说明A组数据更集中
D.两组数据的组内离差平方和等于总离差平方和
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，需明确组内离差平方和的含义及离散程度比较的关键：组内离差平方和反映组内数据与组均值的差异，但它的大小受样本量影响，不同样本量的组无法直接通过离差平方和对比离散程度，需消除样本量影响后再判断。接下来逐一分析选项的合理性。
【解析】
1. 分析选项A：A组样本量n=4，组内离差平方和为12；B组样本量n=5，组内离差平方和为15。由于两组样本量不同，组内离差平方和的大小受样本量干扰，不能直接判定A组波动小于B组，故A错误。
2. 分析选项B：组内离差平方和与样本量相关，不同样本量的组需消除样本量影响（如计算均方，即离差平方和除以自由度）后，才能公平对比两组的离散程度，故B正确。
3. 分析选项C：同理，A组组内离差平方和小，但因样本量不同，无法直接说明A组数据更集中，故C错误。
4. 分析选项D：总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和，并非组内离差平方和等于总离差平方和，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和、离散程度比较
【点评】
本题考查统计学中离差平方和的基础概念，核心是理解“不同样本量下不能直接用离差平方和比较离散程度”，需标准化处理后再对比，易因忽略样本量影响误选其他选项，属于基础概念辨析题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需明确组内离差平方和的含义及离散程度比较的关键：组内离差平方和反映组内数据与组均值的差异，但它的大小受样本量影响，不同样本量的组无法直接通过离差平方和对比离散程度，需消除样本量影响后再判断。接下来逐一分析选项的合理性。
【解析】
1. 分析选项A：A组样本量n=4，组内离差平方和为12；B组样本量n=5，组内离差平方和为15。由于两组样本量不同，组内离差平方和的大小受样本量干扰，不能直接判定A组波动小于B组，故A错误。
2. 分析选项B：组内离差平方和与样本量相关，不同样本量的组需消除样本量影响（如计算均方，即离差平方和除以自由度）后，才能公平对比两组的离散程度，故B正确。
3. 分析选项C：同理，A组组内离差平方和小，但因样本量不同，无法直接说明A组数据更集中，故C错误。
4. 分析选项D：总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和，并非组内离差平方和等于总离差平方和，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和、离散程度比较
【点评】
本题考查统计学中离差平方和的基础概念，核心是理解“不同样本量下不能直接用离差平方和比较离散程度”，需标准化处理后再对比，易因忽略样本量影响误选其他选项，属于基础概念辨析题。
【难度系数】
0.4
例5在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为109,116，122,126,131,134,140，则这7位同学成绩的第75百分位数与第25百分位数的差为
例6张老师记录了班级学生1 min跳绳的次数并绘制了箱线图，下列说法错误的是 （
A.162是最大值
B.115是最小值
C.132是下四分位数
D.136是平均数
18
。例6张老师记录了班级学生1 min跳绳的次数并绘制了箱线图，下列说法错误的是 （
D
）A.162是最大值
B.115是最小值
C.132是下四分位数
D.136是平均数
答案
18 D
解析
【分析】首先明确箱线图的各部分含义：箱线图中，两端的数值分别对应最小值和最大值，箱子左侧的数值是下四分位数，中间的线是中位数，箱子右侧的数值是上四分位数。再逐一分析选项，判断每个说法的正误，找出错误选项。
【解析】根据箱线图可得：最小值为115，最大值为162，下四分位数是132，中位数是136，上四分位数是144。
选项A：162是最大值，说法正确；
选项B：115是最小值，说法正确；
选项C：132是下四分位数，说法正确；
选项D：136是中位数，并非平均数，说法错误。
因此错误的说法是选项D。
【答案】D
【知识点】箱线图、四分位数、中位数
【点评】本题考查箱线图的基本统计概念，需准确区分箱线图各部分代表的统计量，明确中位数和平均数的区别，属于基础概念应用题目。
【难度系数】0.5
【解析】根据箱线图可得：最小值为115，最大值为162，下四分位数是132，中位数是136，上四分位数是144。
选项A：162是最大值，说法正确；
选项B：115是最小值，说法正确；
选项C：132是下四分位数，说法正确；
选项D：136是中位数，并非平均数，说法错误。
因此错误的说法是选项D。
【答案】D
【知识点】箱线图、四分位数、中位数
【点评】本题考查箱线图的基本统计概念，需准确区分箱线图各部分代表的统计量，明确中位数和平均数的区别，属于基础概念应用题目。
【难度系数】0.5
6.下列关于箱线图的说法中,错误的是 （
A.箱线图可直观展示数据的集中趋势和离散程度
B.箱线图受极端值影响较小
C.箱线图能清晰识别数据中的异常值
D.箱线图可直接给出数据的样本量
D
）A.箱线图可直观展示数据的集中趋势和离散程度
B.箱线图受极端值影响较小
C.箱线图能清晰识别数据中的异常值
D.箱线图可直接给出数据的样本量
答案
D
解析
【分析】本题考查箱线图的基本性质，解题思路是结合箱线图的定义与特点，逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项。需明确箱线图的核心作用、受极端值的影响情况、异常值的识别方式，以及其展示的信息范围。
【解析】本题为箱线图相关概念的判断题，逐一分析选项：
1. 选项A：箱线图通过中位数体现数据的集中趋势，通过四分位距、上下须体现离散程度，可直观展示数据的集中趋势和离散程度，故A说法正确；
2. 选项B：箱线图基于四分位数等分位数绘制，不依赖原始数据的极端值，因此受极端值影响较小，故B说法正确；
3. 选项C：箱线图中，超出上下须的点通常被判定为异常值，因此能清晰识别数据中的异常值，故C说法正确；
4. 选项D：箱线图展示的是数据的分位数分布、异常值等信息，不会直接给出数据的样本量（即数据的总个数），故D说法错误。本题要求选择错误的说法，因此答案为D。
【答案】D
【知识点】箱线图的概念与性质
【点评】本题属于统计基础概念题，考查对箱线图核心特征的掌握，需准确区分箱线图能展示的信息与不能展示的信息，难度较低，只要牢记箱线图的基本性质即可正确作答。
【难度系数】0.3
【解析】本题为箱线图相关概念的判断题，逐一分析选项：
1. 选项A：箱线图通过中位数体现数据的集中趋势，通过四分位距、上下须体现离散程度，可直观展示数据的集中趋势和离散程度，故A说法正确；
2. 选项B：箱线图基于四分位数等分位数绘制，不依赖原始数据的极端值，因此受极端值影响较小，故B说法正确；
3. 选项C：箱线图中，超出上下须的点通常被判定为异常值，因此能清晰识别数据中的异常值，故C说法正确；
4. 选项D：箱线图展示的是数据的分位数分布、异常值等信息，不会直接给出数据的样本量（即数据的总个数），故D说法错误。本题要求选择错误的说法，因此答案为D。
【答案】D
【知识点】箱线图的概念与性质
【点评】本题属于统计基础概念题，考查对箱线图核心特征的掌握，需准确区分箱线图能展示的信息与不能展示的信息，难度较低，只要牢记箱线图的基本性质即可正确作答。
【难度系数】0.3
7.某校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，八年级共有15名同学报名参赛，他们的比赛成绩如下（单位：分）：70，58，62，85，88，65，68，82，72，75，78，80，90，98，93。根据以上信息，求四分位数。
答案
解:由题意得这组数据从小到大排列依次为 58,62,65,68,70,72,75,78,80,82,85,88,90,93,98,所以 $m_{50}=78,m_{25}=68,m_{75}=88$。
解析
【分析】
求四分位数需遵循以下步骤：①先将给定的15个成绩从小到大排序；②确定各四分位数的位置，对于n个数据，25%分位数（下四分位数）位置为$(n+1)×25\%$，50%分位数（中位数）位置为$(n+1)×50\%$，75%分位数（上四分位数）位置为$(n+1)×75\%$；③根据位置找到对应的数据，即为所求四分位数。
【解析】
解：首先将15名同学的成绩从小到大排列：58，62，65，68，70，72，75，78，80，82，85，88，90，93，98。
已知数据个数$n=15$，计算各四分位数的位置：
25%分位数（下四分位数）位置：$(15+1)×25\% = 4$，对应第4个数据，即68；
50%分位数（中位数）位置：$(15+1)×50\% = 8$，对应第8个数据，即78；
75%分位数（上四分位数）位置：$(15+1)×75\% = 12$，对应第12个数据，即88。
【答案】
$m_{25}=68$，$m_{50}=78$，$m_{75}=88$
【知识点】
四分位数计算；数据排序
【点评】
本题考查四分位数的基础计算，核心是掌握四分位数的位置确定方法，属于统计类基础题型，按步骤操作即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.7
求四分位数需遵循以下步骤：①先将给定的15个成绩从小到大排序；②确定各四分位数的位置，对于n个数据，25%分位数（下四分位数）位置为$(n+1)×25\%$，50%分位数（中位数）位置为$(n+1)×50\%$，75%分位数（上四分位数）位置为$(n+1)×75\%$；③根据位置找到对应的数据，即为所求四分位数。
【解析】
解：首先将15名同学的成绩从小到大排列：58，62，65，68，70，72，75，78，80，82，85，88，90，93，98。
已知数据个数$n=15$，计算各四分位数的位置：
25%分位数（下四分位数）位置：$(15+1)×25\% = 4$，对应第4个数据，即68；
50%分位数（中位数）位置：$(15+1)×50\% = 8$，对应第8个数据，即78；
75%分位数（上四分位数）位置：$(15+1)×75\% = 12$，对应第12个数据，即88。
【答案】
$m_{25}=68$，$m_{50}=78$，$m_{75}=88$
【知识点】
四分位数计算；数据排序
【点评】
本题考查四分位数的基础计算，核心是掌握四分位数的位置确定方法，属于统计类基础题型，按步骤操作即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.7
1.计算两组数据的组内离差平方和,不需要用到的信息是（
A.两组的具体数据
B.两组的组均值
C.总均值
D.两组的数据个数
C
）A.两组的具体数据
B.两组的组均值
C.总均值
D.两组的数据个数
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确组内离差平方和的计算公式与计算所需信息：组内离差平方和反映组内各数据与本组均值的差异程度，公式为$ SSE = \sum (x_i - \bar{x}_{组})^2 $，其中$ x_i $是组内每个数据，$ \bar{x}_{组} $是该组的均值。计算该指标时，需要用到每组的具体数据（用于计算每个数据与组均值的差值）、每组的组均值（差值计算的基准）；而组均值的计算依赖每组的数据个数（均值=组内数据总和/数据个数，总和来自具体数据）。总均值是所有数据的平均值，仅用于总离差平方和或组间离差平方和的计算，与组内离差平方和无关，因此不需要总均值。
【解析】
逐一分析选项：
A. 两组的具体数据：计算组内离差平方和时，需用每组每个数据减去本组均值，因此需要两组具体数据，排除；
B. 两组的组均值：公式中直接用到组均值作为差值的基准，因此需要，排除；
C. 总均值：总均值是所有数据的平均值，组内离差平方和仅涉及组内数据，与总均值无关，不需要，符合题意；
D. 两组的数据个数：计算组均值时，需用组内数据总和除以数据个数，因此需要两组数据个数，排除。
【答案】
C
【知识点】
组内离差平方和；统计指标计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算所需信息，核心是掌握组内离差平方和的定义与公式，区分组内均值和总均值的不同用途，属于统计学基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确组内离差平方和的计算公式与计算所需信息：组内离差平方和反映组内各数据与本组均值的差异程度，公式为$ SSE = \sum (x_i - \bar{x}_{组})^2 $，其中$ x_i $是组内每个数据，$ \bar{x}_{组} $是该组的均值。计算该指标时，需要用到每组的具体数据（用于计算每个数据与组均值的差值）、每组的组均值（差值计算的基准）；而组均值的计算依赖每组的数据个数（均值=组内数据总和/数据个数，总和来自具体数据）。总均值是所有数据的平均值，仅用于总离差平方和或组间离差平方和的计算，与组内离差平方和无关，因此不需要总均值。
【解析】
逐一分析选项：
A. 两组的具体数据：计算组内离差平方和时，需用每组每个数据减去本组均值，因此需要两组具体数据，排除；
B. 两组的组均值：公式中直接用到组均值作为差值的基准，因此需要，排除；
C. 总均值：总均值是所有数据的平均值，组内离差平方和仅涉及组内数据，与总均值无关，不需要，符合题意；
D. 两组的数据个数：计算组均值时，需用组内数据总和除以数据个数，因此需要两组数据个数，排除。
【答案】
C
【知识点】
组内离差平方和；统计指标计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算所需信息，核心是掌握组内离差平方和的定义与公式，区分组内均值和总均值的不同用途，属于统计学基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
2.若一组数据$-2,a,5,3,7$有唯一的众数7,则这组数据的中位数是
（
A.$-2$
B.3
C.5
D.7
（
C
）A.$-2$
B.3
C.5
D.7
答案
C
解析
【分析】首先明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时取中间那个数）。题目中数据有唯一众数7，说明7出现的次数最多，其他数出现次数均少于7，据此确定a的值，再排序求中位数即可。
【解析】解：
∵数据-2,a,5,3,7有唯一的众数7，
∴a=7（现有数据中-2、5、3、7各出现1次，要使7成为唯一众数，需让7出现次数最多，故a为7），
将数据从小到大排序为：-2，3，5，7，7，
数据共5个（奇数个），中位数是第3个数，即5，
∴答案选C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数
【点评】本题考查众数与中位数的基本概念，核心是先根据众数定义确定a的值，再通过排序计算中位数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵数据-2,a,5,3,7有唯一的众数7，
∴a=7（现有数据中-2、5、3、7各出现1次，要使7成为唯一众数，需让7出现次数最多，故a为7），
将数据从小到大排序为：-2，3，5，7，7，
数据共5个（奇数个），中位数是第3个数，即5，
∴答案选C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数
【点评】本题考查众数与中位数的基本概念，核心是先根据众数定义确定a的值，再通过排序计算中位数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
