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3.(2025·宁波海曙)下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择 （
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学，需结合平均数和方差的意义：平均数反映成绩的平均水平，平均数越高成绩越好；方差反映成绩的波动情况，方差越小发挥越稳定。因此先比较四人的平均数，排除平均数低的，再在平均数高的范围内比较方差，选出方差小的同学即可。
【解析】1. 比较平均数：甲、乙的平均数均为95，丙的平均数为93，丁的平均数为94，因此甲和乙的成绩优于丙、丁，排除丙、丁选项。2. 比较方差：甲的方差为3.6，乙的方差为1.7，由于1.7＜3.6，说明乙的成绩比甲更稳定。综上，成绩好且发挥稳定的是乙，故选B。
【答案】B
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量的实际应用，核心是理解平均数和方差的作用，属于基础题，需准确区分两个统计量的意义，难度较低。
【难度系数】0.4
【解析】1. 比较平均数：甲、乙的平均数均为95，丙的平均数为93，丁的平均数为94，因此甲和乙的成绩优于丙、丁，排除丙、丁选项。2. 比较方差：甲的方差为3.6，乙的方差为1.7，由于1.7＜3.6，说明乙的成绩比甲更稳定。综上，成绩好且发挥稳定的是乙，故选B。
【答案】B
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量的实际应用，核心是理解平均数和方差的作用，属于基础题，需准确区分两个统计量的意义，难度较低。
【难度系数】0.4
4.(2024·舟山定海)某公司要招聘一名职员,根据实际需要,从学历、经验、能力和业绩四个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了考核,得分如表,若给予学历、经验、能力、业绩四个方面在总分中所占的比例分别为$20\%,20\%,40\%,20\%$,则总分最高被录用的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
【分析】本题需通过计算加权平均数确定应聘者总分，解题思路是根据给定的学历、经验、能力、业绩的权重，分别计算甲、乙、丙、丁四人的加权总分，再比较总分大小，选出最高者即为被录用人员。
【解析】根据加权平均数公式，分别计算四人的总分：
甲的总分：$85×20\% + 80×20\% + 85×40\% + 90×20\% = 17 + 16 + 34 + 18 = 85$
乙的总分：$90×20\% + 85×20\% + 85×40\% + 80×20\% = 18 + 17 + 34 + 16 = 85$
丙的总分：$85×20\% + 90×20\% + 80×40\% + 85×20\% = 17 + 18 + 32 + 17 = 84$
丁的总分：$80×20\% + 85×20\% + 90×40\% + 85×20\% = 16 + 17 + 36 + 17 = 86$
比较四人总分：$86 ＞ 85 ＞ 84$，故总分最高的是丁。
【答案】D
【知识点】加权平均数
【点评】本题考查加权平均数在招聘中的实际应用，核心是掌握加权平均数的计算方法，步骤清晰，难度较低，属于基础题。
【难度系数】0.7
【解析】根据加权平均数公式，分别计算四人的总分：
甲的总分：$85×20\% + 80×20\% + 85×40\% + 90×20\% = 17 + 16 + 34 + 18 = 85$
乙的总分：$90×20\% + 85×20\% + 85×40\% + 80×20\% = 18 + 17 + 34 + 16 = 85$
丙的总分：$85×20\% + 90×20\% + 80×40\% + 85×20\% = 17 + 18 + 32 + 17 = 84$
丁的总分：$80×20\% + 85×20\% + 90×40\% + 85×20\% = 16 + 17 + 36 + 17 = 86$
比较四人总分：$86 ＞ 85 ＞ 84$，故总分最高的是丁。
【答案】D
【知识点】加权平均数
【点评】本题考查加权平均数在招聘中的实际应用，核心是掌握加权平均数的计算方法，步骤清晰，难度较低，属于基础题。
【难度系数】0.7
5. 下列关于下四分位数、中位数、上四分位数的说法正确的是（
A.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数据，一定是数据中的某个原始数据
B.$m_{25}$表示上四分位数
C.若一列数据的个数为奇数，则四分位数均为数据中的原始数据
D.一列数据中第75百分位数一定大于或等于第50百分位数
D
）A.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数据，一定是数据中的某个原始数据
B.$m_{25}$表示上四分位数
C.若一列数据的个数为奇数，则四分位数均为数据中的原始数据
D.一列数据中第75百分位数一定大于或等于第50百分位数
答案
D
解析
【分析】
首先明确四分位数、百分位数的核心概念与性质：中位数是第50百分位数，下四分位数是第25百分位数，上四分位数是第75百分位数；百分位数的关键性质是：若百分位数值p₁ ＜ p₂，则第p₁百分位数 ≤ 第p₂百分位数。再逐一分析选项：
1. 选项A：中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时，中位数是中间两数的平均值，不一定是原始数据，故A错误。
2. 选项B：m₂₅代表第25百分位数（下四分位数），上四分位数对应第75百分位数，故B错误。
3. 选项C：四分位数计算存在多种方法，若采用i=(n+1)p的公式，数据个数为奇数时也可能得到非原始数据，因此“均为原始数据”的说法错误，故C错误。
4. 选项D：根据百分位数性质，第75百分位数一定大于或等于第50百分位数，故D正确。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数值。当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的算术平均值，不一定是数据中的原始数据，例如数据1、2的中位数为1.5，并非原始数据，因此A错误。
选项B：通常用m₂₅表示下四分位数（第25百分位数），上四分位数对应第75百分位数，因此B错误。
选项C：四分位数的计算方法有多种，若采用公式i=(n+1)p计算百分位数的位置，当数据个数为奇数时，也可能得到非原始数据。例如n=5时，第25百分位数的位置i=(5+1)×25%=1.5，此时下四分位数为第1个和第2个数据的平均值，并非原始数据，因此“四分位数均为数据中的原始数据”的说法错误，C错误。
选项D：百分位数的基本性质是：对于任意两个百分位数值p₁ ＜ p₂，对应的第p₁百分位数 ≤ 第p₂百分位数。因此第75百分位数一定大于或等于第50百分位数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
四分位数、百分位数
【点评】
本题考查四分位数与百分位数的基础概念及性质，需准确掌握分位数的定义、计算方法和大小关系，避免混淆中位数的取值情况、四分位数的表示符号等细节，属于基础概念辨析题。
【难度系数】
0.3
首先明确四分位数、百分位数的核心概念与性质：中位数是第50百分位数，下四分位数是第25百分位数，上四分位数是第75百分位数；百分位数的关键性质是：若百分位数值p₁ ＜ p₂，则第p₁百分位数 ≤ 第p₂百分位数。再逐一分析选项：
1. 选项A：中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时，中位数是中间两数的平均值，不一定是原始数据，故A错误。
2. 选项B：m₂₅代表第25百分位数（下四分位数），上四分位数对应第75百分位数，故B错误。
3. 选项C：四分位数计算存在多种方法，若采用i=(n+1)p的公式，数据个数为奇数时也可能得到非原始数据，因此“均为原始数据”的说法错误，故C错误。
4. 选项D：根据百分位数性质，第75百分位数一定大于或等于第50百分位数，故D正确。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数值。当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的算术平均值，不一定是数据中的原始数据，例如数据1、2的中位数为1.5，并非原始数据，因此A错误。
选项B：通常用m₂₅表示下四分位数（第25百分位数），上四分位数对应第75百分位数，因此B错误。
选项C：四分位数的计算方法有多种，若采用公式i=(n+1)p计算百分位数的位置，当数据个数为奇数时，也可能得到非原始数据。例如n=5时，第25百分位数的位置i=(5+1)×25%=1.5，此时下四分位数为第1个和第2个数据的平均值，并非原始数据，因此“四分位数均为数据中的原始数据”的说法错误，C错误。
选项D：百分位数的基本性质是：对于任意两个百分位数值p₁ ＜ p₂，对应的第p₁百分位数 ≤ 第p₂百分位数。因此第75百分位数一定大于或等于第50百分位数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
四分位数、百分位数
【点评】
本题考查四分位数与百分位数的基础概念及性质，需准确掌握分位数的定义、计算方法和大小关系，避免混淆中位数的取值情况、四分位数的表示符号等细节，属于基础概念辨析题。
【难度系数】
0.3
二、填空题
6.(2025·杭州滨江)一组数据4,4,x,5,5,7的平均数是5,则这组数据的众数是
6.(2025·杭州滨江)一组数据4,4,x,5,5,7的平均数是5,则这组数据的众数是
5
。答案
5
解析
【分析】
本题需要先利用平均数的定义求出未知数$x$的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数。解题时，先根据平均数公式计算数据总和，减去已知数的和得到$x$，再统计各数出现的次数，找出出现次数最多的数即为众数。
【解析】
1. 计算数据总和：根据平均数的定义，数据总和 = 平均数×数据个数，即$5×6 = 30$。
2. 求未知数$x$：已知数据中除$x$外的和为$4 + 4 + 5 + 5 + 7 = 25$，因此$x = 30 - 25 = 5$。
3. 确定众数：此时这组数据为$4,4,5,5,5,7$，其中数字$5$出现了$3$次，出现次数最多，根据众数的定义，众数为$5$。
【答案】
5
【知识点】
平均数、众数
【点评】
本题考查平均数与众数的基本概念，属于基础题型，需熟练掌握两个统计量的计算方法，先通过平均数求出未知数据，再确定众数，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题需要先利用平均数的定义求出未知数$x$的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数。解题时，先根据平均数公式计算数据总和，减去已知数的和得到$x$，再统计各数出现的次数，找出出现次数最多的数即为众数。
【解析】
1. 计算数据总和：根据平均数的定义，数据总和 = 平均数×数据个数，即$5×6 = 30$。
2. 求未知数$x$：已知数据中除$x$外的和为$4 + 4 + 5 + 5 + 7 = 25$，因此$x = 30 - 25 = 5$。
3. 确定众数：此时这组数据为$4,4,5,5,5,7$，其中数字$5$出现了$3$次，出现次数最多，根据众数的定义，众数为$5$。
【答案】
5
【知识点】
平均数、众数
【点评】
本题考查平均数与众数的基本概念，属于基础题型，需熟练掌握两个统计量的计算方法，先通过平均数求出未知数据，再确定众数，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.某校5名同学参加科技创新比赛，他们的成绩(单位:分)分别是9,8,7,8,7。则这组数据的中位数为
8
。答案
8
解析
【分析】求一组数据的中位数，需先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数：若数据个数为奇数，中位数是中间位置的数；若为偶数，是中间两个数的平均数。本题数据共5个（奇数），先排序后找第3个数即可。
【解析】解：第一步，将这组数据从小到大排列：7，7，8，8，9；第二步，数据个数为5（奇数），中位数是排序后第$\frac{5+1}{2}=3$个数据，即8。
【答案】8
【知识点】中位数的计算
【点评】本题考查中位数的基础计算，属于统计模块的基础题型，核心是掌握中位数的计算规则，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】解：第一步，将这组数据从小到大排列：7，7，8，8，9；第二步，数据个数为5（奇数），中位数是排序后第$\frac{5+1}{2}=3$个数据，即8。
【答案】8
【知识点】中位数的计算
【点评】本题考查中位数的基础计算，属于统计模块的基础题型，核心是掌握中位数的计算规则，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
8.在回收废电池活动中,八年级五个班回收到的废电池数量(单位:节)按从小到大排列为12,15,17,22,26,若将其按“组内离差平方和最小”的原则分为两组,把下面的表格补充完整。(精确到0.01)
计算结果表明,将数据分成$\{\_\_\_\_\_\_\}$和$\{\_\_\_\_\_\_\}$两组时,组内离差平方和最小。
计算结果表明,将数据分成$\{\_\_\_\_\_\_\}$和$\{\_\_\_\_\_\_\}$两组时,组内离差平方和最小。
答案
74.00 45.17 20.67 53.00 12,15,17 22,26
解析
【分析】
要解决本题，需先明确组内离差平方和的计算规则：对每组数据，先求组内数据的平均值，再计算组内每个数据与平均值的差的平方和，两组的离差平方和之和即为该分组的总离差平方和。依次计算四种分组情况的总离差平方和，比较后找到最小值对应的分组即可。
【解析】
1. 计算四种分组的总离差平方和：
分组1：第1组$\{12\}$，第2组$\{15,17,22,26\}$
第1组离差平方和：$(12-12)^2=0$；第2组均值为$\frac{15+17+22+26}{4}=20$，离差平方和为$(15-20)^2+(17-20)^2+(22-20)^2+(26-20)^2=74$；总离差平方和为$0+74=74.00$。
分组2：第1组$\{12,15\}$，第2组$\{17,22,26\}$
第1组均值为$\frac{12+15}{2}=13.5$，离差平方和为$(12-13.5)^2+(15-13.5)^2=4.5$；第2组均值为$\frac{17+22+26}{3}\approx21.67$，离差平方和约为$40.67$；总离差平方和约为$4.5+40.67=45.17$。
分组3：第1组$\{12,15,17\}$，第2组$\{22,26\}$
第1组均值为$\frac{12+15+17}{3}\approx14.67$，离差平方和约为$12.67$；第2组均值为$\frac{22+26}{2}=24$，离差平方和为$(22-24)^2+(26-24)^2=8$；总离差平方和约为$12.67+8=20.67$。
分组4：第1组$\{12,15,17,22\}$，第2组$\{26\}$
第1组均值为$\frac{12+15+17+22}{4}=16.5$，离差平方和为$(12-16.5)^2+(15-16.5)^2+(17-16.5)^2+(22-16.5)^2=53$；第2组离差平方和为$0$；总离差平方和为$53.00$。
2. 比较总离差平方和：$74.00＞53.00＞45.17＞20.67$，最小的对应分组为$\{12,15,17\}$和$\{22,26\}$。
【答案】
74.00；45.17；20.67；53.00；12,15,17；22,26
【知识点】
组内离差平方和、数据分组、均值计算
【点评】
本题考查统计中组内离差平方和的计算与应用，核心是掌握离差平方和的计算方法，通过对比不同分组的结果找到最优解，属于基础统计应用题型，需仔细计算避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确组内离差平方和的计算规则：对每组数据，先求组内数据的平均值，再计算组内每个数据与平均值的差的平方和，两组的离差平方和之和即为该分组的总离差平方和。依次计算四种分组情况的总离差平方和，比较后找到最小值对应的分组即可。
【解析】
1. 计算四种分组的总离差平方和：
分组1：第1组$\{12\}$，第2组$\{15,17,22,26\}$
第1组离差平方和：$(12-12)^2=0$；第2组均值为$\frac{15+17+22+26}{4}=20$，离差平方和为$(15-20)^2+(17-20)^2+(22-20)^2+(26-20)^2=74$；总离差平方和为$0+74=74.00$。
分组2：第1组$\{12,15\}$，第2组$\{17,22,26\}$
第1组均值为$\frac{12+15}{2}=13.5$，离差平方和为$(12-13.5)^2+(15-13.5)^2=4.5$；第2组均值为$\frac{17+22+26}{3}\approx21.67$，离差平方和约为$40.67$；总离差平方和约为$4.5+40.67=45.17$。
分组3：第1组$\{12,15,17\}$，第2组$\{22,26\}$
第1组均值为$\frac{12+15+17}{3}\approx14.67$，离差平方和约为$12.67$；第2组均值为$\frac{22+26}{2}=24$，离差平方和为$(22-24)^2+(26-24)^2=8$；总离差平方和约为$12.67+8=20.67$。
分组4：第1组$\{12,15,17,22\}$，第2组$\{26\}$
第1组均值为$\frac{12+15+17+22}{4}=16.5$，离差平方和为$(12-16.5)^2+(15-16.5)^2+(17-16.5)^2+(22-16.5)^2=53$；第2组离差平方和为$0$；总离差平方和为$53.00$。
2. 比较总离差平方和：$74.00＞53.00＞45.17＞20.67$，最小的对应分组为$\{12,15,17\}$和$\{22,26\}$。
【答案】
74.00；45.17；20.67；53.00；12,15,17；22,26
【知识点】
组内离差平方和、数据分组、均值计算
【点评】
本题考查统计中组内离差平方和的计算与应用，核心是掌握离差平方和的计算方法，通过对比不同分组的结果找到最优解，属于基础统计应用题型，需仔细计算避免出错。
【难度系数】
0.5
