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2.某汽车品牌开展售后服务满意度调研，A，B，C三款车型在甲、乙、丙三个区域的满意度情况如下表：
如果总满意度超过85％的为五星服务车型，那么这三款车型中，获得五星服务车型的有几款？说明理由。
如果总满意度超过85％的为五星服务车型，那么这三款车型中，获得五星服务车型的有几款？说明理由。
答案
解:车型 A:总满意度:$\dfrac{8\ 000×88\%+12\ 000×80\%+10\ 000×87\%}{8\ 000+12\ 000+10\ 000}\approx84.5\%$
车型 B:总满意度:$\dfrac{8\ 000×86\%+12\ 000×83\%+10\ 000×85\%}{8\ 000+12\ 000+10\ 000}\approx84.5\%$
车型 C:总满意度:$\dfrac{8\ 000×80\%+12\ 000×88\%+10\ 000×86\%}{8\ 000+12\ 000+10\ 000}\approx85.2\%$
$84.5\%＜85\%,84.5\%＜85\%,85.2\%＞85\%$
答:获得五星服务车型的有 1 款,为车型 C。
车型 B:总满意度:$\dfrac{8\ 000×86\%+12\ 000×83\%+10\ 000×85\%}{8\ 000+12\ 000+10\ 000}\approx84.5\%$
车型 C:总满意度:$\dfrac{8\ 000×80\%+12\ 000×88\%+10\ 000×86\%}{8\ 000+12\ 000+10\ 000}\approx85.2\%$
$84.5\%＜85\%,84.5\%＜85\%,85.2\%＞85\%$
答:获得五星服务车型的有 1 款,为车型 C。
解析
【分析】要判断哪款车型是五星服务车型，需计算三款车型的总满意度，由于各区域参与调研的人数不同，总满意度需用加权平均数计算（权重为各区域的参与人数），再将计算结果与85%比较，超过85%的即为五星服务车型。
【解析】
总参与人数为：$8000 + 12000 + 10000 = 30000$人，分别计算三款车型的总满意度：
1. 车型A的总满意度：
$\frac{8000×88\% + 12000×80\% + 10000×87\%}{30000} = \frac{7040 + 9600 + 8700}{30000} = \frac{25340}{30000} \approx 84.5\%$
2. 车型B的总满意度：
$\frac{8000×86\% + 12000×83\% + 10000×85\%}{30000} = \frac{6880 + 9960 + 8500}{30000} = \frac{25340}{30000} \approx 84.5\%$
3. 车型C的总满意度：
$\frac{8000×80\% + 12000×88\% + 10000×86\%}{30000} = \frac{6400 + 10560 + 8600}{30000} = \frac{25560}{30000} = 85.2\%$
比较结果：$84.5\% ＜ 85\%$，$84.5\% ＜ 85\%$，$85.2\% ＞ 85\%$，仅车型C的总满意度超过85%。
【答案】获得五星服务车型的有1款，为车型C。
【知识点】加权平均数、百分比计算
【点评】本题考查加权平均数在实际统计问题中的应用，核心是理解总满意度需按各区域人数加权计算，而非简单平均，需准确计算后与标准值对比判断。
【难度系数】0.6
【解析】
总参与人数为：$8000 + 12000 + 10000 = 30000$人，分别计算三款车型的总满意度：
1. 车型A的总满意度：
$\frac{8000×88\% + 12000×80\% + 10000×87\%}{30000} = \frac{7040 + 9600 + 8700}{30000} = \frac{25340}{30000} \approx 84.5\%$
2. 车型B的总满意度：
$\frac{8000×86\% + 12000×83\% + 10000×85\%}{30000} = \frac{6880 + 9960 + 8500}{30000} = \frac{25340}{30000} \approx 84.5\%$
3. 车型C的总满意度：
$\frac{8000×80\% + 12000×88\% + 10000×86\%}{30000} = \frac{6400 + 10560 + 8600}{30000} = \frac{25560}{30000} = 85.2\%$
比较结果：$84.5\% ＜ 85\%$，$84.5\% ＜ 85\%$，$85.2\% ＞ 85\%$，仅车型C的总满意度超过85%。
【答案】获得五星服务车型的有1款，为车型C。
【知识点】加权平均数、百分比计算
【点评】本题考查加权平均数在实际统计问题中的应用，核心是理解总满意度需按各区域人数加权计算，而非简单平均，需准确计算后与标准值对比判断。
【难度系数】0.6
例2(2025·兰溪、浦江)车间有15名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如下:
则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是 （
A.7,10
B.8,10
C.8,9
D.9,8
则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是 （
D
）A.7,10
B.8,10
C.8,9
D.9,8
答案
D
解析
【分析】要解决本题，需先明确中位数和众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；当数据个数为奇数时，中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数（即第$\frac{n+1}{2}$个数据，$n$为总数据个数）。首先整理各生产零件数对应的人数，再分别计算众数和中位数即可。
【解析】首先统计各生产零件个数的人数：生产6个的1人，7个的2人，8个的4人，9个的1人，10个的2人，11个的1人，13个的1人，15个的2人，16个的1人，总人数为$1+2+4+1+2+1+1+2+1=15$人。
1. 求众数：观察各生产零件数对应的人数，生产8个的人数最多（4人），因此众数是8。
2. 求中位数：总共有15个数据，中位数是第$\frac{15+1}{2}=8$个数据。累计人数：生产6个和7个的共$1+2=3$人，生产8个的有4人，累计到生产8个结束时共$3+4=7$人，因此第8个数据是生产9个的，即中位数是9。
综上，中位数是9，众数是8，对应选项D。
【答案】D
【知识点】中位数、众数
【点评】本题考查统计中中位数和众数的基本概念，解题关键是准确掌握两者的定义，通过累计人数确定中位数，通过出现次数最多的数确定众数，属于基础统计题型。
【难度系数】0.5
【解析】首先统计各生产零件个数的人数：生产6个的1人，7个的2人，8个的4人，9个的1人，10个的2人，11个的1人，13个的1人，15个的2人，16个的1人，总人数为$1+2+4+1+2+1+1+2+1=15$人。
1. 求众数：观察各生产零件数对应的人数，生产8个的人数最多（4人），因此众数是8。
2. 求中位数：总共有15个数据，中位数是第$\frac{15+1}{2}=8$个数据。累计人数：生产6个和7个的共$1+2=3$人，生产8个的有4人，累计到生产8个结束时共$3+4=7$人，因此第8个数据是生产9个的，即中位数是9。
综上，中位数是9，众数是8，对应选项D。
【答案】D
【知识点】中位数、众数
【点评】本题考查统计中中位数和众数的基本概念，解题关键是准确掌握两者的定义，通过累计人数确定中位数，通过出现次数最多的数确定众数，属于基础统计题型。
【难度系数】0.5
3.(2024·嘉兴)社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：40，36，42，38，40，那么这组数据的众数和中位数分别是（
A.40，42
B.40，39
C.40，40
D.42，39
C
）A.40，42
B.40，39
C.40，40
D.42，39
答案
C
解析
【分析】首先明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值（数据个数为奇数时取中间的那个数）。解题时，先通过出现次数确定众数，再将数据排序后找到中间位置的数确定中位数。
【解析】解：①求众数：在数据40，36，42，38，40中，40出现了2次，其余数各出现1次，出现次数最多，因此众数为40；②求中位数：将数据从小到大排列为36，38，40，40，42，共5个数据，中间位置是第3个，对应数值为40，因此中位数为40。综上，这组数据的众数和中位数分别是40，40，对应选项C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数
【点评】本题考查统计中众数和中位数的基本概念，属于基础题型，只要掌握定义即可正确解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：①求众数：在数据40，36，42，38，40中，40出现了2次，其余数各出现1次，出现次数最多，因此众数为40；②求中位数：将数据从小到大排列为36，38，40，40，42，共5个数据，中间位置是第3个，对应数值为40，因此中位数为40。综上，这组数据的众数和中位数分别是40，40，对应选项C。
【答案】C
【知识点】众数、中位数
【点评】本题考查统计中众数和中位数的基本概念，属于基础题型，只要掌握定义即可正确解答，难度较低。
【难度系数】0.8
例3数据5,7,5,9,6,8,7,9的离差平方和与方差分别是 （
A.离差平方和24，方差3.0
B.离差平方和18，方差2.25
C.离差平方和32，方差4.0
D.离差平方和36，方差4.2
B
）A.离差平方和24，方差3.0
B.离差平方和18，方差2.25
C.离差平方和32，方差4.0
D.离差平方和36，方差4.2
答案
B
解析
【分析】
要解决该问题，需掌握离差平方和与方差的计算逻辑：先计算数据的平均数，再通过“数据与平均数的差的平方和”得到离差平方和，最后用离差平方和除以数据个数得到方差，按步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算平均数：
给定数据为5,7,5,9,6,8,7,9，共8个数据，总和为$5+7+5+9+6+8+7+9=56$，平均数$\bar{x}=56÷8=7$。
2. 计算离差平方和：
每个数据的离差为$x_i-\bar{x}$，分别为：$5-7=-2$、$7-7=0$、$5-7=-2$、$9-7=2$、$6-7=-1$、$8-7=1$、$7-7=0$、$9-7=2$；
离差平方分别为：$(-2)^2=4$、$0^2=0$、$(-2)^2=4$、$2^2=4$、$(-1)^2=1$、$1^2=1$、$0^2=0$、$2^2=4$；
离差平方和为$4+0+4+4+1+1+0+4=18$。
3. 计算方差：
方差为离差平方和除以数据个数，即$18÷8=2.25$。
综上，离差平方和为18，方差为2.25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方差计算、离差平方和
【点评】
本题考查统计中基础的离差平方和与方差计算，属于常规基础题，只要牢记计算公式、按步骤计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.3
要解决该问题，需掌握离差平方和与方差的计算逻辑：先计算数据的平均数，再通过“数据与平均数的差的平方和”得到离差平方和，最后用离差平方和除以数据个数得到方差，按步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算平均数：
给定数据为5,7,5,9,6,8,7,9，共8个数据，总和为$5+7+5+9+6+8+7+9=56$，平均数$\bar{x}=56÷8=7$。
2. 计算离差平方和：
每个数据的离差为$x_i-\bar{x}$，分别为：$5-7=-2$、$7-7=0$、$5-7=-2$、$9-7=2$、$6-7=-1$、$8-7=1$、$7-7=0$、$9-7=2$；
离差平方分别为：$(-2)^2=4$、$0^2=0$、$(-2)^2=4$、$2^2=4$、$(-1)^2=1$、$1^2=1$、$0^2=0$、$2^2=4$；
离差平方和为$4+0+4+4+1+1+0+4=18$。
3. 计算方差：
方差为离差平方和除以数据个数，即$18÷8=2.25$。
综上，离差平方和为18，方差为2.25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方差计算、离差平方和
【点评】
本题考查统计中基础的离差平方和与方差计算，属于常规基础题，只要牢记计算公式、按步骤计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.3
例4为了考察A，B两块菜地西红柿秧苗的长势，分别从中抽出8株秧苗，测得株高如下(单位：cm)：
A:15,16,14,15,13,17,15,14；
B:12,19,18,11,14,20,13,16。
(1)计算A和B两组数据的离差平方和。
(2)哪块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐？
A:15,16,14,15,13,17,15,14；
B:12,19,18,11,14,20,13,16。
(1)计算A和B两组数据的离差平方和。
(2)哪块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐？
答案
解:(1)A 组平均数:$\dfrac{15+16+14+15+13+17+15+14}{8}=14.875$,A 组离差平方和:$(15-14.875)^2+(16-14.875)^2+(14-14.875)^2+(15-14.875)^2+(13-14.875)^2+(17-14.875)^2+(15-14.875)^2+(14-14.875)^2=10.875(\mathrm{cm}^2)$;
B 组平均数:$\dfrac{12+19+18+11+14+20+13+16}{8}=15.375$,B 组离差平方和:$(12-15.375)^2+(19-15.375)^2+(18-15.375)^2+(11-15.375)^2+(14-15.375)^2+(20-15.375)^2+(13-15.375)^2+(16-15.375)^2=79.875(\mathrm{cm}^2)$。
(2)$S_A^2=\dfrac{10.875}{8}\approx1.36;S_B^2=\dfrac{79.875}{8}\approx9.98$。因为 $S_A^2＜S_B^2$,所以 A 块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
B 组平均数:$\dfrac{12+19+18+11+14+20+13+16}{8}=15.375$,B 组离差平方和:$(12-15.375)^2+(19-15.375)^2+(18-15.375)^2+(11-15.375)^2+(14-15.375)^2+(20-15.375)^2+(13-15.375)^2+(16-15.375)^2=79.875(\mathrm{cm}^2)$。
(2)$S_A^2=\dfrac{10.875}{8}\approx1.36;S_B^2=\dfrac{79.875}{8}\approx9.98$。因为 $S_A^2＜S_B^2$,所以 A 块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
解析
【分析】要判断两块菜地西红柿秧苗的长势整齐度，需通过计算数据的离散程度指标（离差平方和、方差）分析。解题步骤为：①先计算A、B两组数据的平均数，因为离差平方和的计算依赖于平均数；②根据离差平方和的定义，分别计算两组数据的离差平方和；③计算两组数据的方差（离差平方和除以数据个数），方差越小，数据离散程度越小，秧苗长势越整齐，据此得出结论。
【解析】解:(1) 计算A组数据的平均数：$\bar{x}_A=\frac{15+16+14+15+13+17+15+14}{8}=14.875$（cm），A组离差平方和：$\sum_{i=1}^8 (x_{Ai}-\bar{x}_A)^2=(15-14.875)^2+(16-14.875)^2+(14-14.875)^2+(15-14.875)^2+(13-14.875)^2+(17-14.875)^2+(15-14.875)^2+(14-14.875)^2=10.875$（cm²）；计算B组数据的平均数：$\bar{x}_B=\frac{12+19+18+11+14+20+13+16}{8}=15.375$（cm），B组离差平方和：$\sum_{i=1}^8 (x_{Bi}-\bar{x}_B)^2=(12-15.375)^2+(19-15.375)^2+(18-15.375)^2+(11-15.375)^2+(14-15.375)^2+(20-15.375)^2+(13-15.375)^2+(16-15.375)^2=79.875$（cm²）。(2) 计算两组数据的方差：$S_A^2=\frac{10.875}{8}\approx1.36$，$S_B^2=\frac{79.875}{8}\approx9.98$。因为$S_A^2＜S_B^2$，所以A块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
【答案】(1)A组离差平方和为10.875cm²，B组离差平方和为79.875cm²；(2)A块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
【知识点】平均数、离差平方和、方差
【点评】本题考查统计中数据离散程度的实际应用，核心是掌握离差平方和、方差的计算方法及意义，通过比较方差大小判断数据的整齐度，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】解:(1) 计算A组数据的平均数：$\bar{x}_A=\frac{15+16+14+15+13+17+15+14}{8}=14.875$（cm），A组离差平方和：$\sum_{i=1}^8 (x_{Ai}-\bar{x}_A)^2=(15-14.875)^2+(16-14.875)^2+(14-14.875)^2+(15-14.875)^2+(13-14.875)^2+(17-14.875)^2+(15-14.875)^2+(14-14.875)^2=10.875$（cm²）；计算B组数据的平均数：$\bar{x}_B=\frac{12+19+18+11+14+20+13+16}{8}=15.375$（cm），B组离差平方和：$\sum_{i=1}^8 (x_{Bi}-\bar{x}_B)^2=(12-15.375)^2+(19-15.375)^2+(18-15.375)^2+(11-15.375)^2+(14-15.375)^2+(20-15.375)^2+(13-15.375)^2+(16-15.375)^2=79.875$（cm²）。(2) 计算两组数据的方差：$S_A^2=\frac{10.875}{8}\approx1.36$，$S_B^2=\frac{79.875}{8}\approx9.98$。因为$S_A^2＜S_B^2$，所以A块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
【答案】(1)A组离差平方和为10.875cm²，B组离差平方和为79.875cm²；(2)A块菜地的西红柿秧苗长得比较整齐。
【知识点】平均数、离差平方和、方差
【点评】本题考查统计中数据离散程度的实际应用，核心是掌握离差平方和、方差的计算方法及意义，通过比较方差大小判断数据的整齐度，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
