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10.新定义 定义:对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形。
了解性质:如图1,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,则有$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$。
性质应用:(1)如图1,四边形ABCD是垂美四边形,若$AD=2$, $BC=4$, $CD=3$,则$AB=$
性质变式:(2)如图2、图3,P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则有以下重要结论:$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$。请以图3为例将重要结论证明出来。
应用变式:(3)①如图4,在矩形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,P为BO的中点,则$\frac{PA^2 + PC^2}{PB^2}=10$(写出证明过程)。
②如图5,在$△ ABC$中,$CA=4$,$CB=6$,D是$△ ABC$内一点,且$CD=2$,$∠ ADB=90°$,则AB的最小值是
了解性质:如图1,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,则有$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$。
性质应用:(1)如图1,四边形ABCD是垂美四边形,若$AD=2$, $BC=4$, $CD=3$,则$AB=$
√11
。性质变式:(2)如图2、图3,P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则有以下重要结论:$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$。请以图3为例将重要结论证明出来。
应用变式:(3)①如图4,在矩形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,P为BO的中点,则$\frac{PA^2 + PC^2}{PB^2}=10$(写出证明过程)。
②如图5,在$△ ABC$中,$CA=4$,$CB=6$,D是$△ ABC$内一点,且$CD=2$,$∠ ADB=90°$,则AB的最小值是
4√3−2
。答案
(1)√11
(2)证明:如图1,过点P作PH⊥AD于点H,联结BH,CH。由“垂美”四边形的性质,得BH²+CP²=BP²+CH²,即CP²−BP²=CH²−BH²=(HD²+DC²)−(AH²+AB²)=HD²−AH²。又由勾股定理可知,DP²−AP²=(HD²+PH²)−(AH²+PH²)=HD²−AH²,所以CP²−BP²=DP²−AP²,即AP²+CP²=BP²+DP²。
(3)①证明:设BP=a,则DP=3a。由(2)得AP²+CP²=BP²+DP²,所以AP²+CP²=a²+9a²=10a²,所以(PA²+PC²)/PB²=10a²/a²=10。
②4√3−2 【解析】以AD,BD为邻边作矩形ADBE,联结CE,DE,如图2所示,则AB=DE。由(2)得CD²+CE²=CA²+CB²,即2²+CE²=4²+6²,解得CE=4√3。当C,D,E三点共线时,DE最小,所以AB的最小值=DE的最小值=CE−CD=4√3−2。
解析
【分析】
本题是新定义类几何题，核心围绕“垂美四边形”的性质展开，结合矩形特点解决问题。解题思路如下：
1. 第(1)问直接应用垂美四边形的性质公式，代入已知边长计算AB；
2. 第(2)问通过作辅助线构造直角，利用垂美四边形性质和勾股定理推导结论；
3. 第(3)①问利用矩形对角线互相平分的性质得到线段关系，再结合第(2)问的结论计算比值；
4. 第(3)②问通过构造矩形转化线段，利用“两点之间线段最短”求最小值。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是垂美四边形，根据其性质：$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$。
已知$AD=2$，$BC=4$，$CD=3$，代入得：
$AB^2 + 3^2 = 2^2 + 4^2$
$AB^2 +9 = 4 +16 =20$
$AB^2=11$，所以$AB=\sqrt{11}$。
(2) 证明：过点P作$PH⊥AD$于点H，连接BH、CH。
由垂美四边形性质得：$BH^2 + CP^2 = BP^2 + CH^2$，即$CP^2 - BP^2 = CH^2 - BH^2$。
又$CH^2 = HD^2 + DC^2$，$BH^2 = AH^2 + AB^2$，矩形中$AB=DC$，故$CH^2 - BH^2 = HD^2 - AH^2$。
根据勾股定理：$DP^2 - AP^2=(HD^2 + PH^2)-(AH^2 + PH^2)=HD^2 - AH^2$，
因此$CP^2 - BP^2 = DP^2 - AP^2$，移项得$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$，结论得证。
(3) ① 证明：设$BP=a$，矩形对角线互相平分，故$BO=OD$。
P是BO中点，所以$BP=PO=a$，则$PD=PO + OD = a + 2a=3a$。
根据(2)的结论$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$，代入得：
$AP^2 + CP^2 = a^2 + (3a)^2=10a^2$，
所以$\frac{PA^2 + PC^2}{PB^2}=\frac{10a^2}{a^2}=10$，得证。
② 解：以AD、BD为邻边作矩形ADBE，连接CE、DE，则$AB=DE$。
根据(2)的结论：$CD^2 + CE^2 = CA^2 + CB^2$，代入$CA=4$，$CB=6$，$CD=2$得：
$2^2 + CE^2=4^2 +6^2$ → $CE^2=48$ → $CE=4\sqrt{3}$。
当C、D、E共线时，DE最小，此时$DE=CE - CD=4\sqrt{3}-2$，故AB最小值为$4\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) $\sqrt{11}$；
(2) 证明见解析；
(3) ① 证明见解析；② $4\sqrt{3}-2$；
【知识点】
垂美四边形性质、矩形性质、勾股定理、线段最小值。
【点评】
本题为新定义几何题，通过“垂美四边形”性质串联矩形相关结论，考查知识迁移与逻辑推理能力，辅助线构造是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类几何题，核心围绕“垂美四边形”的性质展开，结合矩形特点解决问题。解题思路如下：
1. 第(1)问直接应用垂美四边形的性质公式，代入已知边长计算AB；
2. 第(2)问通过作辅助线构造直角，利用垂美四边形性质和勾股定理推导结论；
3. 第(3)①问利用矩形对角线互相平分的性质得到线段关系，再结合第(2)问的结论计算比值；
4. 第(3)②问通过构造矩形转化线段，利用“两点之间线段最短”求最小值。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是垂美四边形，根据其性质：$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$。
已知$AD=2$，$BC=4$，$CD=3$，代入得：
$AB^2 + 3^2 = 2^2 + 4^2$
$AB^2 +9 = 4 +16 =20$
$AB^2=11$，所以$AB=\sqrt{11}$。
(2) 证明：过点P作$PH⊥AD$于点H，连接BH、CH。
由垂美四边形性质得：$BH^2 + CP^2 = BP^2 + CH^2$，即$CP^2 - BP^2 = CH^2 - BH^2$。
又$CH^2 = HD^2 + DC^2$，$BH^2 = AH^2 + AB^2$，矩形中$AB=DC$，故$CH^2 - BH^2 = HD^2 - AH^2$。
根据勾股定理：$DP^2 - AP^2=(HD^2 + PH^2)-(AH^2 + PH^2)=HD^2 - AH^2$，
因此$CP^2 - BP^2 = DP^2 - AP^2$，移项得$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$，结论得证。
(3) ① 证明：设$BP=a$，矩形对角线互相平分，故$BO=OD$。
P是BO中点，所以$BP=PO=a$，则$PD=PO + OD = a + 2a=3a$。
根据(2)的结论$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$，代入得：
$AP^2 + CP^2 = a^2 + (3a)^2=10a^2$，
所以$\frac{PA^2 + PC^2}{PB^2}=\frac{10a^2}{a^2}=10$，得证。
② 解：以AD、BD为邻边作矩形ADBE，连接CE、DE，则$AB=DE$。
根据(2)的结论：$CD^2 + CE^2 = CA^2 + CB^2$，代入$CA=4$，$CB=6$，$CD=2$得：
$2^2 + CE^2=4^2 +6^2$ → $CE^2=48$ → $CE=4\sqrt{3}$。
当C、D、E共线时，DE最小，此时$DE=CE - CD=4\sqrt{3}-2$，故AB最小值为$4\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) $\sqrt{11}$；
(2) 证明见解析；
(3) ① 证明见解析；② $4\sqrt{3}-2$；
【知识点】
垂美四边形性质、矩形性质、勾股定理、线段最小值。
【点评】
本题为新定义几何题，通过“垂美四边形”性质串联矩形相关结论，考查知识迁移与逻辑推理能力，辅助线构造是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.5
