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11.(2025·湖州市吴兴区期末)新定义 定义:如果一个四边形有两条邻边相等,且这两条边所夹角的对角是直角,那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”,把夹角所对的直角称为“对直角”。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若∠ADB=40°,∠CDB=20°,∠C=140°,∠ABC=70°,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由。
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠A是“对直角”,AD=4,AB=6,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长。
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠DAB是“对直角”,DA=2,DB=2√10,DC=2√5,求此时对角线AC的长。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若∠ADB=40°,∠CDB=20°,∠C=140°,∠ABC=70°,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由。
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠A是“对直角”,AD=4,AB=6,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长。
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,∠DAB是“对直角”,DA=2,DB=2√10,DC=2√5,求此时对角线AC的长。
答案
(1)解:四边形ABCD是“等对直四边形”。理由如下:因为∠CDB=20°,∠C=140°,所以∠CBD=180°−20°−140°=20°=∠CDB,所以CD=CB。因为∠ABC=70°,所以∠ABD=∠ABC−∠CBD=50°,所以∠A=180°−∠ADB−∠ABD=180°−40°−50°=90°,所以四边形ABCD是“等对直四边形”。
(2)解:分两种情况:①当BD平分∠ABC时,因为四边形ABCD是“等对直四边形”,∠A是“对直角”,所以CD=CB,∠A=90°,所以∠CDB=∠CBD。因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以∠ABD=∠CDB,所以DC//AB。如图1,过点C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE是平行四边形。设BC的长为x,则AE=CD=CB=x。因为AD=4,AB=6,所以CE=AD=4,BE=AB−AE=6−x。在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE²+BE²=BC²,所以4²+(6−x)²=x²,解得x=13/3。即BC的长为13/3。②当BD平分∠ADC时,同理可得,AD//CB。如图2,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,则四边形ABCF是平行四边形。设BC的长为x,则AF=CD=CB=x。因为AD=4,AB=6,所以CF=AB=6,DF=AF−AD=x−4,所以6²+(x−4)²=x²,解得x=13/2。即BC的长为13/2。综上所述,BC的长为13/3或13/2。
(3)解:因为四边形ABCD是“等对直四边形”,∠DAB是“对直角”,所以CB=DC=2√5,∠DAB=90°。因为DA=2,DB=2√10,所以AB=√DB²−DA²=6。因为DB=2√10,DC=CB=2√5,所以DB²=DC²+CB²,所以∠DCB=90°。如图3,过点C分别作CF⊥AD交AD的延长线于点F,作CE⊥AB于点E,则∠F=∠CEB=90°。因为∠DCB+∠DAB=180°,所以∠ADC+∠ABC=180°。因为∠ADC+∠CDF=180°,所以∠CBE=∠CDF。因为CD=CB,所以△CDF≌△CBE(AAS),所以DF=BE,CF=CE,所以四边形AECF是正方形,所以AE=AF,所以AB−BE=AD+DF,即6−BE=2+BE,所以BE=2,所以AE=CE=4,所以AC=√AE²+CE²=√4²+4²=4√2。
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“等对直四边形”的定义：有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。(1)问需根据三角形内角和定理，计算边与角判断是否满足定义；(2)问中∠A是“对直角”，对应两条邻边相等（CD=CB），结合BD平分内角分两种情况，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理求解；(3)问先利用勾股定理求AB，再证∠DCB为直角，通过作辅助线构造全等三角形，结合正方形性质计算AC。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△CDB中，∠CDB=20°，∠C=140°，由三角形内角和得∠CBD=180°−20°−140°=20°，故∠CBD=∠CDB，所以CD=CB。
又∠ABC=70°，则∠ABD=70°−20°=50°，在△ABD中，∠A=180°−40°−50°=90°，即两条邻边CD、CB的夹角∠C的对角∠A为直角，且CD=CB，满足定义。
(2) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A是“对直角”，所以CD=CB，∠A=90°，分两种情况：
① 当BD平分∠ABC时：
由BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，结合CD=CB得∠CDB=∠CBD，故∠ABD=∠CDB，DC//AB。过C作CE⊥AB于E，四边形ADCE是平行四边形，CE=AD=4，AE=CD=CB=x。设BC=x，则BE=6−x，在Rt△BCE中，由勾股定理：4²+(6−x)²=x²，解得x=13/3，即BC=13/3。
② 当BD平分∠ADC时：
同理得AD//CB，过C作CF⊥AD交AD延长线于F，四边形ABCF是平行四边形，CF=AB=6，AF=CB=x，DF=x−4，在Rt△CDF中，由勾股定理：6²+(x−4)²=x²，解得x=13/2，即BC=13/2。
综上，BC的长为13/3或13/2。
(3) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB是“对直角”，所以CB=DC=2√5，∠DAB=90°。
在Rt△DAB中，AB=√[(2√10)²−2²]=6，又DB²=DC²+CB²，故∠DCB=90°。
过C作CF⊥AD延长线于F，CE⊥AB于E，得∠F=∠CEB=90°，易证∠CBE=∠CDF，结合CD=CB，得△CDF≌△CBE(AAS)，故DF=BE，CF=CE，四边形AECF是正方形，AE=AF。
即6−BE=2+BE，解得BE=2，AE=CE=4，所以AC=√(4²+4²)=4√2。
【答案】
(1) 是；
(2) 13/3或13/2；
(3) 4√2；
【知识点】
新定义四边形，勾股定理，全等三角形判定
【点评】
本题为新定义题型，需先准确理解定义，再结合三角形、四边形性质解题，第(2)问需分情况讨论，第(3)问辅助线构造是关键，考查综合应用能力。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，需先明确“等对直四边形”的定义：有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。(1)问需根据三角形内角和定理，计算边与角判断是否满足定义；(2)问中∠A是“对直角”，对应两条邻边相等（CD=CB），结合BD平分内角分两种情况，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理求解；(3)问先利用勾股定理求AB，再证∠DCB为直角，通过作辅助线构造全等三角形，结合正方形性质计算AC。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△CDB中，∠CDB=20°，∠C=140°，由三角形内角和得∠CBD=180°−20°−140°=20°，故∠CBD=∠CDB，所以CD=CB。
又∠ABC=70°，则∠ABD=70°−20°=50°，在△ABD中，∠A=180°−40°−50°=90°，即两条邻边CD、CB的夹角∠C的对角∠A为直角，且CD=CB，满足定义。
(2) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A是“对直角”，所以CD=CB，∠A=90°，分两种情况：
① 当BD平分∠ABC时：
由BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，结合CD=CB得∠CDB=∠CBD，故∠ABD=∠CDB，DC//AB。过C作CE⊥AB于E，四边形ADCE是平行四边形，CE=AD=4，AE=CD=CB=x。设BC=x，则BE=6−x，在Rt△BCE中，由勾股定理：4²+(6−x)²=x²，解得x=13/3，即BC=13/3。
② 当BD平分∠ADC时：
同理得AD//CB，过C作CF⊥AD交AD延长线于F，四边形ABCF是平行四边形，CF=AB=6，AF=CB=x，DF=x−4，在Rt△CDF中，由勾股定理：6²+(x−4)²=x²，解得x=13/2，即BC=13/2。
综上，BC的长为13/3或13/2。
(3) 因为四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB是“对直角”，所以CB=DC=2√5，∠DAB=90°。
在Rt△DAB中，AB=√[(2√10)²−2²]=6，又DB²=DC²+CB²，故∠DCB=90°。
过C作CF⊥AD延长线于F，CE⊥AB于E，得∠F=∠CEB=90°，易证∠CBE=∠CDF，结合CD=CB，得△CDF≌△CBE(AAS)，故DF=BE，CF=CE，四边形AECF是正方形，AE=AF。
即6−BE=2+BE，解得BE=2，AE=CE=4，所以AC=√(4²+4²)=4√2。
【答案】
(1) 是；
(2) 13/3或13/2；
(3) 4√2；
【知识点】
新定义四边形，勾股定理，全等三角形判定
【点评】
本题为新定义题型，需先准确理解定义，再结合三角形、四边形性质解题，第(2)问需分情况讨论，第(3)问辅助线构造是关键，考查综合应用能力。
【难度系数】
0.5
