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3.解比例或方程。(每小题2分,共6分)
$5.7x - 6×3 = 39$
$\frac{5}{4}:0.25 = x:\frac{4}{5}$
$3x - \frac{3}{4}x = 36$
$5.7x - 6×3 = 39$
$\frac{5}{4}:0.25 = x:\frac{4}{5}$
$3x - \frac{3}{4}x = 36$
答案
3. $x=10$ $x=4$ $x=16$
解析
【分析】
本题包含解一元一次方程和比例两类题型，需分别运用等式的性质和比例的基本性质解题：
1. 第一个方程：先计算常数项，再通过移项、系数化为1求解；
2. 第二个比例：利用“比例的内项积等于外项积”转化为普通方程，再求解；
3. 第三个方程：先合并同类项，再系数化为1求解。
【解析】
1. 解方程 $5.7x - 6×3 = 39$：
先计算常数项：$6×3=18$，方程变为 $5.7x - 18 = 39$；
移项得：$5.7x = 39 + 18 = 57$；
系数化为1：$x = 57 ÷ 5.7 = 10$。
2. 解比例 $\frac{5}{4}:0.25 = x:\frac{4}{5}$：
根据比例基本性质（内项积=外项积）：$0.25x = \frac{5}{4}×\frac{4}{5}$；
计算右边：$\frac{5}{4}×\frac{4}{5}=1$，方程变为 $0.25x =1$；
系数化为1：$x=1÷0.25=4$。
3. 解方程 $3x - \frac{3}{4}x =36$：
合并同类项：$3x=\frac{12}{4}x$，则 $\frac{12}{4}x - \frac{3}{4}x=\frac{9}{4}x$，方程变为 $\frac{9}{4}x=36$；
系数化为1：$x=36×\frac{4}{9}=16$。
【答案】
$x=10$，$x=4$，$x=16$
【知识点】
解一元一次方程，比例的基本性质
【点评】
本题为基础的解方程与解比例题型，核心考察等式性质和比例基本性质的应用，步骤清晰，属于学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题包含解一元一次方程和比例两类题型，需分别运用等式的性质和比例的基本性质解题：
1. 第一个方程：先计算常数项，再通过移项、系数化为1求解；
2. 第二个比例：利用“比例的内项积等于外项积”转化为普通方程，再求解；
3. 第三个方程：先合并同类项，再系数化为1求解。
【解析】
1. 解方程 $5.7x - 6×3 = 39$：
先计算常数项：$6×3=18$，方程变为 $5.7x - 18 = 39$；
移项得：$5.7x = 39 + 18 = 57$；
系数化为1：$x = 57 ÷ 5.7 = 10$。
2. 解比例 $\frac{5}{4}:0.25 = x:\frac{4}{5}$：
根据比例基本性质（内项积=外项积）：$0.25x = \frac{5}{4}×\frac{4}{5}$；
计算右边：$\frac{5}{4}×\frac{4}{5}=1$，方程变为 $0.25x =1$；
系数化为1：$x=1÷0.25=4$。
3. 解方程 $3x - \frac{3}{4}x =36$：
合并同类项：$3x=\frac{12}{4}x$，则 $\frac{12}{4}x - \frac{3}{4}x=\frac{9}{4}x$，方程变为 $\frac{9}{4}x=36$；
系数化为1：$x=36×\frac{4}{9}=16$。
【答案】
$x=10$，$x=4$，$x=16$
【知识点】
解一元一次方程，比例的基本性质
【点评】
本题为基础的解方程与解比例题型，核心考察等式性质和比例基本性质的应用，步骤清晰，属于学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
四、图形操作(共10分)
1.求出图中阴影部分的面积和周长(单位:cm)。(4分)
1.求出图中阴影部分的面积和周长(单位:cm)。(4分)
答案
1. 面积:$(4+7)×4÷2=22(\mathrm{cm}^2)$ $\frac{1}{4}×3.14×4^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
$22-12.56=9.44(\mathrm{cm}^2)$ 周长:$5+7+\frac{1}{4}×2×3.14×4=18.28(\mathrm{cm})$
$22-12.56=9.44(\mathrm{cm}^2)$ 周长:$5+7+\frac{1}{4}×2×3.14×4=18.28(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，需先判断阴影部分是梯形减去四分之一圆的组合图形，因此先计算梯形面积和四分之一圆的面积，再用梯形面积减去四分之一圆面积得到阴影面积；计算阴影周长时，需找出组成阴影周长的线段和圆弧，分别计算后相加即可。
【解析】
面积计算：
1. 梯形的上底为4cm，下底为7cm，高等于AB的长度4cm，根据梯形面积公式：
$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(4+7)×4÷2=22(cm²)$
2. 空白部分是半径为4cm的四分之一圆，根据圆的面积公式，四分之一圆面积为：
$S_{四分之一圆}=\frac{1}{4}×3.14×4²=12.56(cm²)$
3. 阴影面积 = 梯形面积 - 四分之一圆面积：
$22 - 12.56=9.44(cm²)$
周长计算：
阴影周长由线段AD（5cm）、DC（7cm）和四分之一圆弧组成，四分之一圆弧长度为圆周长的$\frac{1}{4}$，圆周长公式为$C=2πr$，因此：
四分之一圆弧长=$\frac{1}{4}×2×3.14×4=6.28(cm)$
阴影周长=$5 +7 +6.28=18.28(cm)$
【答案】
面积：9.44cm²；周长：18.28cm
【知识点】
梯形面积、圆的周长、圆的面积
【点评】
本题属于组合图形的计算问题，需准确拆分图形为基本图形，再运用对应公式计算，重点是识别阴影部分的组成部分，避免遗漏周长中的圆弧段。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的面积，需先判断阴影部分是梯形减去四分之一圆的组合图形，因此先计算梯形面积和四分之一圆的面积，再用梯形面积减去四分之一圆面积得到阴影面积；计算阴影周长时，需找出组成阴影周长的线段和圆弧，分别计算后相加即可。
【解析】
面积计算：
1. 梯形的上底为4cm，下底为7cm，高等于AB的长度4cm，根据梯形面积公式：
$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(4+7)×4÷2=22(cm²)$
2. 空白部分是半径为4cm的四分之一圆，根据圆的面积公式，四分之一圆面积为：
$S_{四分之一圆}=\frac{1}{4}×3.14×4²=12.56(cm²)$
3. 阴影面积 = 梯形面积 - 四分之一圆面积：
$22 - 12.56=9.44(cm²)$
周长计算：
阴影周长由线段AD（5cm）、DC（7cm）和四分之一圆弧组成，四分之一圆弧长度为圆周长的$\frac{1}{4}$，圆周长公式为$C=2πr$，因此：
四分之一圆弧长=$\frac{1}{4}×2×3.14×4=6.28(cm)$
阴影周长=$5 +7 +6.28=18.28(cm)$
【答案】
面积：9.44cm²；周长：18.28cm
【知识点】
梯形面积、圆的周长、圆的面积
【点评】
本题属于组合图形的计算问题，需准确拆分图形为基本图形，再运用对应公式计算，重点是识别阴影部分的组成部分，避免遗漏周长中的圆弧段。
【难度系数】
0.6
2.如图,每个小方格的边长表示1 km、对角线的长度表示$m$ km。
(1)线段AB是等腰直角三角形ABC的一条直角边,C点在A点的正北方,那么C点在B点的()偏()()°方向()km处,用数对表示是( , ),画出这个三角形。(4分)
(2)画出三角形ABC绕点B按顺时针方向旋转$90°$后的图形$A'BC'$。(1分)
(3)画一个与三角形$A'BC'$面积相等但形状不同的三角形。(1分)
(1)线段AB是等腰直角三角形ABC的一条直角边,C点在A点的正北方,那么C点在B点的()偏()()°方向()km处,用数对表示是( , ),画出这个三角形。(4分)
(2)画出三角形ABC绕点B按顺时针方向旋转$90°$后的图形$A'BC'$。(1分)
(3)画一个与三角形$A'BC'$面积相等但形状不同的三角形。(1分)
答案
2.(1)西 北 45 5m $(3,7)$ 图略 (2)(3)略
解析
【分析】
要解决本题，需先掌握数对的表示规则（第一个数为列数，第二个数为行数），结合等腰直角三角形的性质、方向判断方法分析：
1. 确定A、B的数对：A在第3列第2行，即(3,2)；B在第8列第2行，即(8,2)。
2. 分析等腰直角三角形ABC：AB是直角边，C在A的正北方，说明AC垂直于AB（AB水平，AC竖直），且AC=AB=5km（AB长度为8-3=5），因此C的位置是A向上5行，即第3列第7行，数对为(3,7)。
3. 判断C相对B的方向：B到C的水平向西距离为5，竖直向北距离为5，构成等腰直角三角形，故方向为西偏北45°；BC长度为5个小方格的对角线，即5m km。
4. 后续旋转、画图按几何变换规则操作即可。
【解析】
(1) ① 确定A、B的数对：A(3,2)，B(8,2)；
② 由△ABC是等腰直角三角形，AB为直角边，C在A正北方，得AC⊥AB且AC=AB=5km，因此C的行数为2+5=7，列数为3，即C(3,7)；
③ B到C的水平差为8-3=5（向西），竖直差为7-2=5（向北），故方向为西偏北45°，距离为5m km；
④ 连接A、B、C，画出△ABC。
(2) 旋转图形：将点A、C绕点B顺时针旋转90°，得到对应点A'、C'，连接A'、B、C'，即得旋转后的图形。
(3) 画面积相等的三角形：△ABC的面积为½×5×5=12.5，可画底5高5（或其他底高组合）、形状不同的三角形即可。
【答案】
(1) 西，北，45，5m，(3,7)；(2)(3) 图略
【知识点】
数对与位置，方向与位置，等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查数对表示位置、方向判断、等腰直角三角形性质、图形旋转及三角形面积，需学生掌握基础几何知识，按步骤分析图形关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先掌握数对的表示规则（第一个数为列数，第二个数为行数），结合等腰直角三角形的性质、方向判断方法分析：
1. 确定A、B的数对：A在第3列第2行，即(3,2)；B在第8列第2行，即(8,2)。
2. 分析等腰直角三角形ABC：AB是直角边，C在A的正北方，说明AC垂直于AB（AB水平，AC竖直），且AC=AB=5km（AB长度为8-3=5），因此C的位置是A向上5行，即第3列第7行，数对为(3,7)。
3. 判断C相对B的方向：B到C的水平向西距离为5，竖直向北距离为5，构成等腰直角三角形，故方向为西偏北45°；BC长度为5个小方格的对角线，即5m km。
4. 后续旋转、画图按几何变换规则操作即可。
【解析】
(1) ① 确定A、B的数对：A(3,2)，B(8,2)；
② 由△ABC是等腰直角三角形，AB为直角边，C在A正北方，得AC⊥AB且AC=AB=5km，因此C的行数为2+5=7，列数为3，即C(3,7)；
③ B到C的水平差为8-3=5（向西），竖直差为7-2=5（向北），故方向为西偏北45°，距离为5m km；
④ 连接A、B、C，画出△ABC。
(2) 旋转图形：将点A、C绕点B顺时针旋转90°，得到对应点A'、C'，连接A'、B、C'，即得旋转后的图形。
(3) 画面积相等的三角形：△ABC的面积为½×5×5=12.5，可画底5高5（或其他底高组合）、形状不同的三角形即可。
【答案】
(1) 西，北，45，5m，(3,7)；(2)(3) 图略
【知识点】
数对与位置，方向与位置，等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查数对表示位置、方向判断、等腰直角三角形性质、图形旋转及三角形面积，需学生掌握基础几何知识，按步骤分析图形关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
五、解决问题(共30分)
1.只列式不计算。(每小题1.5分,共6分)
每年的4月23日是世界读书日,实验学校每年四月份都举行“书香致远”的读书节活动。与图书相关的还有不少数学问题呢!
(1)为提升学生的阅读能力,学校从最初藏书28000册,连续五年,每年增加4500册,那么,到今年学校藏书量比最初的藏书量增加了百分之几?
(2)学校新建的图书馆所占地面是一个长方形,长是25 m,比宽长11 m。按1:200的比例尺,画出它的平面图。在图纸上,图书馆所占地面的宽应画多少厘米?
(3)六年级学生进行“图书漂流”,小明换到了一本他喜欢的《数学简史》,共210页。他已经看了全书的$\frac{1}{6}$,剩下的他想用一星期看完,这一个星期平均每天看几页?
(4)今年学校校友会捐赠了4500册图书,图书馆需要把这些图书先编书目再入库。李老师单独完成这项工作需6天,张老师单独完成这项工作要9天。张老师先单独做了3天,再与李老师合作完成。两位老师合作了几天?
1.只列式不计算。(每小题1.5分,共6分)
每年的4月23日是世界读书日,实验学校每年四月份都举行“书香致远”的读书节活动。与图书相关的还有不少数学问题呢!
(1)为提升学生的阅读能力,学校从最初藏书28000册,连续五年,每年增加4500册,那么,到今年学校藏书量比最初的藏书量增加了百分之几?
$4500×5÷28000×100\%$
(2)学校新建的图书馆所占地面是一个长方形,长是25 m,比宽长11 m。按1:200的比例尺,画出它的平面图。在图纸上,图书馆所占地面的宽应画多少厘米?
$(25-11)×100÷200$
(3)六年级学生进行“图书漂流”,小明换到了一本他喜欢的《数学简史》,共210页。他已经看了全书的$\frac{1}{6}$,剩下的他想用一星期看完,这一个星期平均每天看几页?
$210×(1-\frac{1}{6})÷7$
(4)今年学校校友会捐赠了4500册图书,图书馆需要把这些图书先编书目再入库。李老师单独完成这项工作需6天,张老师单独完成这项工作要9天。张老师先单独做了3天,再与李老师合作完成。两位老师合作了几天?
$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$
答案
1.(1)$4500×5÷28000×100\%$
(2)$(25-11)×100÷200$
(3)$210×(1-\frac{1}{6})÷7$
(4)$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$
(2)$(25-11)×100÷200$
(3)$210×(1-\frac{1}{6})÷7$
(4)$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$
解析
【分析】
(1) 求藏书量比最初增加的百分比，需用“增加的藏书量÷最初藏书量×100%”，增加的藏书量是5年每年增加的4500册总和，据此列式；
(2) 先算图书馆实际宽度：长25m比宽长11m，实际宽为(25-11)m，换算为厘米后，再根据“图上距离=实际距离×比例尺”计算图上宽，据此列式；
(3) 先求剩下的页数：全书210页，剩下的是全书的$(1-\frac{1}{6})$，再用剩下的页数除以一星期7天，得到平均每天看的页数，据此列式；
(4) 把总工作量看作单位“1”，先算张老师3天的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以两位老师的合作效率，得到合作天数，据此列式。
【解析】
(1) 增加的百分比=增加的总册数÷最初册数×100%，增加的总册数为$4500×5$，故列式：$4500×5÷28000×100\%$；
(2) 实际宽为$25-11$（单位：m），换算为厘米是$(25-11)×100$，结合比例尺1:200，图上宽列式：$(25-11)×100÷200$；
(3) 剩下的页数为$210×(1-\frac{1}{6})$，平均每天看的页数=剩下的页数÷7，故列式：$210×(1-\frac{1}{6})÷7$；
(4) 剩余工作量为$1-3×\frac{1}{9}$，合作效率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$，合作天数=剩余工作量÷合作效率，故列式：$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$。
【答案】
(1)$4500×5÷28000×100\%$；(2)$(25-11)×100÷200$；(3)$210×(1-\frac{1}{6})÷7$；(4)$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$
【知识点】
百分数应用、比例尺应用、工程问题
【点评】
本题为小学阶段典型的数学应用题型，涵盖百分数、比例尺、分数运算、工程问题等核心知识点，要求学生准确梳理各题型的数量关系，仅列式不计算，重点考查对应用题逻辑关系的理解与列式能力，是基础且常见的考查形式。
【难度系数】
0.6
(1) 求藏书量比最初增加的百分比，需用“增加的藏书量÷最初藏书量×100%”，增加的藏书量是5年每年增加的4500册总和，据此列式；
(2) 先算图书馆实际宽度：长25m比宽长11m，实际宽为(25-11)m，换算为厘米后，再根据“图上距离=实际距离×比例尺”计算图上宽，据此列式；
(3) 先求剩下的页数：全书210页，剩下的是全书的$(1-\frac{1}{6})$，再用剩下的页数除以一星期7天，得到平均每天看的页数，据此列式；
(4) 把总工作量看作单位“1”，先算张老师3天的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以两位老师的合作效率，得到合作天数，据此列式。
【解析】
(1) 增加的百分比=增加的总册数÷最初册数×100%，增加的总册数为$4500×5$，故列式：$4500×5÷28000×100\%$；
(2) 实际宽为$25-11$（单位：m），换算为厘米是$(25-11)×100$，结合比例尺1:200，图上宽列式：$(25-11)×100÷200$；
(3) 剩下的页数为$210×(1-\frac{1}{6})$，平均每天看的页数=剩下的页数÷7，故列式：$210×(1-\frac{1}{6})÷7$；
(4) 剩余工作量为$1-3×\frac{1}{9}$，合作效率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$，合作天数=剩余工作量÷合作效率，故列式：$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$。
【答案】
(1)$4500×5÷28000×100\%$；(2)$(25-11)×100÷200$；(3)$210×(1-\frac{1}{6})÷7$；(4)$(1-3×\frac{1}{9})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$
【知识点】
百分数应用、比例尺应用、工程问题
【点评】
本题为小学阶段典型的数学应用题型，涵盖百分数、比例尺、分数运算、工程问题等核心知识点，要求学生准确梳理各题型的数量关系，仅列式不计算，重点考查对应用题逻辑关系的理解与列式能力，是基础且常见的考查形式。
【难度系数】
0.6
