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一、填空题
1. 某眼镜店国庆节 8 折优惠,某一副眼镜的现价为 160 元,则原价为
1. 某眼镜店国庆节 8 折优惠,某一副眼镜的现价为 160 元,则原价为
200
元.答案
1. 200
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：眼镜打8折后现价是160元，需要求原价。首先要先明确“8折”的定义，8折的含义是商品的售价为原价的80%，也就是0.8倍，对应的三者等量关系为：原价 × 折扣率 = 现价。现在已知现价和折扣率，既可以直接用现价除以折扣率算出原价，也可以设原价为未知数列一元一次方程求解，思路非常清晰。
【解析】
解：首先明确8折的含义：8折代表商品售价是原价的80%，即0.8倍。
设该眼镜的原价为x元，根据题意列等式：
0.8x = 160
计算得：x = 160 ÷ 0.8 = 200
因此该眼镜的原价为200元。
【答案】
200
【知识点】
折扣问题，有理数运算
【点评】
本题是非常基础的商品折扣类应用题，核心考察对折扣概念的理解，只要理清原价、现价、折扣三者的数量关系就能快速得到结果，计算门槛极低，属于小学到初中衔接阶段的必掌握基础题型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先梳理已知条件：眼镜打8折后现价是160元，需要求原价。首先要先明确“8折”的定义，8折的含义是商品的售价为原价的80%，也就是0.8倍，对应的三者等量关系为：原价 × 折扣率 = 现价。现在已知现价和折扣率，既可以直接用现价除以折扣率算出原价，也可以设原价为未知数列一元一次方程求解，思路非常清晰。
【解析】
解：首先明确8折的含义：8折代表商品售价是原价的80%，即0.8倍。
设该眼镜的原价为x元，根据题意列等式：
0.8x = 160
计算得：x = 160 ÷ 0.8 = 200
因此该眼镜的原价为200元。
【答案】
200
【知识点】
折扣问题，有理数运算
【点评】
本题是非常基础的商品折扣类应用题，核心考察对折扣概念的理解，只要理清原价、现价、折扣三者的数量关系就能快速得到结果，计算门槛极低，属于小学到初中衔接阶段的必掌握基础题型。
【难度系数】
0.9
2. [扬州中考]《九章算术》是我国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，大意如下：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他. 速度快的人追上他需要
2.5
分钟.答案
2. 2.5
解析
【分析】
这是典型的行程类追及问题，解题思路如下：首先明确追及问题的核心等量关系：快行者行驶的总路程 = 慢行者提前走的路程 + 慢行者在追及时间内行驶的路程。接着设追及所需时间为x分钟，分别用“速度×时间”表示出两人对应时间段的路程，代入等量关系列出一元一次方程，求解即可得到最终答案。
【解析】
解：设速度快的人追上速度慢的人需要x分钟，
根据追及过程的路程等量关系可列方程：
$100x = 60x + 100$
移项整理得：$40x = 100$
系数化为1得：$x = 2.5$
即速度快的人追上慢的人需要2.5分钟。
【答案】
2.5
【知识点】
一元一次方程应用，行程追及问题
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景考查基础的方程应用题型，只需要准确梳理追及过程中两人的路程差关系即可快速列方程求解，属于初中数学方程模块的常规基础题，不容易出现错误。
【难度系数】
0.9
这是典型的行程类追及问题，解题思路如下：首先明确追及问题的核心等量关系：快行者行驶的总路程 = 慢行者提前走的路程 + 慢行者在追及时间内行驶的路程。接着设追及所需时间为x分钟，分别用“速度×时间”表示出两人对应时间段的路程，代入等量关系列出一元一次方程，求解即可得到最终答案。
【解析】
解：设速度快的人追上速度慢的人需要x分钟，
根据追及过程的路程等量关系可列方程：
$100x = 60x + 100$
移项整理得：$40x = 100$
系数化为1得：$x = 2.5$
即速度快的人追上慢的人需要2.5分钟。
【答案】
2.5
【知识点】
一元一次方程应用，行程追及问题
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景考查基础的方程应用题型，只需要准确梳理追及过程中两人的路程差关系即可快速列方程求解，属于初中数学方程模块的常规基础题，不容易出现错误。
【难度系数】
0.9
3. 由于换季,商场准备对某件商品打折出售,如果按原售价的7.5折出售,将亏损25元,而按原售价的9折出售,将盈利20元,则该件商品的原售价为
300
元.答案
3. 300
解析
【分析】
这道题属于销售盈亏类应用题，解题的核心突破口是这件商品的成本是固定不变的。我们可以先设商品的原售价为未知数，分别根据两种打折销售的盈亏情况，用含未知数的式子表示出商品的成本，由于两个式子都等于固定的成本，就可以列出一元一次方程，求解后就能得到原售价。具体思考步骤：1. 明确7.5折的含义是原售价的75%，9折是原售价的90%；2. 亏损25元代表此时的售价比成本少25元，即成本=打折后售价+25；3. 盈利20元代表此时的售价比成本多20元，即成本=打折后售价-20；4. 两个成本表达式相等，即可建立方程求解。
【解析】
解：设该件商品的原售价为x元。
根据商品成本固定不变的等量关系，可列方程：
$0.75x + 25 = 0.9x - 20$
移项整理得：
$0.9x - 0.75x = 25 + 20$
合并同类项得：
$0.15x = 45$
系数化为1得：
$x = 300$
验证：原售价300元时，7.5折售价为225元，对应成本为225+25=250元；9折售价为270元，270-250=20元，完全符合题干的盈亏条件，结果正确。
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题
【点评】
本题是非常典型的商场销售类基础应用题，解题关键是抓住“商品成本不随打折方案变化”这个隐含的等量关系，只要理清打折、盈利、亏损和成本、售价之间的数量关系，就能顺利列出方程求解，适合巩固一元一次方程实际应用的相关知识点。
【难度系数】
0.8
这道题属于销售盈亏类应用题，解题的核心突破口是这件商品的成本是固定不变的。我们可以先设商品的原售价为未知数，分别根据两种打折销售的盈亏情况，用含未知数的式子表示出商品的成本，由于两个式子都等于固定的成本，就可以列出一元一次方程，求解后就能得到原售价。具体思考步骤：1. 明确7.5折的含义是原售价的75%，9折是原售价的90%；2. 亏损25元代表此时的售价比成本少25元，即成本=打折后售价+25；3. 盈利20元代表此时的售价比成本多20元，即成本=打折后售价-20；4. 两个成本表达式相等，即可建立方程求解。
【解析】
解：设该件商品的原售价为x元。
根据商品成本固定不变的等量关系，可列方程：
$0.75x + 25 = 0.9x - 20$
移项整理得：
$0.9x - 0.75x = 25 + 20$
合并同类项得：
$0.15x = 45$
系数化为1得：
$x = 300$
验证：原售价300元时，7.5折售价为225元，对应成本为225+25=250元；9折售价为270元，270-250=20元，完全符合题干的盈亏条件，结果正确。
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题
【点评】
本题是非常典型的商场销售类基础应用题，解题关键是抓住“商品成本不随打折方案变化”这个隐含的等量关系，只要理清打折、盈利、亏损和成本、售价之间的数量关系，就能顺利列出方程求解，适合巩固一元一次方程实际应用的相关知识点。
【难度系数】
0.8
4. 一艘轮船航行于 A,B 两个码头之间,顺水航行需 3 小时,逆水航行需 5 小时.已知水流速度为4 千米/时,则两个码头之间的距离为
60
千米.答案
4. 60
解析
【分析】
这是典型的流水行船类行程问题，解题的核心是抓住A、B两个码头之间的距离是固定不变的这一隐含条件。首先回忆流水行船的速度规律：顺水航行速度 = 轮船在静水中的速度 + 水流速度，逆水航行速度 = 轮船在静水中的速度 - 水流速度。我们可以先设轮船的静水速度为未知数，利用“顺水行驶的总路程 = 逆水行驶的总路程”列方程，解出静水速度后再计算两码头的距离；也可以直接设两码头距离为未知数，利用“静水速度是固定值”作为等量关系列方程求解。
【解析】
解：设轮船在静水中的航行速度为$ v $千米/时，
则顺水航行速度为$ (v+4) $千米/时，逆水航行速度为$ (v-4) $千米/时。
由于A、B两码头距离固定，可得等式：
$3(v+4) = 5(v-4)$
展开方程：
$3v + 12 = 5v - 20$
移项合并同类项：
$2v = 32$
解得：$ v = 16 $
因此两码头之间的距离为：$ 3×(16+4) = 3×20 = 60 $千米。
【答案】
60
【知识点】
流水行船问题，一元一次方程应用，路程速度时间关系
【点评】
本题属于七年级一元一次方程应用的基础题型，解题关键是牢记流水行船的速度关系，找准行程问题中的不变量作为等量关系，避免混淆顺水、逆水速度和静水速度的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的流水行船类行程问题，解题的核心是抓住A、B两个码头之间的距离是固定不变的这一隐含条件。首先回忆流水行船的速度规律：顺水航行速度 = 轮船在静水中的速度 + 水流速度，逆水航行速度 = 轮船在静水中的速度 - 水流速度。我们可以先设轮船的静水速度为未知数，利用“顺水行驶的总路程 = 逆水行驶的总路程”列方程，解出静水速度后再计算两码头的距离；也可以直接设两码头距离为未知数，利用“静水速度是固定值”作为等量关系列方程求解。
【解析】
解：设轮船在静水中的航行速度为$ v $千米/时，
则顺水航行速度为$ (v+4) $千米/时，逆水航行速度为$ (v-4) $千米/时。
由于A、B两码头距离固定，可得等式：
$3(v+4) = 5(v-4)$
展开方程：
$3v + 12 = 5v - 20$
移项合并同类项：
$2v = 32$
解得：$ v = 16 $
因此两码头之间的距离为：$ 3×(16+4) = 3×20 = 60 $千米。
【答案】
60
【知识点】
流水行船问题，一元一次方程应用，路程速度时间关系
【点评】
本题属于七年级一元一次方程应用的基础题型，解题关键是牢记流水行船的速度关系，找准行程问题中的不变量作为等量关系，避免混淆顺水、逆水速度和静水速度的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 工艺品店接到一批紫砂壶的订单,原计划平均每人制作40件;如果增加5名工人,那么平均每人的工作量减少8件.这批订单订购了
800
件紫砂壶.答案
5. 800
解析
【分析】
这道题的核心等量关系是这批紫砂壶订单的总数量始终不变，我们可以通过设未知数建立方程求解：第一步先设原计划参与制作的工人数量为x名，根据原计划的安排，总订单数可以表示为40x件；第二步，增加5名工人后，单人工作量变为40-8=32件，此时总人数为x+5名，总订单数又可以表示为32×(x+5)件；第三步利用总订单数相等的关系列方程，先解出原工人数量，再代入计算总订单数即可。
【解析】
解：设原有x名工人参与制作紫砂壶。
根据总订单数不变列方程：
$40x = (40 - 8)(x + 5)$
展开化简得：
$40x = 32x + 160$
移项计算：
$8x = 160$
解得：
$x = 20$
因此这批订单的总紫砂壶数量为：$40×20=800$（件）
【答案】800
【知识点】一元一次方程应用，工程总量关系
【点评】本题属于基础的工程类应用题，解题关键是抓住总工作量不变的隐含等量关系，用方程法求解思路清晰不易出错，计算难度低，只要理清人数、单人工作量和总工作量三者的对应关系就可以顺利得到结果。
【难度系数】0.7
这道题的核心等量关系是这批紫砂壶订单的总数量始终不变，我们可以通过设未知数建立方程求解：第一步先设原计划参与制作的工人数量为x名，根据原计划的安排，总订单数可以表示为40x件；第二步，增加5名工人后，单人工作量变为40-8=32件，此时总人数为x+5名，总订单数又可以表示为32×(x+5)件；第三步利用总订单数相等的关系列方程，先解出原工人数量，再代入计算总订单数即可。
【解析】
解：设原有x名工人参与制作紫砂壶。
根据总订单数不变列方程：
$40x = (40 - 8)(x + 5)$
展开化简得：
$40x = 32x + 160$
移项计算：
$8x = 160$
解得：
$x = 20$
因此这批订单的总紫砂壶数量为：$40×20=800$（件）
【答案】800
【知识点】一元一次方程应用，工程总量关系
【点评】本题属于基础的工程类应用题，解题关键是抓住总工作量不变的隐含等量关系，用方程法求解思路清晰不易出错，计算难度低，只要理清人数、单人工作量和总工作量三者的对应关系就可以顺利得到结果。
【难度系数】0.7
二、解答题
6. 某鞋店销售 A,B 两款鞋子的价格均为 120 元/双,已知 B 款鞋子的进价比 A 款鞋子的进价贵25 元/双,经核算,销售一双 B 款鞋子亏损进价的 4%,则销售这两款鞋子各一双,该鞋店是赚了还是赔了？赚(或赔)了多少钱？
6. 某鞋店销售 A,B 两款鞋子的价格均为 120 元/双,已知 B 款鞋子的进价比 A 款鞋子的进价贵25 元/双,经核算,销售一双 B 款鞋子亏损进价的 4%,则销售这两款鞋子各一双,该鞋店是赚了还是赔了？赚(或赔)了多少钱？
答案
设 B 款鞋子的进价为 x 元/双,则 A 款鞋子的进价为(x-25)元/双. 由题意,得(1-0.04)x=120,解得 x=125. 因为 120×2-(125+125-25)=15(元),所以该鞋店是赚了,赚了15元
解析
【分析】
要判断鞋店销售两款鞋子各一双的盈亏情况，核心逻辑是对比两款鞋的总售价和总进价：若总售价大于总进价则盈利，反之则亏损，二者的差值就是赚或赔的具体金额。首先题目给出B款鞋售价120元，且亏损进价的4%，说明B款的售价是它自身进价的(1-4%)，我们可以先设B款的进价为未知数，通过售价的等量关系列方程求出B的进价，再根据“A款进价比B款便宜25元”算出A款的进价，最后计算总售价和总进价的差值，就能得到最终结果。
【解析】
解：设B款鞋子的进价为x元/双，则A款鞋子的进价为(x-25)元/双。
由销售一双B款鞋子亏损进价的4%，可得B款售价为进价的(1-4%)，据此列方程：
$(1-0.04)x=120$
解得$x=125$。
两款鞋子各卖一双的总售价为$120×2=240$元，两款鞋子的总进价为$125+(125-25)=225$元。
计算差值：$240-225=15$元，结果大于0，说明整体盈利。
【答案】
该鞋店是赚了，赚了15元
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题
【点评】
本题是初中数学方程应用板块的基础题型，解题关键是明确亏损率的计算基准是商品进价，准确建立售价和进价的等量关系，通过总售价和总进价的差值判断盈亏，计算难度低，是入门级的销售类应用题。
【难度系数】
0.8
要判断鞋店销售两款鞋子各一双的盈亏情况，核心逻辑是对比两款鞋的总售价和总进价：若总售价大于总进价则盈利，反之则亏损，二者的差值就是赚或赔的具体金额。首先题目给出B款鞋售价120元，且亏损进价的4%，说明B款的售价是它自身进价的(1-4%)，我们可以先设B款的进价为未知数，通过售价的等量关系列方程求出B的进价，再根据“A款进价比B款便宜25元”算出A款的进价，最后计算总售价和总进价的差值，就能得到最终结果。
【解析】
解：设B款鞋子的进价为x元/双，则A款鞋子的进价为(x-25)元/双。
由销售一双B款鞋子亏损进价的4%，可得B款售价为进价的(1-4%)，据此列方程：
$(1-0.04)x=120$
解得$x=125$。
两款鞋子各卖一双的总售价为$120×2=240$元，两款鞋子的总进价为$125+(125-25)=225$元。
计算差值：$240-225=15$元，结果大于0，说明整体盈利。
【答案】
该鞋店是赚了，赚了15元
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题
【点评】
本题是初中数学方程应用板块的基础题型，解题关键是明确亏损率的计算基准是商品进价，准确建立售价和进价的等量关系，通过总售价和总进价的差值判断盈亏，计算难度低，是入门级的销售类应用题。
【难度系数】
0.8
7. 甲、乙两车分别从相距 210 千米的 A,B 两地相向而行.
(1) 两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的 2 倍,若甲车比乙车提前 2 小时出发,则甲车出发后 3 小时两车相遇. 甲、乙两车的速度分别是多少?
(2) 如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行,经过多少小时两车相距30 千米?
(1) 两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的 2 倍,若甲车比乙车提前 2 小时出发,则甲车出发后 3 小时两车相遇. 甲、乙两车的速度分别是多少?
(2) 如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行,经过多少小时两车相距30 千米?
答案
(1) 设乙车的速度是 x 千米/时,则甲车的速度是 2x 千米/时. 根据题意,得 3×2x+(3-2)x=210,解得 x=30,所以 2x=2×30=60. 答:甲车的速度是 60 千米/时,乙车的速度是 30 千米/时
(2) 设经过 y 小时两车相距 30 千米. 根据题意,得 60y+30y=210-30 或 60y+30y=210+30,解得 y=2 或 y=8/3. 答:经过 2 小时或8/3小时两车相距 30 千米
(2) 设经过 y 小时两车相距 30 千米. 根据题意,得 60y+30y=210-30 或 60y+30y=210+30,解得 y=2 或 y=8/3. 答:经过 2 小时或8/3小时两车相距 30 千米
解析
【分析】
这道题是典型的行程相遇类一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知甲乙速度的倍数关系，我们可以设较小的乙车速度为未知数x，直接用2x表示甲车速度，简化计算。接下来找路程等量关系：相遇时两车行驶的路程之和等于总路程210千米。题目说明甲车比乙车早出发2小时，甲车出发3小时后相遇，因此甲车的行驶时间是3小时，乙车实际行驶的时间是3-2=1小时，代入路程=速度×时间的公式就能列出方程求解。
2. 第(2)问：两车同时相向出发后相距30千米，存在两种完全不同的场景：第一种是两车还没相遇，此时两车一共走过的总路程是210-30=180千米；第二种是两车相遇之后继续各自向前行驶，错开后相距30千米，此时两车一共走过的总路程是210+30=240千米，分两种情况分别列方程求解，就能得到全部符合条件的解，避免漏解。
【解析】
(1) 设乙车的速度为$ x $千米/时，由题意甲车速度是乙车的2倍，因此甲车速度为$ 2x $千米/时。
甲车出发3小时后相遇，甲车行驶时长为3小时，乙车比甲车晚出发2小时，因此乙车行驶时长为$ 3-2=1 $小时。
根据相遇时两车路程和等于总路程，列方程：
$ 3× 2x + 1× x = 210 $
化简得：$ 7x=210 $，解得$ x=30 $
因此甲车速度$ 2x=2×30=60 $千米/时。
(2) 设经过$ y $小时两车相距30千米，分两种情况讨论：
① 两车尚未相遇，此时两车行驶总路程为$ 210-30=180 $千米，列方程：
$ 60y + 30y = 210 - 30 $
化简得$ 90y=180 $，解得$ y=2 $
② 两车相遇后继续行驶，错开后相距30千米，此时两车行驶总路程为$ 210+30=240 $千米，列方程：
$ 60y + 30y = 210 + 30 $
化简得$ 90y=240 $，解得$ y=\frac{8}{3} $
【答案】
(1) 甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是30千米/时
(2) 经过2小时或$\frac{8}{3}$小时两车相距30千米
【知识点】
一元一次方程应用，相遇行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是初中数学行程问题的基础常考题，第(1)问难度较低，核心考点是准确提取两车的行驶时长，避免搞错乙车的行驶时间；第(2)问的易错点是容易忽略“相遇后相距30千米”的场景，只算出一个解，同学们遇到这类“相距”类的行程题时，要主动分相遇前、相遇后两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题是典型的行程相遇类一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知甲乙速度的倍数关系，我们可以设较小的乙车速度为未知数x，直接用2x表示甲车速度，简化计算。接下来找路程等量关系：相遇时两车行驶的路程之和等于总路程210千米。题目说明甲车比乙车早出发2小时，甲车出发3小时后相遇，因此甲车的行驶时间是3小时，乙车实际行驶的时间是3-2=1小时，代入路程=速度×时间的公式就能列出方程求解。
2. 第(2)问：两车同时相向出发后相距30千米，存在两种完全不同的场景：第一种是两车还没相遇，此时两车一共走过的总路程是210-30=180千米；第二种是两车相遇之后继续各自向前行驶，错开后相距30千米，此时两车一共走过的总路程是210+30=240千米，分两种情况分别列方程求解，就能得到全部符合条件的解，避免漏解。
【解析】
(1) 设乙车的速度为$ x $千米/时，由题意甲车速度是乙车的2倍，因此甲车速度为$ 2x $千米/时。
甲车出发3小时后相遇，甲车行驶时长为3小时，乙车比甲车晚出发2小时，因此乙车行驶时长为$ 3-2=1 $小时。
根据相遇时两车路程和等于总路程，列方程：
$ 3× 2x + 1× x = 210 $
化简得：$ 7x=210 $，解得$ x=30 $
因此甲车速度$ 2x=2×30=60 $千米/时。
(2) 设经过$ y $小时两车相距30千米，分两种情况讨论：
① 两车尚未相遇，此时两车行驶总路程为$ 210-30=180 $千米，列方程：
$ 60y + 30y = 210 - 30 $
化简得$ 90y=180 $，解得$ y=2 $
② 两车相遇后继续行驶，错开后相距30千米，此时两车行驶总路程为$ 210+30=240 $千米，列方程：
$ 60y + 30y = 210 + 30 $
化简得$ 90y=240 $，解得$ y=\frac{8}{3} $
【答案】
(1) 甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是30千米/时
(2) 经过2小时或$\frac{8}{3}$小时两车相距30千米
【知识点】
一元一次方程应用，相遇行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是初中数学行程问题的基础常考题，第(1)问难度较低，核心考点是准确提取两车的行驶时长，避免搞错乙车的行驶时间；第(2)问的易错点是容易忽略“相遇后相距30千米”的场景，只算出一个解，同学们遇到这类“相距”类的行程题时，要主动分相遇前、相遇后两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
