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1. 下列方程组：①$\begin{cases}x - 3y = 5, \\ 2x = y - 1;\end{cases}$ ②$\begin{cases}xy + 1 = 0, \\ x = y;\end{cases}$ ③$\begin{cases}x + y = 6, \\ y + 1 = z + 4;\end{cases}$ ④$\begin{cases}x = 6, \\ 2y + x = 3.\end{cases}$ 其中属于二元一次方程组的有 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给定的方程组是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个判定标准：1. 方程组中一共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程；3. 每个含未知数的项的次数都为1。接下来我们按照这三个标准逐个排查4个方程组，统计符合要求的数量即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组叫做二元一次方程组。
逐个判断：
① 方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
② 第一个方程中含xy项，xy的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
③ 方程组中含x、y、z三个未知数，不符合“只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
④ 方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
综上，符合要求的是①和④，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组定义、单项式的次数、整式方程概念
【点评】
本题核心是对二元一次方程组定义的应用，易错点是容易忽略xy项的次数为2、或者误判方程组的未知数总个数，做题时紧扣定义逐项排查即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要判断给定的方程组是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个判定标准：1. 方程组中一共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程；3. 每个含未知数的项的次数都为1。接下来我们按照这三个标准逐个排查4个方程组，统计符合要求的数量即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组叫做二元一次方程组。
逐个判断：
① 方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
② 第一个方程中含xy项，xy的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
③ 方程组中含x、y、z三个未知数，不符合“只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
④ 方程组含x、y两个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
综上，符合要求的是①和④，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组定义、单项式的次数、整式方程概念
【点评】
本题核心是对二元一次方程组定义的应用，易错点是容易忽略xy项的次数为2、或者误判方程组的未知数总个数，做题时紧扣定义逐项排查即可避免错误。
【难度系数】
0.7
2. 已知方程组$\begin{cases}2a + b = 7, & ① \\ a - b = 2, & ②\end{cases}$ 下列消元过程不正确的是 （ ）
A.用代入法消去$a$，由②，得$a = b + 2$，代入①
B.用代入法消去$b$，由①，得$b = 7 - 2a$，代入②
C.用加减法消去$b$，①$-$②
D.用加减法消去$a$，①$-$②$× 2$
A.用代入法消去$a$，由②，得$a = b + 2$，代入①
B.用代入法消去$b$，由①，得$b = 7 - 2a$，代入②
C.用加减法消去$b$，①$-$②
D.用加减法消去$a$，①$-$②$× 2$
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查二元一次方程组的消元方法，我们需要结合代入消元法、加减消元法的运算规则，逐一验证每个选项的消元操作是否能消去对应未知数，进而选出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：用代入法消去$a$，由方程②移项可得$a = b + 2$，代入方程①后可消去$a$，操作正确，不符合题意。
B选项：用代入法消去$b$，由方程①移项可得$b = 7 - 2a$，代入方程②后可消去$b$，操作正确，不符合题意。
C选项：用加减法消去$b$，方程①中$b$的系数为$1$，方程②中$b$的系数为$-1$，若要消去$b$，应将①+②，此时$b$项抵消；若执行①$-$②，计算得$(2a+b)-(a-b)=7-2$，化简为$a+2b=5$，无法消去$b$，操作错误，符合题意。
D选项：用加减法消去$a$，将方程②$×2$得$2a-2b=4$，再用①减去该式，可得$(2a+b)-(2a-2b)=7-4$，化简为$3b=3$，可消去$a$，操作正确，不符合题意。
综上，消元过程不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.代入消元法 2.加减消元法
【点评】
本题侧重考查消元法的基础操作，需要熟练掌握代入消元的变形规则，以及加减消元时根据未知数系数特征选择相加还是相减，运算时注意符号变化即可。
【难度系数】
0.8
这道题考查二元一次方程组的消元方法，我们需要结合代入消元法、加减消元法的运算规则，逐一验证每个选项的消元操作是否能消去对应未知数，进而选出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：用代入法消去$a$，由方程②移项可得$a = b + 2$，代入方程①后可消去$a$，操作正确，不符合题意。
B选项：用代入法消去$b$，由方程①移项可得$b = 7 - 2a$，代入方程②后可消去$b$，操作正确，不符合题意。
C选项：用加减法消去$b$，方程①中$b$的系数为$1$，方程②中$b$的系数为$-1$，若要消去$b$，应将①+②，此时$b$项抵消；若执行①$-$②，计算得$(2a+b)-(a-b)=7-2$，化简为$a+2b=5$，无法消去$b$，操作错误，符合题意。
D选项：用加减法消去$a$，将方程②$×2$得$2a-2b=4$，再用①减去该式，可得$(2a+b)-(2a-2b)=7-4$，化简为$3b=3$，可消去$a$，操作正确，不符合题意。
综上，消元过程不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.代入消元法 2.加减消元法
【点评】
本题侧重考查消元法的基础操作，需要熟练掌握代入消元的变形规则，以及加减消元时根据未知数系数特征选择相加还是相减，运算时注意符号变化即可。
【难度系数】
0.8
3. 用加减法解方程组$\begin{cases}5x + 2y = 3, &① \\x - 2y = -19, &②\end{cases}$ 下列做法正确的是 （ ）
A.①+②
B.①-②
C.①+②×5
D.①×5-②
A.①+②
B.①-②
C.①+②×5
D.①×5-②
答案
3.A
解析
【分析】
使用加减法解二元一次方程组的核心是消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解。解题时首先观察两个方程中同一未知数的系数特点：本题中方程①的y项系数为2，方程②的y项系数为-2，二者互为相反数，相加后y项即可抵消，因此直接将两个方程相加即可消去y，达到消元的目的，对应操作是①+②。
【解析】
加减消元法的规则是：若方程组中某一未知数的系数互为相反数，将两方程相加可消去该未知数；若系数相等，将两方程相减可消去该未知数。
观察给定方程组：
方程①中y的系数为2，方程②中y的系数为-2，二者互为相反数，因此将①+②可得：
$5x+2y + x - 2y = 3 + (-19)$，化简后y项抵消，得到$6x=-16$，成功消去y，符合加减消元的要求。
验证其余选项：
B选项①-②：y项系数为$2 - (-2)=4$，无法消去y，错误；
C选项①+②×5：y项系数为$2 + (-2)×5=-8$，无法消去y，错误；
D选项①×5-②：y项系数为$2×5 - (-2)=12$，无法消去y，错误。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组解法
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题关键是观察未知数的系数特征，找到系数互为相反数或相等的未知数，选择对应的加减运算消元，是二元一次方程组解法中的基础题型。
【难度系数】
0.9
使用加减法解二元一次方程组的核心是消去一个未知数，将二元方程转化为一元方程求解。解题时首先观察两个方程中同一未知数的系数特点：本题中方程①的y项系数为2，方程②的y项系数为-2，二者互为相反数，相加后y项即可抵消，因此直接将两个方程相加即可消去y，达到消元的目的，对应操作是①+②。
【解析】
加减消元法的规则是：若方程组中某一未知数的系数互为相反数，将两方程相加可消去该未知数；若系数相等，将两方程相减可消去该未知数。
观察给定方程组：
方程①中y的系数为2，方程②中y的系数为-2，二者互为相反数，因此将①+②可得：
$5x+2y + x - 2y = 3 + (-19)$，化简后y项抵消，得到$6x=-16$，成功消去y，符合加减消元的要求。
验证其余选项：
B选项①-②：y项系数为$2 - (-2)=4$，无法消去y，错误；
C选项①+②×5：y项系数为$2 + (-2)×5=-8$，无法消去y，错误；
D选项①×5-②：y项系数为$2×5 - (-2)=12$，无法消去y，错误。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组解法
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题关键是观察未知数的系数特征，找到系数互为相反数或相等的未知数，选择对应的加减运算消元，是二元一次方程组解法中的基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 已知关于$x$，$y$的方程$x^{m-n-1} - 4y^{m+n-3}=2$是二元一次方程，则（
A.$m=3$，$n=1$
B.$m=4$，$n=1$
C.$m=1$，$n=3$
D.$m=1$，$n=4$
A
）A.$m=3$，$n=1$
B.$m=4$，$n=1$
C.$m=1$，$n=3$
D.$m=1$，$n=4$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，二是含有未知数的项的次数都为1。本题方程已经包含x、y两个未知数，且系数不为0，因此只需要让x、y的指数都等于1，列出关于m、n的二元一次方程组，求解即可得到m、n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为1，可得：
$\begin{cases}m - n - 1 = 1 \\m + n - 3 = 1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}m - n = 2 \quad \mathrm{①} \\m + n = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$2m = 6$，解得$m=3$。
将$m=3$代入①得：$3 - n = 2$，解得$n=1$。
因此$m=3$，$n=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题考查对二元一次方程概念的掌握，解题关键是抓住“二元”“一次”的核心特征列方程，计算难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，二是含有未知数的项的次数都为1。本题方程已经包含x、y两个未知数，且系数不为0，因此只需要让x、y的指数都等于1，列出关于m、n的二元一次方程组，求解即可得到m、n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为1，可得：
$\begin{cases}m - n - 1 = 1 \\m + n - 3 = 1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}m - n = 2 \quad \mathrm{①} \\m + n = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$2m = 6$，解得$m=3$。
将$m=3$代入①得：$3 - n = 2$，解得$n=1$。
因此$m=3$，$n=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题考查对二元一次方程概念的掌握，解题关键是抓住“二元”“一次”的核心特征列方程，计算难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机每小时印制150份，B印刷机每小时印制200份. 两台印刷机完成该任务共需6 h. 下面是甲、乙两人列方程组的过程，下列判断正确的是（
A.只有甲列的方程组正确
B.只有乙列的方程组正确
C.甲和乙列的方程组都正确
D.甲和乙列的方程组都不正确
C
）A.只有甲列的方程组正确
B.只有乙列的方程组正确
C.甲和乙列的方程组都正确
D.甲和乙列的方程组都不正确
答案
5.C
解析
【分析】
要判断甲、乙列的方程组是否正确，需结合二者设的未知数，验证对应方程是否符合题中的核心等量关系。题中有两个明确的等量关系：①两台印刷机的总工作时长为6h；②两台印刷机印制的总份数为1000份。我们分别对应甲、乙的设元方式，核对两个等量关系对应的方程是否正确即可。
【解析】
先分析甲的方程组：
甲设A印刷机印制了$x$ h，B印刷机印制了$y$ h。
方程$x+y=6$对应两台印刷机总工作时长为6h，符合等量关系①；
方程$150x+200y=1000$中，$150x$是A印刷机印制的份数，$200y$是B印刷机印制的份数，二者相加等于总份数1000，符合等量关系②，因此甲列的方程组正确。
再分析乙的方程组：
乙设A印刷机印制了$m$份，B印刷机印制了$n$份。
方程$m+n=1000$对应两台印刷机印制的总份数为1000份，符合等量关系②；
方程$\frac{m}{150}+\frac{n}{200}=6$中，$\frac{m}{150}$是A印刷机的工作时间，$\frac{n}{200}$是B印刷机的工作时间，二者相加等于总工作时长6h，符合等量关系①，因此乙列的方程组也正确。
综上甲和乙列的方程组都正确。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题考查工程问题中列二元一次方程组的能力，采用不同的设元方式（设时间或设工作量）时，只要找准对应的总工作量、总时间两类等量关系，就能列出正确的方程组，解题时注意避免设元和等量关系不匹配的错误。
【难度系数】
0.8
要判断甲、乙列的方程组是否正确，需结合二者设的未知数，验证对应方程是否符合题中的核心等量关系。题中有两个明确的等量关系：①两台印刷机的总工作时长为6h；②两台印刷机印制的总份数为1000份。我们分别对应甲、乙的设元方式，核对两个等量关系对应的方程是否正确即可。
【解析】
先分析甲的方程组：
甲设A印刷机印制了$x$ h，B印刷机印制了$y$ h。
方程$x+y=6$对应两台印刷机总工作时长为6h，符合等量关系①；
方程$150x+200y=1000$中，$150x$是A印刷机印制的份数，$200y$是B印刷机印制的份数，二者相加等于总份数1000，符合等量关系②，因此甲列的方程组正确。
再分析乙的方程组：
乙设A印刷机印制了$m$份，B印刷机印制了$n$份。
方程$m+n=1000$对应两台印刷机印制的总份数为1000份，符合等量关系②；
方程$\frac{m}{150}+\frac{n}{200}=6$中，$\frac{m}{150}$是A印刷机的工作时间，$\frac{n}{200}$是B印刷机的工作时间，二者相加等于总工作时长6h，符合等量关系①，因此乙列的方程组也正确。
综上甲和乙列的方程组都正确。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题考查工程问题中列二元一次方程组的能力，采用不同的设元方式（设时间或设工作量）时，只要找准对应的总工作量、总时间两类等量关系，就能列出正确的方程组，解题时注意避免设元和等量关系不匹配的错误。
【难度系数】
0.8
