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一、二次根式
1. 下列各式一定是二次根式的是（
A.$\sqrt{-4}$
B.$\sqrt{x^2 + 3}$
C.$\sqrt[3]{2a}$
D.$\sqrt{x - 1}$
1. 下列各式一定是二次根式的是（
B
）A.$\sqrt{-4}$
B.$\sqrt{x^2 + 3}$
C.$\sqrt[3]{2a}$
D.$\sqrt{x - 1}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：1. 根指数为2（根指数2通常省略书写）；2. 被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时先根据根指数排除不符合的选项，再验证剩余选项的被开方数是否恒大于等于0，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，我们逐个分析选项：
A选项：被开方数为$-4$，$-4＜0$，$\sqrt{-4}$无意义，不属于二次根式；
B选项：由于任何实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$，被开方数恒为正数，且根指数为2，一定是二次根式；
C选项：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于立方根，不符合二次根式根指数为2的要求，不属于二次根式；
D选项：被开方数为$x-1$，当$x＜1$时，$x-1＜0$，此时$\sqrt{x-1}$无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢记二次根式的两个判定条件，尤其要注意当被开方数含有字母时，需判断其是否恒为非负数。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：1. 根指数为2（根指数2通常省略书写）；2. 被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时先根据根指数排除不符合的选项，再验证剩余选项的被开方数是否恒大于等于0，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，我们逐个分析选项：
A选项：被开方数为$-4$，$-4＜0$，$\sqrt{-4}$无意义，不属于二次根式；
B选项：由于任何实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$，被开方数恒为正数，且根指数为2，一定是二次根式；
C选项：$\sqrt[3]{2a}$的根指数是3，属于立方根，不符合二次根式根指数为2的要求，不属于二次根式；
D选项：被开方数为$x-1$，当$x＜1$时，$x-1＜0$，此时$\sqrt{x-1}$无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢记二次根式的两个判定条件，尤其要注意当被开方数含有字母时，需判断其是否恒为非负数。
【难度系数】
0.8
2. 若式子$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$在实数范围内有意义，
则x的取值范围是 （
A.$x≥1$且$x≠2$
B.$x≤1$
C.$x＞1$且$x≠2$
D.$x＜1$
则x的取值范围是 （
A
）A.$x≥1$且$x≠2$
B.$x≤1$
C.$x＞1$且$x≠2$
D.$x＜1$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定含二次根式的分式有意义时x的取值范围，需分别考虑两类代数式的有意义条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终的x取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x-1}$，被开方数非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 对于分式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$，分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。
结合两个条件，x的取值范围是$x≥1$且$x≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考察代数式有意义的限制条件，解题时需注意多个限制条件要同时满足，避免遗漏分母不为0的要求导致错选。
【难度系数】
0.8
要确定含二次根式的分式有意义时x的取值范围，需分别考虑两类代数式的有意义条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终的x取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x-1}$，被开方数非负，即$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 对于分式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$，分母不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。
结合两个条件，x的取值范围是$x≥1$且$x≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考察代数式有意义的限制条件，解题时需注意多个限制条件要同时满足，避免遗漏分母不为0的要求导致错选。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}$
C.$\sqrt{36}=\pm6$
D.$-\sqrt{0.36}=-0.6$
D
）A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}$
C.$\sqrt{36}=\pm6$
D.$-\sqrt{0.36}=-0.6$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基本性质，解题思路为逐个分析选项，结合对应根式的运算规则判断正误。首先明确核心规则：①算术平方根（形如$\sqrt{a}$，$a≥0$）的计算结果为非负数；②立方根的符号与被开方数的符号一致；③不带正负号的根号形式表示求算术平方根，仅取非负结果。按照以上规则逐一核对选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：先计算被开方数$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，不等于-3，故A错误。
B选项：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，不等于$\sqrt[3]{5}$，故B错误。
C选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根仅有非负结果，因此$\sqrt{36}=6$，不是$\pm6$，故C错误。
D选项：先计算$\sqrt{0.36}$，因$0.6^2=0.36$，故$\sqrt{0.36}=0.6$，添上前面的负号可得$-\sqrt{0.36}=-0.6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的区别、忽略立方根的符号规律，只要熟练掌握根式的基本定义和性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基本性质，解题思路为逐个分析选项，结合对应根式的运算规则判断正误。首先明确核心规则：①算术平方根（形如$\sqrt{a}$，$a≥0$）的计算结果为非负数；②立方根的符号与被开方数的符号一致；③不带正负号的根号形式表示求算术平方根，仅取非负结果。按照以上规则逐一核对选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：先计算被开方数$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，不等于-3，故A错误。
B选项：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，不等于$\sqrt[3]{5}$，故B错误。
C选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根仅有非负结果，因此$\sqrt{36}=6$，不是$\pm6$，故C错误。
D选项：先计算$\sqrt{0.36}$，因$0.6^2=0.36$，故$\sqrt{0.36}=0.6$，添上前面的负号可得$-\sqrt{0.36}=-0.6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的区别、忽略立方根的符号规律，只要熟练掌握根式的基本定义和性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
4. 如图1，数轴上点A表示的数为a，化简：$a+\sqrt{a^2 -4a +4} =$
2
。答案
4.2
解析
【分析】
第一步：先观察数轴确定a的取值范围，由数轴上点的位置可知0＜a＜2；第二步：对根号内的多项式进行因式分解，$a^2-4a+4$是完全平方式，可转化为$(a-2)^2$；第三步：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为$a+|a-2|$；第四步：结合a的取值范围判断$a-2$为负数，根据绝对值的性质去掉绝对值符号后合并化简即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得$0 ＜ a ＜ 2$，因此$a-2 ＜ 0$。
先化简二次根式：
$\sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$
因为$a-2 ＜ 0$，所以$|a-2|=2-a$，代入原式得：
$a+\sqrt{a^2 - 4a + 4}=a+(2-a)=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的化简，数轴的应用，绝对值的性质
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴判断字母的取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质化简计算，解题核心是正确判断绝对值内代数式的正负，准确去绝对值符号。
【难度系数】
0.7
第一步：先观察数轴确定a的取值范围，由数轴上点的位置可知0＜a＜2；第二步：对根号内的多项式进行因式分解，$a^2-4a+4$是完全平方式，可转化为$(a-2)^2$；第三步：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为$a+|a-2|$；第四步：结合a的取值范围判断$a-2$为负数，根据绝对值的性质去掉绝对值符号后合并化简即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得$0 ＜ a ＜ 2$，因此$a-2 ＜ 0$。
先化简二次根式：
$\sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$
因为$a-2 ＜ 0$，所以$|a-2|=2-a$，代入原式得：
$a+\sqrt{a^2 - 4a + 4}=a+(2-a)=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的化简，数轴的应用，绝对值的性质
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴判断字母的取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质化简计算，解题核心是正确判断绝对值内代数式的正负，准确去绝对值符号。
【难度系数】
0.7
5. 若式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，则点$P(a,b)$在第
三
象限.答案
5.三
解析
【分析】
要判断点P(a,b)所在的象限，首先需要确定a、b的正负性。已知式子包含二次根式和分式，需先根据二次根式、分式有意义的条件列出关于a、b的不等式，求解得到a、b的符号，再结合各象限内点的坐标符号特征判断象限即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{-a}$的被开方数非负，即：
$-a ≥ 0$，解得$a ≤ 0$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{ab}}$的分母不为0，且分母中的二次根式被开方数非负，即：
$ab ＞ 0$（若$ab=0$则分母为0，无意义，因此只能取$ab＞0$）。
由$ab＞0$可知a、b同号，且a、b均不为0，结合$a ≤ 0$可得$a ＜ 0$，因此$b ＜ 0$。
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为负数的点在第三象限，故点P(a,b)在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将代数式有意义的条件与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的核心是先根据相关限制条件推导出a、b的正负性，是二次根式部分的常见考法。
【难度系数】
0.8
要判断点P(a,b)所在的象限，首先需要确定a、b的正负性。已知式子包含二次根式和分式，需先根据二次根式、分式有意义的条件列出关于a、b的不等式，求解得到a、b的符号，再结合各象限内点的坐标符号特征判断象限即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{-a}$的被开方数非负，即：
$-a ≥ 0$，解得$a ≤ 0$；
2. 分式$\frac{1}{\sqrt{ab}}$的分母不为0，且分母中的二次根式被开方数非负，即：
$ab ＞ 0$（若$ab=0$则分母为0，无意义，因此只能取$ab＞0$）。
由$ab＞0$可知a、b同号，且a、b均不为0，结合$a ≤ 0$可得$a ＜ 0$，因此$b ＜ 0$。
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为负数的点在第三象限，故点P(a,b)在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将代数式有意义的条件与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的核心是先根据相关限制条件推导出a、b的正负性，是二次根式部分的常见考法。
【难度系数】
0.8
6. 代数式 $3 - \sqrt{4 - x^2}$ 的最大值是
3
.答案
6.3
解析
【分析】
要计算代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最大值，可结合减法运算的规律分析：被减数固定为3时，减数越小，得到的差越大。因此我们只需要先根据二次根式的性质确定减数$\sqrt{4 - x^2}$的取值范围，找到它的最小值，代入原式就能求出整个代数式的最大值。
【解析】
根据二次根式的性质，二次根式的计算结果是非负数，因此可得：
$\sqrt{4 - x^2} ≥ 0$
对不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-\sqrt{4 - x^2} ≤ 0$
对不等式两边同时加3，得：
$3 - \sqrt{4 - x^2} ≤ 3$
当$\sqrt{4 - x^2}=0$（即$4-x^2=0$，$x=\pm2$）时，等号成立，此时代数式取得最大值。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题重点考查二次根式性质的应用，解题核心是将求代数式最大值的问题，结合减法运算特点转化为求二次根式的最小值问题，解题思路清晰，掌握二次根式的非负性即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要计算代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最大值，可结合减法运算的规律分析：被减数固定为3时，减数越小，得到的差越大。因此我们只需要先根据二次根式的性质确定减数$\sqrt{4 - x^2}$的取值范围，找到它的最小值，代入原式就能求出整个代数式的最大值。
【解析】
根据二次根式的性质，二次根式的计算结果是非负数，因此可得：
$\sqrt{4 - x^2} ≥ 0$
对不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-\sqrt{4 - x^2} ≤ 0$
对不等式两边同时加3，得：
$3 - \sqrt{4 - x^2} ≤ 3$
当$\sqrt{4 - x^2}=0$（即$4-x^2=0$，$x=\pm2$）时，等号成立，此时代数式取得最大值。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题重点考查二次根式性质的应用，解题核心是将求代数式最大值的问题，结合减法运算特点转化为求二次根式的最小值问题，解题思路清晰，掌握二次根式的非负性即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.若$x,y$为实数，且$y＞\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+2$，化简$\frac{1}{x-y}\sqrt{(y-x)^2}+\sqrt{2x}$
答案
7. 由$\begin{cases} x-2≥0, \\ 2-x≥0 \end{cases}$得x=2.
∴ y＞2.
∴ 原式=$\frac{1}{2-y}\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{2×2}=\frac{y-2}{2-y}+2=-1+2=1.$
∴ y＞2.
∴ 原式=$\frac{1}{2-y}\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{2×2}=\frac{y-2}{2-y}+2=-1+2=1.$
解析
【分析】
要化简这个代数式，首先需要确定x的取值：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此先根据$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$同时有意义的条件列不等式组，求出x的值；再结合已知y的取值范围，判断$y-x$的正负性，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，最后代入计算即可。
【解析】
第一步，求x的取值：
要使$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足不等式组：
$\begin{cases} x-2≥0 \\ 2-x≥0 \end{cases}$
解这个不等式组，得$x=2$。
第二步，确定y的范围：
把$x=2$代入已知条件$y＞\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+2$，得$y＞0+0+2$，即$y＞2$，因此$y-x=y-2＞0$。
第三步，代入化简原式：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(y-x)^2}=|y-x|=y-x$，代入$x=2$得：
原式=$\frac{1}{2-y}×(y-2) + \sqrt{2×2}$
=$\frac{y-2}{2-y} + 2$
=$-1 + 2$
=$1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；代数式化简
【点评】
本题是二次根式部分的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式有意义的条件求出x的固定值，再结合y的范围正确处理根号去绝对值的符号问题，需要熟练掌握二次根式的相关性质，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
要化简这个代数式，首先需要确定x的取值：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此先根据$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$同时有意义的条件列不等式组，求出x的值；再结合已知y的取值范围，判断$y-x$的正负性，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，最后代入计算即可。
【解析】
第一步，求x的取值：
要使$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足不等式组：
$\begin{cases} x-2≥0 \\ 2-x≥0 \end{cases}$
解这个不等式组，得$x=2$。
第二步，确定y的范围：
把$x=2$代入已知条件$y＞\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+2$，得$y＞0+0+2$，即$y＞2$，因此$y-x=y-2＞0$。
第三步，代入化简原式：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(y-x)^2}=|y-x|=y-x$，代入$x=2$得：
原式=$\frac{1}{2-y}×(y-2) + \sqrt{2×2}$
=$\frac{y-2}{2-y} + 2$
=$-1 + 2$
=$1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；代数式化简
【点评】
本题是二次根式部分的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式有意义的条件求出x的固定值，再结合y的范围正确处理根号去绝对值的符号问题，需要熟练掌握二次根式的相关性质，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
