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8.如果$\sqrt{(a-5)^2} + |b-2| = 0$,求以$a,b$为边长的等腰三角形的周长.
答案
8. 由原式,得a=5,b=2. 以a,b为边构成的等腰三角形边长为5,5,2,故其周长为12.
解析
【分析】
首先，算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须等于0，由此可先求出a、b的取值；其次，等腰三角形两条腰长度相等，因此需要分a为腰长、b为腰长两种情况讨论边长组合；最后，必须用三角形三边关系验证每种边长组合能否构成三角形，符合条件的组合再计算周长即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|$，且$|a-5|≥0$，$|b-2|≥0$，
又
∵$\sqrt{(a-5)^2} + |b-2| = 0$，
∴$|a-5|=0$，$|b-2|=0$，
解得$a=5$，$b=2$。
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为2，底边长为5，则三边长为2、2、5，
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为5，底边长为2，则三边长为5、5、2，
∵$2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于综合基础题，解题时需要先根据非负数的性质确定边长的取值，再结合等腰三角形的特征分类讨论，易错点是容易忽略验证三角形三边关系，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先，算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须等于0，由此可先求出a、b的取值；其次，等腰三角形两条腰长度相等，因此需要分a为腰长、b为腰长两种情况讨论边长组合；最后，必须用三角形三边关系验证每种边长组合能否构成三角形，符合条件的组合再计算周长即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|$，且$|a-5|≥0$，$|b-2|≥0$，
又
∵$\sqrt{(a-5)^2} + |b-2| = 0$，
∴$|a-5|=0$，$|b-2|=0$，
解得$a=5$，$b=2$。
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为2，底边长为5，则三边长为2、2、5，
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为5，底边长为2，则三边长为5、5、2，
∵$2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5+5+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于综合基础题，解题时需要先根据非负数的性质确定边长的取值，再结合等腰三角形的特征分类讨论，易错点是容易忽略验证三角形三边关系，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{12}$
B
）A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{12}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数，即被开方数不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个化简各选项的二次根式，判断是否同时满足上述两个条件，无法再化简的即为最简二次根式。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{13}$的被开方数13是正整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，是最简二次根式；
C. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，主要考察对最简二次根式判定规则的掌握，熟练掌握二次根式的化简方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数，即被开方数不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个化简各选项的二次根式，判断是否同时满足上述两个条件，无法再化简的即为最简二次根式。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{13}$的被开方数13是正整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，是最简二次根式；
C. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，主要考察对最简二次根式判定规则的掌握，熟练掌握二次根式的化简方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 如果$\sqrt{x(x-6)} = \sqrt{x} · \sqrt{x-6}$，那么
（
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 6$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
（
B
）A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 6$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次根式乘法法则的适用条件，解题时首先要回忆：二次根式的乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是两个二次根式都有意义，也就是各自的被开方数必须是非负数。因此我们只需要分别列出两个根号下的代数式满足非负的不等式，求解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式乘法的运算性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$。
结合题目给出的等式$\sqrt{x(x-6)}=\sqrt{x}·\sqrt{x-6}$，可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-6≥0\end{cases}$
解第二个不等式得$x≥6$，两个不等式的公共解集为$x≥6$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件；2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，易错点是容易忽略$\sqrt{x-6}$的被开方数也需要非负，错误选择A选项，解题时要牢记二次根式的被开方数必须为非负数的限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式乘法法则的适用条件，解题时首先要回忆：二次根式的乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是两个二次根式都有意义，也就是各自的被开方数必须是非负数。因此我们只需要分别列出两个根号下的代数式满足非负的不等式，求解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式乘法的运算性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$。
结合题目给出的等式$\sqrt{x(x-6)}=\sqrt{x}·\sqrt{x-6}$，可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-6≥0\end{cases}$
解第二个不等式得$x≥6$，两个不等式的公共解集为$x≥6$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件；2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，易错点是容易忽略$\sqrt{x-6}$的被开方数也需要非负，错误选择A选项，解题时要牢记二次根式的被开方数必须为非负数的限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 等式$\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\frac{x-3}{x+1}}$成立的x的取值范围在数轴上可表示为图2中的（
B
）答案
3.B
解析
【分析】
要确定等式成立的x的取值范围，需结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的要求分析：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次作为分母的二次根式，其被开方数不能为0，据此列出不等式组求解，再将解集对应到数轴表示即可选出正确选项。
【解析】
根据二次根式的除法法则，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$成立的条件是$a≥0$且$b＞0$，因此本题中需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\x+1＞0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
$x≥3$在数轴上的表示为：在点3处画实心圆点，向右画射线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，数轴表示解集
【点评】
本题考查二次根式成立的条件与解集的数轴表示，解题时要注意作为分母的二次根式，其被开方数需大于0，避免因忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】
0.8
要确定等式成立的x的取值范围，需结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的要求分析：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次作为分母的二次根式，其被开方数不能为0，据此列出不等式组求解，再将解集对应到数轴表示即可选出正确选项。
【解析】
根据二次根式的除法法则，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$成立的条件是$a≥0$且$b＞0$，因此本题中需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\x+1＞0\end{cases}$
解不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
$x≥3$在数轴上的表示为：在点3处画实心圆点，向右画射线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，数轴表示解集
【点评】
本题考查二次根式成立的条件与解集的数轴表示，解题时要注意作为分母的二次根式，其被开方数需大于0，避免因忽略分母不为0的限制导致错误。
【难度系数】
0.8
4. 计算:
(1) $\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} =$
(2) $\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{1\frac{2}{5}} =$
(1) $\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} =$
2
;(2) $\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{1\frac{2}{5}} =$
$\frac{2}{7}\sqrt{5}$
.答案
4.(1)2 (2)$\frac{2}{7}\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路如下：
1. 二次根式乘除可直接运用运算法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，先对被开方数进行乘除运算，再开方化简即可；
2. 若算式中存在带分数，需先将带分数转化为假分数再代入运算；
3. 最终运算结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \sqrt{\frac{1}{2} × 8} = \sqrt{4} = 2$
(2) 第一步：先将所有带分数化为假分数：
$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$
第二步：根据二次根式除法法则统一计算被开方数：
$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{1\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{4}{3} ÷ \frac{7}{3} ÷ \frac{7}{5}}$
第三步：计算被开方数的除法：
$\frac{4}{3} ÷ \frac{7}{3} ÷ \frac{7}{5} = \frac{4}{3} × \frac{3}{7} × \frac{5}{7} = \frac{20}{49}$
第四步：开方化简为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{49}} = \frac{2\sqrt{5}}{7} = \frac{2}{7}\sqrt{5}$
【答案】
(1)$2$；(2)$\frac{2}{7}\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算，带分数化假分数，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，核心是熟练掌握二次根式乘除的运算法则，运算前要注意把带分数转化为假分数，最终结果必须化为最简二次根式，运算时需留意被开方数约分的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路如下：
1. 二次根式乘除可直接运用运算法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，先对被开方数进行乘除运算，再开方化简即可；
2. 若算式中存在带分数，需先将带分数转化为假分数再代入运算；
3. 最终运算结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \sqrt{\frac{1}{2} × 8} = \sqrt{4} = 2$
(2) 第一步：先将所有带分数化为假分数：
$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$
第二步：根据二次根式除法法则统一计算被开方数：
$\sqrt{1\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{3}} ÷ \sqrt{1\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{4}{3} ÷ \frac{7}{3} ÷ \frac{7}{5}}$
第三步：计算被开方数的除法：
$\frac{4}{3} ÷ \frac{7}{3} ÷ \frac{7}{5} = \frac{4}{3} × \frac{3}{7} × \frac{5}{7} = \frac{20}{49}$
第四步：开方化简为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{49}} = \frac{2\sqrt{5}}{7} = \frac{2}{7}\sqrt{5}$
【答案】
(1)$2$；(2)$\frac{2}{7}\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘除运算，带分数化假分数，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，核心是熟练掌握二次根式乘除的运算法则，运算前要注意把带分数转化为假分数，最终结果必须化为最简二次根式，运算时需留意被开方数约分的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
5. 已知$x=\dfrac{3}{\sqrt{3}}$，则$x^2 - \sqrt{12}x +1$的值为
-2
。答案
5.-2
解析
【分析】
解题时先对已知的x进行化简，将分母带根号的形式化为最简二次根式，同时化简代数式中含有的√12，再将化简后的x代入代数式，分别计算每一项的值后合并即可得到结果，直接代入化简后的x计算更直观，符合现阶段的知识要求。
【解析】
第一步：化简x的值
$x=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
第二步：化简$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
第三步：将$x=\sqrt{3}$代入代数式$x^2 - \sqrt{12}x +1$计算
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}×\sqrt{3} +1\\&=3 - 2×3 +1\\&=3-6+1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
-2
【知识点】
二次根式化简；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题关键是先将非最简形式的二次根式化简后再代入计算，可降低计算出错的概率，考察了二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先对已知的x进行化简，将分母带根号的形式化为最简二次根式，同时化简代数式中含有的√12，再将化简后的x代入代数式，分别计算每一项的值后合并即可得到结果，直接代入化简后的x计算更直观，符合现阶段的知识要求。
【解析】
第一步：化简x的值
$x=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
第二步：化简$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
第三步：将$x=\sqrt{3}$代入代数式$x^2 - \sqrt{12}x +1$计算
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}×\sqrt{3} +1\\&=3 - 2×3 +1\\&=3-6+1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
-2
【知识点】
二次根式化简；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题关键是先将非最简形式的二次根式化简后再代入计算，可降低计算出错的概率，考察了二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ a - \frac{1}{a} = 1 + \sqrt{10} $，求 $ (a + \frac{1}{a})^2 $ 的值。
答案
6. $(a+\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2=(a-\frac{1}{a})^2+4=(1+\sqrt{10})^2+4=15+2\sqrt{10}.$
解析
【分析】
首先观察已知条件和待求式的结构特征，二者均与a和$\frac{1}{a}$的完全平方相关。我们可以利用完全平方公式的变形，建立待求式$(a+\frac{1}{a})^2$和已知式$a-\frac{1}{a}$的联系，不需要单独求出a的值，采用整体代入的方法计算即可。具体思考步骤：第一步先回忆完全平方公式，分别写出$(a+\frac{1}{a})^2$和$(a-\frac{1}{a})^2$的展开式；第二步对比两个展开式，找到二者的数量关系，将待求式转化为含$(a-\frac{1}{a})^2$的形式；第三步代入已知数值，按照二次根式的运算规则计算结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$①
再对已知的$a-\frac{1}{a}$两边同时平方：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
变形可得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a-\frac{1}{a})^2+2$②
将②代入①得：
$(a+\frac{1}{a})^2=(a-\frac{1}{a})^2+2+2=(a-\frac{1}{a})^2+4$
将$a-\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(1+\sqrt{10})^2 +4\\&=1^2 + 2×1×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 +4\\&=1 + 2\sqrt{10} +10 +4\\&=15+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$15+2\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算
【点评】
本题考查代数式的整体求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，无需计算a的具体值，通过整体代入即可简化运算，考查了对公式的灵活应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和待求式的结构特征，二者均与a和$\frac{1}{a}$的完全平方相关。我们可以利用完全平方公式的变形，建立待求式$(a+\frac{1}{a})^2$和已知式$a-\frac{1}{a}$的联系，不需要单独求出a的值，采用整体代入的方法计算即可。具体思考步骤：第一步先回忆完全平方公式，分别写出$(a+\frac{1}{a})^2$和$(a-\frac{1}{a})^2$的展开式；第二步对比两个展开式，找到二者的数量关系，将待求式转化为含$(a-\frac{1}{a})^2$的形式；第三步代入已知数值，按照二次根式的运算规则计算结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$①
再对已知的$a-\frac{1}{a}$两边同时平方：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
变形可得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a-\frac{1}{a})^2+2$②
将②代入①得：
$(a+\frac{1}{a})^2=(a-\frac{1}{a})^2+2+2=(a-\frac{1}{a})^2+4$
将$a-\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(1+\sqrt{10})^2 +4\\&=1^2 + 2×1×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 +4\\&=1 + 2\sqrt{10} +10 +4\\&=15+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$15+2\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式的运算
【点评】
本题考查代数式的整体求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，无需计算a的具体值，通过整体代入即可简化运算，考查了对公式的灵活应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
