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一、选择题(每小题6分,共24分)
1. (2025·广东)某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛,7位评委给出的分数为95,92,96,94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是（
A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
1. (2025·广东)某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛,7位评委给出的分数为95,92,96,94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是（
B
）A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
答案
1. B
解析
【分析】
这道题要求求解一组数据的中位数和众数，我们可以按照定义分步思考：第一步先明确中位数的计算规则，求中位数必须先将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，总共有7个数据，属于奇数个，排序后位于正中间的第4个数据就是中位数；第二步统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数就是众数，最后将得到的结果和选项比对即可选出正确答案。
【解析】
第一步：将给定的7个评委分数从小到大重新排序，得到：88，92，94，95，95，95，96。
第二步：计算中位数：数据总个数为7，是奇数，排序后第$\frac{7+1}{2}=4$位的数就是中位数，对应排序后的第4个数为95。
第三步：统计各数据出现的频次：88出现1次，92出现1次，94出现1次，95出现3次，96出现1次，其中出现次数最多的数是95，即众数为95。
因此这组数据的中位数、众数分别是95、95，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数计算，众数判断
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心易错点是部分同学忘记先对数据排序直接选取原始数据的中间值，容易误选C选项，解题时只要牢记“求中位数必先排序”的规则，准确统计数据出现次数，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
这道题要求求解一组数据的中位数和众数，我们可以按照定义分步思考：第一步先明确中位数的计算规则，求中位数必须先将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，总共有7个数据，属于奇数个，排序后位于正中间的第4个数据就是中位数；第二步统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数就是众数，最后将得到的结果和选项比对即可选出正确答案。
【解析】
第一步：将给定的7个评委分数从小到大重新排序，得到：88，92，94，95，95，95，96。
第二步：计算中位数：数据总个数为7，是奇数，排序后第$\frac{7+1}{2}=4$位的数就是中位数，对应排序后的第4个数为95。
第三步：统计各数据出现的频次：88出现1次，92出现1次，94出现1次，95出现3次，96出现1次，其中出现次数最多的数是95，即众数为95。
因此这组数据的中位数、众数分别是95、95，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数计算，众数判断
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心易错点是部分同学忘记先对数据排序直接选取原始数据的中间值，容易误选C选项，解题时只要牢记“求中位数必先排序”的规则，准确统计数据出现次数，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2.(2025·吴江区月考)甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试,他们的测试平均成绩相同,方差分别是$s_{甲}^{2}=2.5,s_{乙}^{2}=1.3,s_{丙}^{2}=1.8,s_{丁}^{2}=0.8$,则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. D
解析
【分析】
这道题的核心考点是方差的统计意义，解题时首先抓住题干给出的关键前提：四名运动员的平均成绩相同，此时判断成绩稳定性只需要对比方差大小即可。首先回忆方差的性质：方差是用来描述数据波动程度的统计量，方差越小，代表数据的波动越小，对应成绩就越稳定。接下来只需要把四个运动员的方差数值从小到大排序，找到方差最小的对应的运动员，就是成绩最稳定的人。
【解析】
解：根据方差的统计意义可知：在平均成绩相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩的稳定性就越好。
将四名运动员的方差进行大小比较：
$s_{丁}^{2}=0.8 ＜ s_{乙}^{2}=1.3 ＜ s_{丙}^{2}=1.8 ＜ s_{甲}^{2}=2.5$
可以看到丁的方差是四个数值中最小的，因此丁的成绩最稳定。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计部分的基础常规题，直接考查方差的核心性质，难度较低，只要牢记“方差越小，数据越稳定”的结论即可快速解题，需要注意不要混淆方差大小和稳定性的对应关系，避免出现“方差大更稳定”的低级错误。
【难度系数】
0.9
这道题的核心考点是方差的统计意义，解题时首先抓住题干给出的关键前提：四名运动员的平均成绩相同，此时判断成绩稳定性只需要对比方差大小即可。首先回忆方差的性质：方差是用来描述数据波动程度的统计量，方差越小，代表数据的波动越小，对应成绩就越稳定。接下来只需要把四个运动员的方差数值从小到大排序，找到方差最小的对应的运动员，就是成绩最稳定的人。
【解析】
解：根据方差的统计意义可知：在平均成绩相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩的稳定性就越好。
将四名运动员的方差进行大小比较：
$s_{丁}^{2}=0.8 ＜ s_{乙}^{2}=1.3 ＜ s_{丙}^{2}=1.8 ＜ s_{甲}^{2}=2.5$
可以看到丁的方差是四个数值中最小的，因此丁的成绩最稳定。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计部分的基础常规题，直接考查方差的核心性质，难度较低，只要牢记“方差越小，数据越稳定”的结论即可快速解题，需要注意不要混淆方差大小和稳定性的对应关系，避免出现“方差大更稳定”的低级错误。
【难度系数】
0.9
3. 已知一组数据：3，5，2，4，2，3，2，6，则这组数据的第一四分位数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
3. D
解析
【分析】
要计算这组数据的第一四分位数，首先要明确第一四分位数（下四分位数，即25%分位数）的计算步骤：第一步先将原始数据按照从小到大的顺序重新排列，第二步统计数据的总个数n，第三步代入公式计算第一四分位数的位置i = n×25%，最后根据i的取值规则找到对应的数据即可，按规则逐步操作就能得到正确结果。
【解析】
步骤1：将原始数据从小到大升序排列
原数据为3，5，2，4，2，3，2，6，排序后得到：2，2，2，3，3，4，5，6
步骤2：统计数据总个数
这组数据的总个数n=8
步骤3：计算第一四分位数的位置
第一四分位数对应25%分位数，位置i = n×25% = 8×0.25 = 2
步骤4：确定第一四分位数的值
当位置i为整数时，25%分位数为排序后第i项和第i+1项数据的算术平均值，这里第2项数据是2，第3项数据是2，平均值为$\frac{2+2}{2}=2$，因此这组数据的第一四分位数是2。
【答案】
D
【知识点】
数据排序，四分位数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考察第一四分位数的计算规则，易错点是跳过排序步骤直接用原始数据计算，或者记错分位数位置的判定规则，只要牢记分位数计算的标准流程，先排序再定位取值，就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要计算这组数据的第一四分位数，首先要明确第一四分位数（下四分位数，即25%分位数）的计算步骤：第一步先将原始数据按照从小到大的顺序重新排列，第二步统计数据的总个数n，第三步代入公式计算第一四分位数的位置i = n×25%，最后根据i的取值规则找到对应的数据即可，按规则逐步操作就能得到正确结果。
【解析】
步骤1：将原始数据从小到大升序排列
原数据为3，5，2，4，2，3，2，6，排序后得到：2，2，2，3，3，4，5，6
步骤2：统计数据总个数
这组数据的总个数n=8
步骤3：计算第一四分位数的位置
第一四分位数对应25%分位数，位置i = n×25% = 8×0.25 = 2
步骤4：确定第一四分位数的值
当位置i为整数时，25%分位数为排序后第i项和第i+1项数据的算术平均值，这里第2项数据是2，第3项数据是2，平均值为$\frac{2+2}{2}=2$，因此这组数据的第一四分位数是2。
【答案】
D
【知识点】
数据排序，四分位数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考察第一四分位数的计算规则，易错点是跳过排序步骤直接用原始数据计算，或者记错分位数位置的判定规则，只要牢记分位数计算的标准流程，先排序再定位取值，就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 将数据 5,7,9,13,11 按从小到大排序后,将数据分成两组,使得组内离差平方和最小,则数据的分组情况共有（
A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种
A
）A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种
答案
4. A
解析
【分析】
首先第一步先将给定的原始数据从小到大排序，得到有序序列。由于要让两组的组内离差平方和总和最小，对于已经排序的序列，最优分组必然是在相邻元素之间切分，不可能出现跨元素的乱序分组，否则组内的离散程度会更大。接下来枚举所有合法的切分位置（5个元素分成非空的两组，共有4种切分位置），分别计算每一种切分对应的总组内离差平方和，找出最小值对应的分组数量即可得到结果。
【解析】
步骤1：将原始数据5,7,9,13,11从小到大排序，得到有序序列：5,7,9,11,13。
步骤2：5个数据分成非空的两组，所有可能的连续切分位置共4个，分别计算每种切分的总组内离差平方和：
① 切分在第1个元素后：分组为{5}、{7,9,11,13}
单元素组离差平方和为0，第二组均值为$\frac{7+9+11+13}{4}=10$，第二组离差平方和为$(7-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2=20$，总离差平方和$S=0+20=20$。
② 切分在第2个元素后：分组为{5,7}、{9,11,13}
第一组均值为$\frac{5+7}{2}=6$，第一组离差平方和为$(5-6)^2+(7-6)^2=2$；第二组均值为$\frac{9+11+13}{3}=11$，第二组离差平方和为$(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=8$，总离差平方和$S=2+8=10$。
③ 切分在第3个元素后：分组为{5,7,9}、{11,13}
第一组均值为$\frac{5+7+9}{3}=7$，第一组离差平方和为$(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2=8$；第二组均值为$\frac{11+13}{2}=12$，第二组离差平方和为$(11-12)^2+(13-12)^2=2$，总离差平方和$S=8+2=10$。
④ 切分在第4个元素后：分组为{5,7,9,11}、{13}
单元素组离差平方和为0，第一组均值为$\frac{5+7+9+11}{4}=8$，第一组离差平方和为$(5-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(11-8)^2=20$，总离差平方和$S=20+0=20$。
步骤3：对比所有总离差平方和，最小值为10，对应的分组共2种。
【答案】A
【知识点】离差平方和计算，有序数据分组
【点评】本题核心是明确排序后最优分组必然是连续切分，无需考虑乱序分组，避免不必要的计算，通过枚举所有合法切分计算对比即可得到结果，易错点是错误计算离差平方和，或者误以为存在更多符合要求的分组。
【难度系数】0.6
首先第一步先将给定的原始数据从小到大排序，得到有序序列。由于要让两组的组内离差平方和总和最小，对于已经排序的序列，最优分组必然是在相邻元素之间切分，不可能出现跨元素的乱序分组，否则组内的离散程度会更大。接下来枚举所有合法的切分位置（5个元素分成非空的两组，共有4种切分位置），分别计算每一种切分对应的总组内离差平方和，找出最小值对应的分组数量即可得到结果。
【解析】
步骤1：将原始数据5,7,9,13,11从小到大排序，得到有序序列：5,7,9,11,13。
步骤2：5个数据分成非空的两组，所有可能的连续切分位置共4个，分别计算每种切分的总组内离差平方和：
① 切分在第1个元素后：分组为{5}、{7,9,11,13}
单元素组离差平方和为0，第二组均值为$\frac{7+9+11+13}{4}=10$，第二组离差平方和为$(7-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2=20$，总离差平方和$S=0+20=20$。
② 切分在第2个元素后：分组为{5,7}、{9,11,13}
第一组均值为$\frac{5+7}{2}=6$，第一组离差平方和为$(5-6)^2+(7-6)^2=2$；第二组均值为$\frac{9+11+13}{3}=11$，第二组离差平方和为$(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=8$，总离差平方和$S=2+8=10$。
③ 切分在第3个元素后：分组为{5,7,9}、{11,13}
第一组均值为$\frac{5+7+9}{3}=7$，第一组离差平方和为$(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2=8$；第二组均值为$\frac{11+13}{2}=12$，第二组离差平方和为$(11-12)^2+(13-12)^2=2$，总离差平方和$S=8+2=10$。
④ 切分在第4个元素后：分组为{5,7,9,11}、{13}
单元素组离差平方和为0，第一组均值为$\frac{5+7+9+11}{4}=8$，第一组离差平方和为$(5-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(11-8)^2=20$，总离差平方和$S=20+0=20$。
步骤3：对比所有总离差平方和，最小值为10，对应的分组共2种。
【答案】A
【知识点】离差平方和计算，有序数据分组
【点评】本题核心是明确排序后最优分组必然是连续切分，无需考虑乱序分组，避免不必要的计算，通过枚举所有合法切分计算对比即可得到结果，易错点是错误计算离差平方和，或者误以为存在更多符合要求的分组。
【难度系数】0.6
二、填空题(每小题6分，共36分)
5.(2025·南京)已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是
5.(2025·南京)已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是
10
.答案
5. 10
解析
【分析】
这道题要求计算给定数据的算术平均数，我们首先回忆算术平均数的计算规则：一组数据的平均数等于这组所有数据的数值之和，除以这组数据的总个数。解题时第一步先统计这组数据的总数量，第二步把所有数据相加求出总和，第三步用总和除以数据的总个数，就能得到最终的平均数结果。
【解析】
首先统计数据个数：这组数据为8，10，12，9，11，总共有5个数据。
1. 计算所有数据的总和：
$8 + 10 + 12 + 9 + 11 = 50$
2. 根据算术平均数公式计算平均数：
$\mathrm{平均数} = \frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}} = \frac{50}{5} = 10$
【答案】
10
【知识点】
算术平均数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，直接考察算术平均数的基本定义与计算方法，没有设置额外的干扰条件和变形考点，只要牢记平均数的计算规则就可以快速得到正确结果，主要用于巩固学生对平均数基础概念的掌握。
【难度系数】
0.9
这道题要求计算给定数据的算术平均数，我们首先回忆算术平均数的计算规则：一组数据的平均数等于这组所有数据的数值之和，除以这组数据的总个数。解题时第一步先统计这组数据的总数量，第二步把所有数据相加求出总和，第三步用总和除以数据的总个数，就能得到最终的平均数结果。
【解析】
首先统计数据个数：这组数据为8，10，12，9，11，总共有5个数据。
1. 计算所有数据的总和：
$8 + 10 + 12 + 9 + 11 = 50$
2. 根据算术平均数公式计算平均数：
$\mathrm{平均数} = \frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}} = \frac{50}{5} = 10$
【答案】
10
【知识点】
算术平均数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，直接考察算术平均数的基本定义与计算方法，没有设置额外的干扰条件和变形考点，只要牢记平均数的计算规则就可以快速得到正确结果，主要用于巩固学生对平均数基础概念的掌握。
【难度系数】
0.9
6.(2025·徐州)小明家1～5月的电费(单位:元)分别为:137,140,140,117,104,这组数据的中位数是
137
.答案
6. 137
解析
【分析】
要计算一组数据的中位数，首先要明确中位数的求解规则：首先将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，若数据总个数为奇数，取排序后位于正中间的数作为中位数；若总个数为偶数，取排序后中间两个数的平均数作为中位数。本题中数据总共有5个，是奇数，我们只需要先把给出的5个电费数据从小到大排序，找到排序后第3位的数，就是这组数据的中位数。
【解析】
第一步：将题目给出的5个电费数据从小到大重新排序，得到：104，117，137，140，140。
第二步：统计数据总个数为5，属于奇数，排序后位于正中间的是第3个数据，数值为137，因此这组数据的中位数是137。
【答案】
137
【知识点】
中位数计算，数据排序
【点评】
本题属于统计模块的基础题，核心易错点是不少同学会跳过排序步骤，直接选取原始数据顺序里的中间数得到错误结果140，解题时一定要牢记求中位数的第一步必须先对全组数据做有序排列，再按规则选取对应数值。
【难度系数】
0.9
要计算一组数据的中位数，首先要明确中位数的求解规则：首先将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，若数据总个数为奇数，取排序后位于正中间的数作为中位数；若总个数为偶数，取排序后中间两个数的平均数作为中位数。本题中数据总共有5个，是奇数，我们只需要先把给出的5个电费数据从小到大排序，找到排序后第3位的数，就是这组数据的中位数。
【解析】
第一步：将题目给出的5个电费数据从小到大重新排序，得到：104，117，137，140，140。
第二步：统计数据总个数为5，属于奇数，排序后位于正中间的是第3个数据，数值为137，因此这组数据的中位数是137。
【答案】
137
【知识点】
中位数计算，数据排序
【点评】
本题属于统计模块的基础题，核心易错点是不少同学会跳过排序步骤，直接选取原始数据顺序里的中间数得到错误结果140，解题时一定要牢记求中位数的第一步必须先对全组数据做有序排列，再按规则选取对应数值。
【难度系数】
0.9
7. 为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如图所示的箱线图，则这组数的第三四分位数为
18.5
.答案
7. 18.5
解析
【分析】
首先回忆箱线图的定义和构成要素，箱线图会直观展示一组数据的5个关键统计量，从小到大依次为：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。我们只需要对应题图中标注的数值，找到第三四分位数对应的箱体上沿位置，直接读取对应数值即可得到结果。
【解析】
箱线图的五个核心统计量对应关系如下：
1. 最下方标注的0为这组数据的最小值；
2. 箱体下沿对应的标注值8为第一四分位数；
3. 箱体内部横线对应的标注值16为中位数；
4. 箱体上沿对应的标注值18.5为第三四分位数（上四分位数）；
5. 最上方须线端点对应的标注值26为这组数据的最大值。
因此这组数据的第三四分位数为18.5。
【答案】
18.5
【知识点】
箱线图构成，四分位数概念
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，直接考查箱线图各部分对应的统计量含义，只要牢记箱线图的五个特征值的对应位置，就可以快速读取数值得到答案，没有复杂计算。
【难度系数】
0.9
首先回忆箱线图的定义和构成要素，箱线图会直观展示一组数据的5个关键统计量，从小到大依次为：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。我们只需要对应题图中标注的数值，找到第三四分位数对应的箱体上沿位置，直接读取对应数值即可得到结果。
【解析】
箱线图的五个核心统计量对应关系如下：
1. 最下方标注的0为这组数据的最小值；
2. 箱体下沿对应的标注值8为第一四分位数；
3. 箱体内部横线对应的标注值16为中位数；
4. 箱体上沿对应的标注值18.5为第三四分位数（上四分位数）；
5. 最上方须线端点对应的标注值26为这组数据的最大值。
因此这组数据的第三四分位数为18.5。
【答案】
18.5
【知识点】
箱线图构成，四分位数概念
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，直接考查箱线图各部分对应的统计量含义，只要牢记箱线图的五个特征值的对应位置，就可以快速读取数值得到答案，没有复杂计算。
【难度系数】
0.9
8. (2025·南京三模)有一组数据:$a+1,a+3,a+3,a+4,a+4$($a$为常数)，这组数据的方差为
第7题图
1.2
.第7题图
答案
8. 1.2
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，首先回忆方差的计算流程：先求出整组数据的平均数，再代入方差公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值。观察这组数据的特点，所有数据都含有常数a，在计算数据与平均数的差值时，参数a会直接抵消，也可以利用“一组数据同时减去同一个常数，方差不变”的性质，将所有数据减去a得到简化后的新数据1、3、3、4、4，直接计算新数据的方差即可，大幅降低计算量，避免参数干扰。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
已知数据共5个：$a+1,a+3,a+3,a+4,a+4$
平均数$\bar{x} = \frac{(a+1)+(a+3)+(a+3)+(a+4)+(a+4)}{5}$
化简分子：$5a + 1+3+3+4+4 = 5a+15$
因此$\bar{x} = \frac{5a+15}{5} = a+3$
步骤2：代入方差公式计算方差
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，代入数据：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(a+1-(a+3))^2 + (a+3-(a+3))^2 + (a+3-(a+3))^2 + (a+4-(a+3))^2 + (a+4-(a+3))^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 +1^2]\\&=\frac{1}{5}×(4+0+0+1+1)\\&=\frac{6}{5}=1.2\end{aligned}$
【答案】
1.2
【知识点】
方差计算，方差性质
【点评】
本题是方差计算的基础题型，数据中统一含有的参数a不会影响最终方差结果，计算时可直接消去参数简化运算，重点考察学生对方差定义的掌握程度，只要牢记方差计算步骤即可轻松得到结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，首先回忆方差的计算流程：先求出整组数据的平均数，再代入方差公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值。观察这组数据的特点，所有数据都含有常数a，在计算数据与平均数的差值时，参数a会直接抵消，也可以利用“一组数据同时减去同一个常数，方差不变”的性质，将所有数据减去a得到简化后的新数据1、3、3、4、4，直接计算新数据的方差即可，大幅降低计算量，避免参数干扰。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
已知数据共5个：$a+1,a+3,a+3,a+4,a+4$
平均数$\bar{x} = \frac{(a+1)+(a+3)+(a+3)+(a+4)+(a+4)}{5}$
化简分子：$5a + 1+3+3+4+4 = 5a+15$
因此$\bar{x} = \frac{5a+15}{5} = a+3$
步骤2：代入方差公式计算方差
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，代入数据：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(a+1-(a+3))^2 + (a+3-(a+3))^2 + (a+3-(a+3))^2 + (a+4-(a+3))^2 + (a+4-(a+3))^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 +1^2]\\&=\frac{1}{5}×(4+0+0+1+1)\\&=\frac{6}{5}=1.2\end{aligned}$
【答案】
1.2
【知识点】
方差计算，方差性质
【点评】
本题是方差计算的基础题型，数据中统一含有的参数a不会影响最终方差结果，计算时可直接消去参数简化运算，重点考察学生对方差定义的掌握程度，只要牢记方差计算步骤即可轻松得到结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
9. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分，90分，80分.若将三项得分依次按$3:3:4$的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为
80
分.答案
9. 80
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的三项成绩对应的权重比例为3:3:4，先计算权重的总份数，再用每一项的成绩分别乘以自身对应的权重占总权重的比例，最后将三个乘积相加，就能得到最终的加权平均成绩。计算时注意不要把成绩和对应的权重弄混，按照题目给出的顺序依次对应计算即可。
【解析】
1. 先计算权重总份数：三项权重比例之和为 $3+3+4=10$；
2. 代入加权平均数公式计算最终成绩：
$\begin{aligned}\mathrm{最终成绩}&=70×\frac{3}{10} + 90×\frac{3}{10} + 80×\frac{4}{10}\\&=21 + 27 + 32\\&=80\end{aligned}$
【答案】
80
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，结合比赛评分的真实场景出题，只要熟练掌握加权平均数的计算规则，对应好各项成绩和权重的匹配关系，就能快速算出结果，计算难度极低，是典型的基础送分题型。
【难度系数】
0.9
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的三项成绩对应的权重比例为3:3:4，先计算权重的总份数，再用每一项的成绩分别乘以自身对应的权重占总权重的比例，最后将三个乘积相加，就能得到最终的加权平均成绩。计算时注意不要把成绩和对应的权重弄混，按照题目给出的顺序依次对应计算即可。
【解析】
1. 先计算权重总份数：三项权重比例之和为 $3+3+4=10$；
2. 代入加权平均数公式计算最终成绩：
$\begin{aligned}\mathrm{最终成绩}&=70×\frac{3}{10} + 90×\frac{3}{10} + 80×\frac{4}{10}\\&=21 + 27 + 32\\&=80\end{aligned}$
【答案】
80
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础应用题，结合比赛评分的真实场景出题，只要熟练掌握加权平均数的计算规则，对应好各项成绩和权重的匹配关系，就能快速算出结果，计算难度极低，是典型的基础送分题型。
【难度系数】
0.9
10.(2025·常州二模)在打靶演习中需要射击5次,某训练者知道前4次的成绩(单位:环)为:7,9,8,6.要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差,第5次射击成绩可以是
7或8
环.答案
10. 7或8
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先我们需要先算出前4次射击成绩的平均数，再代入方差公式求出前4次的方差；接着设第5次的射击成绩为x，写出5次成绩的平均数表达式，进一步推导5次成绩的方差；最后根据“5次成绩的方差小于前4次方差”的要求列出不等式，解出x的取值范围，结合射击环数为正整数的实际规则，筛选出符合条件的取值即可。本质上是利用方差的定义结合不等式求解，也可以借助“新增数据越靠近原数据集的均值，整体方差越小”的性质辅助验证。
【解析】
1. 计算前4次成绩的均值和方差
前4次成绩为7,9,8,6，均值：
$\bar{x}_4=\frac{7+9+8+6}{4}=7.5$
前4次方差：
$s_4^2=\frac{1}{4}[(7-7.5)^2+(9-7.5)^2+(8-7.5)^2+(6-7.5)^2]=\frac{1}{4}×5=1.25$
2. 设第5次成绩为x，推导5次成绩的方差
5次成绩的均值：
$\bar{x}_5=\frac{7+9+8+6+x}{5}=\frac{30+x}{5}$
5次成绩的方差：
$s_5^2=\frac{1}{5}[(7-\bar{x}_5)^2+(9-\bar{x}_5)^2+(8-\bar{x}_5)^2+(6-\bar{x}_5)^2+(x-\bar{x}_5)^2]$
3. 列不等式求解x的范围
根据题意$s_5^2＜1.25$，两边同乘5得：
$(7-\frac{30+x}{5})^2+(9-\frac{30+x}{5})^2+(8-\frac{30+x}{5})^2+(6-\frac{30+x}{5})^2+(x-\frac{30+x}{5})^2＜6.25$
化简整理后得到二次不等式：$x^2-15x+54.6875＜0$
解对应二次方程得两个根为6.25和8.75，因此不等式解集为$6.25＜x＜8.75$
由于射击环数为整数，因此符合条件的x只能取7或8。
【答案】7或8
【知识点】
方差计算，一元二次不等式
【点评】
本题结合打靶的实际场景考查方差的应用，核心是对方差定义的理解，整体计算难度不高，易错点是计算方差时混淆两组数据的分母（前4次分母为4，5次分母为5），最后需要结合射击环数为整数的实际要求筛选结果，避免出现非整数的错误取值。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路非常清晰：首先我们需要先算出前4次射击成绩的平均数，再代入方差公式求出前4次的方差；接着设第5次的射击成绩为x，写出5次成绩的平均数表达式，进一步推导5次成绩的方差；最后根据“5次成绩的方差小于前4次方差”的要求列出不等式，解出x的取值范围，结合射击环数为正整数的实际规则，筛选出符合条件的取值即可。本质上是利用方差的定义结合不等式求解，也可以借助“新增数据越靠近原数据集的均值，整体方差越小”的性质辅助验证。
【解析】
1. 计算前4次成绩的均值和方差
前4次成绩为7,9,8,6，均值：
$\bar{x}_4=\frac{7+9+8+6}{4}=7.5$
前4次方差：
$s_4^2=\frac{1}{4}[(7-7.5)^2+(9-7.5)^2+(8-7.5)^2+(6-7.5)^2]=\frac{1}{4}×5=1.25$
2. 设第5次成绩为x，推导5次成绩的方差
5次成绩的均值：
$\bar{x}_5=\frac{7+9+8+6+x}{5}=\frac{30+x}{5}$
5次成绩的方差：
$s_5^2=\frac{1}{5}[(7-\bar{x}_5)^2+(9-\bar{x}_5)^2+(8-\bar{x}_5)^2+(6-\bar{x}_5)^2+(x-\bar{x}_5)^2]$
3. 列不等式求解x的范围
根据题意$s_5^2＜1.25$，两边同乘5得：
$(7-\frac{30+x}{5})^2+(9-\frac{30+x}{5})^2+(8-\frac{30+x}{5})^2+(6-\frac{30+x}{5})^2+(x-\frac{30+x}{5})^2＜6.25$
化简整理后得到二次不等式：$x^2-15x+54.6875＜0$
解对应二次方程得两个根为6.25和8.75，因此不等式解集为$6.25＜x＜8.75$
由于射击环数为整数，因此符合条件的x只能取7或8。
【答案】7或8
【知识点】
方差计算，一元二次不等式
【点评】
本题结合打靶的实际场景考查方差的应用，核心是对方差定义的理解，整体计算难度不高，易错点是计算方差时混淆两组数据的分母（前4次分母为4，5次分母为5），最后需要结合射击环数为整数的实际要求筛选结果，避免出现非整数的错误取值。
【难度系数】
0.6
