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2.【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园. 在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取 200 个. 在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据. 柑橘直径用$x$(单位：cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图如图所示.
根据所给信息，请解决以下问题：
任务 1 求图①中$a$的值；
【数据分析与运用】
任务 2 A,B,C,D,E 五组数据的平均数分别取为 4,5,6,7,8,计算乙园样本数据的平均数；
任务 3 下列结论一定正确的是
①两园样本数据的中位数均在 C 组；
②两园样本数据的众数均在 C 组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务 4 结合市场情况，将 C,D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次. 试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取 200 个. 在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据. 柑橘直径用$x$(单位：cm)表示.
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图如图所示.
根据所给信息，请解决以下问题：
任务 1 求图①中$a$的值；
【数据分析与运用】
任务 2 A,B,C,D,E 五组数据的平均数分别取为 4,5,6,7,8,计算乙园样本数据的平均数；
任务 3 下列结论一定正确的是
①
；(填序号)①两园样本数据的中位数均在 C 组；
②两园样本数据的众数均在 C 组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务 4 结合市场情况，将 C,D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次. 试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
答案
2. 解:任务1 由题意,得 $a=200-(15+70+50+25)=40$.
任务2 $\dfrac{1}{200} × (15 × 4+50 × 5+70 × 6+50 × 7+15 × 8)=6$,
故乙园样本数据的平均数为 6.
任务3 ①
任务4 乙园的柑橘品质更优.理由如下:
由样本数据频数分布直方图可得,乙园一级柑橘所占比例大于甲园,因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
任务2 $\dfrac{1}{200} × (15 × 4+50 × 5+70 × 6+50 × 7+15 × 8)=6$,
故乙园样本数据的平均数为 6.
任务3 ①
任务4 乙园的柑橘品质更优.理由如下:
由样本数据频数分布直方图可得,乙园一级柑橘所占比例大于甲园,因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
解析
【分析】
我们可以逐个拆解任务，按逻辑逐步推导：
1. 任务1：已知甲园抽取的样本总数量为200，所有分组的频数之和等于样本总数，因此用总数量200减去其余4个已知组的频数，即可求出a的值。
2. 任务2：计算加权平均数，将每组给定的平均数乘以该组对应的频数，求和后除以总样本数200，就能得到乙园样本数据的平均数。
3. 任务3：逐个验证三个结论：①中位数是排序后第100和101个数据的平均数，分别计算甲乙两园的累计频数，判断第100、101个数据的落点；②众数是出现次数最多的具体数值，仅知道各组总频数无法确定组内具体数值的出现次数，不能直接判定众数位置；③极差是最大值减最小值，仅知道分组区间无法确定两园的具体最大、最小数据，无法判定极差相等，最终筛选出正确结论。
4. 任务4：按照题目给定的分级规则，对比两园各级柑橘的占比，通过样本特征估计总体品质即可得出结论。
【解析】
任务1：
甲园样本总数为200，各组频数之和等于总样本数，因此：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
任务2：
根据加权平均数公式，代入乙园各组数据计算：
$\bar{x}=\frac{1}{200} × (15 × 4+50 × 5+70 × 6+50 × 7+15 × 8)=\frac{1200}{200}=6$
因此乙园样本数据的平均数为6。
任务3：
① 两园样本总数都是200，中位数为第100、101个数据的平均数：甲园前两组累计频数为$15+40=55$，前三组累计频数为$55+70=125$，第100、101个数据落在C组；乙园前两组累计频数为$15+50=65$，前三组累计频数为$65+70=135$，第100、101个数据也落在C组，①正确。
② 仅知道各组的总频数，无法确定组内具体数值的出现次数，不能判定两园的众数都在C组，②错误。
③ 仅知道分组区间，不知道两园的具体最大、最小柑橘直径，无法判定两园数据的极差相等，③错误。
因此正确结论为①。
任务4：
对比两园各级柑橘占比：乙园一级柑橘（C、D组）的占比高于甲园，三级柑橘的占比低于甲园，因此可以估计乙园的柑橘品质更优。
【答案】
任务1：$a=40$；任务2：乙园样本数据的平均数为6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由是乙园一级柑橘所占比例大于甲园。
【知识点】
频数性质，加权平均数，用样本估计总体
【点评】
本题结合农业生产的实际场景考查统计基础知识点，整体贴合生活应用，难度适中。易错点是对众数、极差的概念理解不到位，容易误判结论②③，解题时要注意区分组频数和具体数据的频数，不能仅凭组频数直接判定众数位置。
【难度系数】
0.7
我们可以逐个拆解任务，按逻辑逐步推导：
1. 任务1：已知甲园抽取的样本总数量为200，所有分组的频数之和等于样本总数，因此用总数量200减去其余4个已知组的频数，即可求出a的值。
2. 任务2：计算加权平均数，将每组给定的平均数乘以该组对应的频数，求和后除以总样本数200，就能得到乙园样本数据的平均数。
3. 任务3：逐个验证三个结论：①中位数是排序后第100和101个数据的平均数，分别计算甲乙两园的累计频数，判断第100、101个数据的落点；②众数是出现次数最多的具体数值，仅知道各组总频数无法确定组内具体数值的出现次数，不能直接判定众数位置；③极差是最大值减最小值，仅知道分组区间无法确定两园的具体最大、最小数据，无法判定极差相等，最终筛选出正确结论。
4. 任务4：按照题目给定的分级规则，对比两园各级柑橘的占比，通过样本特征估计总体品质即可得出结论。
【解析】
任务1：
甲园样本总数为200，各组频数之和等于总样本数，因此：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
任务2：
根据加权平均数公式，代入乙园各组数据计算：
$\bar{x}=\frac{1}{200} × (15 × 4+50 × 5+70 × 6+50 × 7+15 × 8)=\frac{1200}{200}=6$
因此乙园样本数据的平均数为6。
任务3：
① 两园样本总数都是200，中位数为第100、101个数据的平均数：甲园前两组累计频数为$15+40=55$，前三组累计频数为$55+70=125$，第100、101个数据落在C组；乙园前两组累计频数为$15+50=65$，前三组累计频数为$65+70=135$，第100、101个数据也落在C组，①正确。
② 仅知道各组的总频数，无法确定组内具体数值的出现次数，不能判定两园的众数都在C组，②错误。
③ 仅知道分组区间，不知道两园的具体最大、最小柑橘直径，无法判定两园数据的极差相等，③错误。
因此正确结论为①。
任务4：
对比两园各级柑橘占比：乙园一级柑橘（C、D组）的占比高于甲园，三级柑橘的占比低于甲园，因此可以估计乙园的柑橘品质更优。
【答案】
任务1：$a=40$；任务2：乙园样本数据的平均数为6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由是乙园一级柑橘所占比例大于甲园。
【知识点】
频数性质，加权平均数，用样本估计总体
【点评】
本题结合农业生产的实际场景考查统计基础知识点，整体贴合生活应用，难度适中。易错点是对众数、极差的概念理解不到位，容易误判结论②③，解题时要注意区分组频数和具体数据的频数，不能仅凭组频数直接判定众数位置。
【难度系数】
0.7
