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三、解答题(共40分)
11.(20分)A,B,C三名大学生竞选系学生会主席,他们的笔试成绩和面试成绩(单位:分)如下:
(1)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票,三位候选人的得票情况如图(没有弃权票,每名学生只能推荐一人),请计算每人的得票数;
(2)若每票计1分,系里将笔试、面试、得票三项测试得分按$4:3:3$的比例确定个人成绩,请计算三位候选人的最终成绩,并根据成绩判断谁能当选.
11.(20分)A,B,C三名大学生竞选系学生会主席,他们的笔试成绩和面试成绩(单位:分)如下:
(1)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票,三位候选人的得票情况如图(没有弃权票,每名学生只能推荐一人),请计算每人的得票数;
(2)若每票计1分,系里将笔试、面试、得票三项测试得分按$4:3:3$的比例确定个人成绩,请计算三位候选人的最终成绩,并根据成绩判断谁能当选.
答案
11. 解:(1) A 的得票数是 $300 × 35\% = 105$,
B 的得票数是 $300 × 40\% = 120$,
C 的得票数是 $300 × 25\% = 75$.
(2) A 的最终成绩是 $\dfrac{85 × 4 + 90 × 3 + 105 × 3}{4 + 3 + 3} = 92.5$(分),
B 的最终成绩是 $\dfrac{95 × 4 + 80 × 3 + 120 × 3}{4 + 3 + 3} = 98$(分),
C 的最终成绩是 $\dfrac{90 × 4 + 85 × 3 + 75 × 3}{4 + 3 + 3} = 84$(分).
$\because 98 ＞ 92.5 ＞ 84, \therefore \mathrm{B}$ 当选.
B 的得票数是 $300 × 40\% = 120$,
C 的得票数是 $300 × 25\% = 75$.
(2) A 的最终成绩是 $\dfrac{85 × 4 + 90 × 3 + 105 × 3}{4 + 3 + 3} = 92.5$(分),
B 的最终成绩是 $\dfrac{95 × 4 + 80 × 3 + 120 × 3}{4 + 3 + 3} = 98$(分),
C 的最终成绩是 $\dfrac{90 × 4 + 85 × 3 + 75 × 3}{4 + 3 + 3} = 84$(分).
$\because 98 ＞ 92.5 ＞ 84, \therefore \mathrm{B}$ 当选.
解析
【分析】
拿到这道题我们可以分两步梳理思路：第一问已知总投票人数是300且没有弃权票，总有效票数就是300，结合扇形图给出的三位候选人得票占总票数的百分比，直接用总票数乘各自的占比就能算出每人的得票数，计算逻辑非常直观。第二问明确给出笔试、面试、得票三项得分的权重比例为4:3:3，此时不能直接对三项得分求算术平均数，需要使用加权平均数的计算公式，把每位候选人的三项得分分别乘对应权重后求和，再除以权重总和，得到三人的最终成绩后对比大小，得分最高的候选人即可当选。
【解析】
(1) 由题意可知总有效票数为300，结合扇形图的得票占比计算：
A的得票数：$300 × 35\% = 105$
B的得票数：$300 × 40\% = 120$
C的得票数：$300 × 25\% = 75$
(2) 按照4:3:3的权重计算最终成绩，代入加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3}{w_1+w_2+w_3}$计算：
A的最终成绩：$\dfrac{85 × 4 + 90 × 3 + 105 × 3}{4 + 3 + 3} = 92.5$(分)
B的最终成绩：$\dfrac{95 × 4 + 80 × 3 + 120 × 3}{4 + 3 + 3} = 98$(分)
C的最终成绩：$\dfrac{90 × 4 + 85 × 3 + 75 × 3}{4 + 3 + 3} = 84$(分)
对比三人成绩：$98 ＞ 92.5 ＞ 84$，因此B的最终成绩最高，B当选。
【答案】
(1) A得票数为105，B得票数为120，C得票数为75；(2) A最终成绩92.5分，B最终成绩98分，C最终成绩84分，B当选。
【知识点】
扇形统计图，加权平均数
【点评】
本题以竞选为实际场景，是统计模块的典型基础应用题，考点清晰计算难度低，核心考察学生对加权平均数概念的理解，避免直接误用算术平均数计算最终成绩，同时结合扇形占比计算，能有效巩固统计部分的基础知识点。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以分两步梳理思路：第一问已知总投票人数是300且没有弃权票，总有效票数就是300，结合扇形图给出的三位候选人得票占总票数的百分比，直接用总票数乘各自的占比就能算出每人的得票数，计算逻辑非常直观。第二问明确给出笔试、面试、得票三项得分的权重比例为4:3:3，此时不能直接对三项得分求算术平均数，需要使用加权平均数的计算公式，把每位候选人的三项得分分别乘对应权重后求和，再除以权重总和，得到三人的最终成绩后对比大小，得分最高的候选人即可当选。
【解析】
(1) 由题意可知总有效票数为300，结合扇形图的得票占比计算：
A的得票数：$300 × 35\% = 105$
B的得票数：$300 × 40\% = 120$
C的得票数：$300 × 25\% = 75$
(2) 按照4:3:3的权重计算最终成绩，代入加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3}{w_1+w_2+w_3}$计算：
A的最终成绩：$\dfrac{85 × 4 + 90 × 3 + 105 × 3}{4 + 3 + 3} = 92.5$(分)
B的最终成绩：$\dfrac{95 × 4 + 80 × 3 + 120 × 3}{4 + 3 + 3} = 98$(分)
C的最终成绩：$\dfrac{90 × 4 + 85 × 3 + 75 × 3}{4 + 3 + 3} = 84$(分)
对比三人成绩：$98 ＞ 92.5 ＞ 84$，因此B的最终成绩最高，B当选。
【答案】
(1) A得票数为105，B得票数为120，C得票数为75；(2) A最终成绩92.5分，B最终成绩98分，C最终成绩84分，B当选。
【知识点】
扇形统计图，加权平均数
【点评】
本题以竞选为实际场景，是统计模块的典型基础应用题，考点清晰计算难度低，核心考察学生对加权平均数概念的理解，避免直接误用算术平均数计算最终成绩，同时结合扇形占比计算，能有效巩固统计部分的基础知识点。
【难度系数】
0.8
12.(20分)(2025·海州区一模)某校举办“十佳歌手”演唱比赛,五位评委进行现场打分,将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)完成表格;
(2)从三位选手中选一位参加市级比赛,你认为选谁更合适,请说明理由;
(3)在演唱比赛中,往往在所有评委给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分. 如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 $s^{2}$, 则 $s^{2}$
根据以上信息,回答下列问题:
(1)完成表格;
(2)从三位选手中选一位参加市级比赛,你认为选谁更合适,请说明理由;
(3)在演唱比赛中,往往在所有评委给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分,然后计算余下分数的平均分. 如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 $s^{2}$, 则 $s^{2}$
$＜$
0.56. (填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)答案
12. (1) ①9 ②0.96 ③8.8
(2) 解:选甲更合适,理由如下:
因为三位选手的平均数相同,但甲的方差最小,稳定性最好,所以选甲更合适.
(3) $＜$
(2) 解:选甲更合适,理由如下:
因为三位选手的平均数相同,但甲的方差最小,稳定性最好,所以选甲更合适.
(3) $＜$
解析
【分析】
这是一道统计实际应用题，解题思路梳理如下：
1. 第(1)问：先从配套统计图中提取甲、乙、丙三位选手各自的5个评委打分数据，结合空缺统计量的类型，分别按照中位数、方差、算术平均数的定义和计算公式，依次算出三个空缺的数值，即可完成表格填写。
2. 第(2)问选择参赛选手：首先对比三位选手的平均得分，若三者平均水平一致，就利用方差的意义判断发挥稳定性，方差越小代表选手得分波动越小、发挥越平稳，优先选择稳定性更好的选手参赛。
3. 第(3)问判断方差大小关系：方差的核心意义是反映数据的离散程度，去掉最高分和最低分这两个偏离平均水平最多的极端值后，剩余数据会更集中，离散程度更小，对应的新方差就会小于原方差。
【解析】
(1) ① 将乙的5个打分从小到大排序后，位于序列第3位的中间数据为9，因此该空填9；
② 已知丙的5个得分的平均数为8.8，代入方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入丙的5个得分计算，可得丙的方差为0.96；
③ 代入算术平均数公式计算甲的5个得分的平均值，可得甲的平均得分为8.8。
(2) 对比三位选手的统计量可知，三位选手的平均得分完全相同，说明三人的整体得分水平一致，而甲的方差是三者中最小的，说明甲的得分波动最小、发挥稳定性最好，因此选甲参加市级比赛更合适。
(3) 已知甲5个原始得分的方差为0.56，去掉1个最高分和1个最低分后，剩余3个数据的离散程度远低于原始5个数据的离散程度，数据更集中，因此计算得到的新方差$s^2$小于0.56。
【答案】
(1) ①9 ②0.96 ③8.8
(2) 选甲更合适，理由如下：因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适。
(3) $＜$
【知识点】
算术平均数，方差的意义，中位数
【点评】
本题是统计模块的常规综合应用题，结合歌手打分的真实生活场景命题，既考察了基础统计量的计算能力，也考察了统计量的实际应用理解，第三问不需要硬算方差，直接利用方差反映离散程度的性质即可判断大小，整体贴合课标要求，能有效检验学生对统计核心概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
这是一道统计实际应用题，解题思路梳理如下：
1. 第(1)问：先从配套统计图中提取甲、乙、丙三位选手各自的5个评委打分数据，结合空缺统计量的类型，分别按照中位数、方差、算术平均数的定义和计算公式，依次算出三个空缺的数值，即可完成表格填写。
2. 第(2)问选择参赛选手：首先对比三位选手的平均得分，若三者平均水平一致，就利用方差的意义判断发挥稳定性，方差越小代表选手得分波动越小、发挥越平稳，优先选择稳定性更好的选手参赛。
3. 第(3)问判断方差大小关系：方差的核心意义是反映数据的离散程度，去掉最高分和最低分这两个偏离平均水平最多的极端值后，剩余数据会更集中，离散程度更小，对应的新方差就会小于原方差。
【解析】
(1) ① 将乙的5个打分从小到大排序后，位于序列第3位的中间数据为9，因此该空填9；
② 已知丙的5个得分的平均数为8.8，代入方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入丙的5个得分计算，可得丙的方差为0.96；
③ 代入算术平均数公式计算甲的5个得分的平均值，可得甲的平均得分为8.8。
(2) 对比三位选手的统计量可知，三位选手的平均得分完全相同，说明三人的整体得分水平一致，而甲的方差是三者中最小的，说明甲的得分波动最小、发挥稳定性最好，因此选甲参加市级比赛更合适。
(3) 已知甲5个原始得分的方差为0.56，去掉1个最高分和1个最低分后，剩余3个数据的离散程度远低于原始5个数据的离散程度，数据更集中，因此计算得到的新方差$s^2$小于0.56。
【答案】
(1) ①9 ②0.96 ③8.8
(2) 选甲更合适，理由如下：因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适。
(3) $＜$
【知识点】
算术平均数，方差的意义，中位数
【点评】
本题是统计模块的常规综合应用题，结合歌手打分的真实生活场景命题，既考察了基础统计量的计算能力，也考察了统计量的实际应用理解，第三问不需要硬算方差，直接利用方差反映离散程度的性质即可判断大小，整体贴合课标要求，能有效检验学生对统计核心概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
