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12. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+$$a^{2}-1=0$有一个解为$x=0$,则$a=$
$-1$
.答案
12. -1 解析: 把 $x=0$ 代入方程$(a-1)x^2-2x+a^2-1=0$,得 $a^2-1=0$,即 $a^2=1$,解得 $a=\pm1$. 又 $a-1≠0$,所以 $a≠1$,所以 $a=-1.$
13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 = b(a ≠ 0)$ 的两个根分别是 $m+1$ 和 $2m-4$,则 $\dfrac{b}{a}=$
$4$
.答案
13. 4 解析: 因为 $ax^2=b$, 所以 $x^2=\dfrac{b}{a}$, 解得 $x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,所以原方程的两个根互为相反数. 又原方程的两个根分别是 $m+1$ 和 $2m-4$,所以 $m+1+2m-4=0$,解得 $m=1$,所以原方程的两个根分别是2和-2,所以$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$,所以 $\dfrac{b}{a}=4.$
14. 新素养 抽象能力 对于任意实数 $p,q$，我们用符号 $\min\{p,q\}$ 表示 $p,q$ 两数中较小的数，如:$\min\{1,2\}=1,\min\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{3}.$ 若$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,则 $x=$
$2或-1$
.答案
14. 2或-1 解析: 因为 $\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,所以分类讨论如下:① 当 $x^2≥(x-1)^2$,即 $x≥\dfrac{1}{2}$时,$(x-1)^2=1$,解得 $x_1=2,x_2=0$(不合题意,舍去);② 当$(x-1)^2＞x^2$,即 $x＜\dfrac{1}{2}$时,$x^2=1$,解得 $x_3=-1$,$x_4=1$(不合题意,舍去). 综上所述, $x$ 的值为 2或-1.
15. 解下列方程：
(1) $(4y-1)^2=25(1+y)^2$；
(2) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$。
(1) $(4y-1)^2=25(1+y)^2$；
(2) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$。
答案
15. (1) $y_1=-6,y_2=-\dfrac{4}{9}.$
(2) $x_1=1,x_2=-1.$
(2) $x_1=1,x_2=-1.$
16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=$ $0(a ≠ 0)$ 的一个根是 1 , 且 $a, b$ 满足 $b=$ $\sqrt{a-2}+\sqrt{2-a}-3$, 解关于 $y$ 的一元二次方
$\mathrm{程}\frac{1}{4} y^{2}-c=0.$
$\mathrm{程}\frac{1}{4} y^{2}-c=0.$
答案
16. 由题意,得 $a-2≥0$ 且 $2-a≥0$,所以 $a=2$. 因为 $b=\sqrt{a-2}+\sqrt{2-a}-3$,所以 $b=-3$. 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根是 1,所以$a+b+c=0$,所以 $2+(-3)+c=0$,所以 $c=1$,所以关于 $y$ 的一元二次方程 $\dfrac{1}{4}y^2-c=0$ 即为 $\dfrac{1}{4}y^2-1=0$,即 $y^2=4$,解得 $y_1=2,y_2=-2.$
17. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 + n = 0(m ≠ 0)$ 有实数解,则下列结论正确的是 （
A.$n=0$
B.$n=0$ 或 $m,n$ 异号
C.$n$ 是 $m$ 的整数倍
D.$m,n$ 同号
B
）A.$n=0$
B.$n=0$ 或 $m,n$ 异号
C.$n$ 是 $m$ 的整数倍
D.$m,n$ 同号
答案
17. B 解析: 因为 $mx^2+n=0$, 所以 $mx^2=-n$, 所以$x^2=-\dfrac{n}{m}$. 因为该方程有实数解,所以 $-\dfrac{n}{m}≥0$,所以$n=0$ 或 $m,n$ 异号.
18. (2026·江苏镇江期末)若3和-1是关于$x$的方程$(x+m)^2+b=0$($b,m$为常数)的两个根,则关于$x$的方程$(x+m+2)^2+b=0$的解是
$x_1=1,x_2=-3$
.答案
18. $x_1=1,x_2=-3$ 解析: 因为 3 和-1 是关于 $x$ 的方程$(x+m)^2+b=0$ 的两个根,方程 $(x+m+2)^2+b=0$ 可变形为$[(x+2)+m]^2+b=0$,所以方程$(x+m+2)^2+b=0$的解满足 $x+2=3$ 或 $x+2=-1$,解得$x_1=1,x_2=-3.$
19. 对任意实数 $a,b$, 规定一种新运算“$△$”:
$a△ b=a^{2}-b^{2}.$
(1) 求 $4△3$ 的值；
(2) 若实数 $x$ 满足 $(x+2)△5=0$, 求 $x$ 的值；
(3) 若直角三角形的两边长是方程 $3△(x-8)=0$ 的两根,求该直角三角形第三边的长.
$a△ b=a^{2}-b^{2}.$
(1) 求 $4△3$ 的值；
(2) 若实数 $x$ 满足 $(x+2)△5=0$, 求 $x$ 的值；
(3) 若直角三角形的两边长是方程 $3△(x-8)=0$ 的两根,求该直角三角形第三边的长.
答案
19. (1) 由题意,得 $4△3=4^2-3^2=7.$
(2) 由题意,得 $(x+2)△5=(x+2)^2-5^2=0$,即$(x+2)^2=25$,所以 $x+2=\pm5$,解得 $x_1=3,x_2=-7.$
(3) 由题意,得 $3△(x-8)=3^2-(x-8)^2=9-(x-8)^2$. 解方程 $9-(x-8)^2=0$,得 $x_1=11,x_2=5$. 分类讨论如下:① 当 11 是该直角三角形的斜边长时,第三边的长为$\sqrt{11^2-5^2}=4\sqrt{6}$;② 当 11 是该直角三角形的直角边长时,第三边的长为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}$. 综上所述,该直角三角形第三边的长为 $4\sqrt{6}$ 或 $\sqrt{146}.$
(2) 由题意,得 $(x+2)△5=(x+2)^2-5^2=0$,即$(x+2)^2=25$,所以 $x+2=\pm5$,解得 $x_1=3,x_2=-7.$
(3) 由题意,得 $3△(x-8)=3^2-(x-8)^2=9-(x-8)^2$. 解方程 $9-(x-8)^2=0$,得 $x_1=11,x_2=5$. 分类讨论如下:① 当 11 是该直角三角形的斜边长时,第三边的长为$\sqrt{11^2-5^2}=4\sqrt{6}$;② 当 11 是该直角三角形的直角边长时,第三边的长为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}$. 综上所述,该直角三角形第三边的长为 $4\sqrt{6}$ 或 $\sqrt{146}.$
