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7. 如图,将一张长方形纸片对折两次,剪下一个角后打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成(
A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
C
)A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
7. C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确长方形对折两次后剪下一个角，展开得到的图形是菱形（四条边均相等）。要得到正方形，需让这个菱形满足“有一个内角是直角”的条件。接下来结合折叠后折痕为菱形的对角线，分析剪口线和折痕的夹角与菱形内角的关系，即可推导出所需角度。
【解析】
1. 首先分析折叠裁剪后的图形：将长方形对折两次后剪下一个角，打开得到的四边形四条边长度相等，因此该四边形是菱形。
2. 结合正方形的判定条件：有一个内角为90°的菱形是正方形，因此需要这个菱形的内角为90°。
3. 对折两次形成的折痕是所得菱形的两条互相垂直的对角线，对角线会平分菱形的内角。若剪口线与折痕成45°角，则菱形内角的一半为45°，展开后菱形的内角为$45°×2=90°$，此时菱形就成为正方形。
因此剪口线与折痕成45°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；菱形的性质；图形折叠裁剪
【点评】
本题结合动手操作场景考查特殊平行四边形的相关知识，需要学生具备一定的空间想象能力，能将实际操作转化为几何图形特征分析，再结合特殊四边形的判定条件求解角度，是一道将理论知识和实践操作结合的典型题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确长方形对折两次后剪下一个角，展开得到的图形是菱形（四条边均相等）。要得到正方形，需让这个菱形满足“有一个内角是直角”的条件。接下来结合折叠后折痕为菱形的对角线，分析剪口线和折痕的夹角与菱形内角的关系，即可推导出所需角度。
【解析】
1. 首先分析折叠裁剪后的图形：将长方形对折两次后剪下一个角，打开得到的四边形四条边长度相等，因此该四边形是菱形。
2. 结合正方形的判定条件：有一个内角为90°的菱形是正方形，因此需要这个菱形的内角为90°。
3. 对折两次形成的折痕是所得菱形的两条互相垂直的对角线，对角线会平分菱形的内角。若剪口线与折痕成45°角，则菱形内角的一半为45°，展开后菱形的内角为$45°×2=90°$，此时菱形就成为正方形。
因此剪口线与折痕成45°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；菱形的性质；图形折叠裁剪
【点评】
本题结合动手操作场景考查特殊平行四边形的相关知识，需要学生具备一定的空间想象能力，能将实际操作转化为几何图形特征分析，再结合特殊四边形的判定条件求解角度，是一道将理论知识和实践操作结合的典型题。
【难度系数】
0.7
8. 将“直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形”填入下列相应的空格中.
（1）矩形可以由两个能够完全重合的
（2）菱形可以由两个能够完全重合的
（3）正方形可以由两个能够完全重合的
（1）矩形可以由两个能够完全重合的
直角三角形
拼合而成.（2）菱形可以由两个能够完全重合的
等腰三角形
拼合而成.（3）正方形可以由两个能够完全重合的
等腰直角三角形
拼合而成.答案
8.（1）直角三角形 （2）等腰三角形 （3）等腰直角三角形
解析
【分析】
解题时可以逆向思考：要判断两个完全重合的什么三角形能拼成对应的特殊平行四边形，只需要将对应特殊平行四边形沿一条对角线剪开，观察得到的两个全等三角形的类型即可。首先回忆各类特殊平行四边形的性质，结合剪开后三角形的角和边的特征判断三角形种类：矩形的角为直角，剪开后三角形含直角；菱形的邻边相等，剪开后三角形有两条边相等；正方形同时具备矩形和菱形的特征，剪开后三角形既含直角又有两条边相等。
【解析】
我们通过将特殊平行四边形沿对角线剪开的方式推导：
（1）矩形的四个内角均为直角，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、含有直角的三角形，即直角三角形，因此两个完全重合的直角三角形可拼合成矩形；
（2）菱形的四条边长度相等，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、有两条边相等的三角形，即等腰三角形，因此两个完全重合的等腰三角形可拼合成菱形；
（3）正方形的四个内角为直角且四条边相等，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、既含直角又有两条边相等的三角形，即等腰直角三角形，因此两个完全重合的等腰直角三角形可拼合成正方形。
【答案】
（1）直角三角形 （2）等腰三角形 （3）等腰直角三角形
【知识点】
特殊平行四边形的性质；图形的拼接；三角形的分类
【点评】
本题考查特殊平行四边形和三角形的关联，需要结合图形性质逆向推导拼接所需的三角形类型，能够帮助同学们巩固特殊平行四边形的性质，提升对图形变换的认知。
【难度系数】
0.8
解题时可以逆向思考：要判断两个完全重合的什么三角形能拼成对应的特殊平行四边形，只需要将对应特殊平行四边形沿一条对角线剪开，观察得到的两个全等三角形的类型即可。首先回忆各类特殊平行四边形的性质，结合剪开后三角形的角和边的特征判断三角形种类：矩形的角为直角，剪开后三角形含直角；菱形的邻边相等，剪开后三角形有两条边相等；正方形同时具备矩形和菱形的特征，剪开后三角形既含直角又有两条边相等。
【解析】
我们通过将特殊平行四边形沿对角线剪开的方式推导：
（1）矩形的四个内角均为直角，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、含有直角的三角形，即直角三角形，因此两个完全重合的直角三角形可拼合成矩形；
（2）菱形的四条边长度相等，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、有两条边相等的三角形，即等腰三角形，因此两个完全重合的等腰三角形可拼合成菱形；
（3）正方形的四个内角为直角且四条边相等，沿对角线剪开后，得到两个完全重合的、既含直角又有两条边相等的三角形，即等腰直角三角形，因此两个完全重合的等腰直角三角形可拼合成正方形。
【答案】
（1）直角三角形 （2）等腰三角形 （3）等腰直角三角形
【知识点】
特殊平行四边形的性质；图形的拼接；三角形的分类
【点评】
本题考查特殊平行四边形和三角形的关联，需要结合图形性质逆向推导拼接所需的三角形类型，能够帮助同学们巩固特殊平行四边形的性质，提升对图形变换的认知。
【难度系数】
0.8
9. 边长为$a$的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为$b$的正方形，若①号小矩形的周长为$c$，且满足$2a - 2b = c$，则下列小矩形中一定是正方形的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
9. D
解析
【分析】
首先设①号小矩形的长为x、宽为y，利用矩形周长公式表示出①的周长c，再结合题目给出的2a-2b=c的条件，推导得到x、y与a、b的关系。接着结合图形分析各小矩形的边长对应关系，通过验证边长是否相等判断哪个小矩形是正方形。
【解析】
设①号小矩形的长为$x$，宽为$y$。
1. 根据矩形周长公式，①的周长$c=2(x+y)$，结合已知条件$2a-2b=c$，代入得：
$2a-2b=2(x+y)$，化简可得$x+y=a-b$，即$y=a-b-x$。
2. 观察图形可得边长关系：
横向看，大正方形最上方由①和④组成，因此①的长$+$④的水平边长$=$大正方形边长$a$，即④的水平边长为$a-x$；
纵向看，④的竖直边长$=$①的宽$+$⑤号正方形的边长$b$，即④的竖直边长为$y+b$。
3. 把$y=a-b-x$代入④的竖直边长表达式：
$y+b=(a-b-x)+b=a-x$，可知④的水平边长和竖直边长相等，因此④号小矩形一定是正方形。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，正方形的判定，代数式化简
【点评】
本题核心是结合几何图形梳理各部分边长的数量关系，再结合已知的周长等式进行代数推导，考察了数形结合分析问题和代数式运算的能力。
【难度系数】
0.65
首先设①号小矩形的长为x、宽为y，利用矩形周长公式表示出①的周长c，再结合题目给出的2a-2b=c的条件，推导得到x、y与a、b的关系。接着结合图形分析各小矩形的边长对应关系，通过验证边长是否相等判断哪个小矩形是正方形。
【解析】
设①号小矩形的长为$x$，宽为$y$。
1. 根据矩形周长公式，①的周长$c=2(x+y)$，结合已知条件$2a-2b=c$，代入得：
$2a-2b=2(x+y)$，化简可得$x+y=a-b$，即$y=a-b-x$。
2. 观察图形可得边长关系：
横向看，大正方形最上方由①和④组成，因此①的长$+$④的水平边长$=$大正方形边长$a$，即④的水平边长为$a-x$；
纵向看，④的竖直边长$=$①的宽$+$⑤号正方形的边长$b$，即④的竖直边长为$y+b$。
3. 把$y=a-b-x$代入④的竖直边长表达式：
$y+b=(a-b-x)+b=a-x$，可知④的水平边长和竖直边长相等，因此④号小矩形一定是正方形。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，正方形的判定，代数式化简
【点评】
本题核心是结合几何图形梳理各部分边长的数量关系，再结合已知的周长等式进行代数推导，考察了数形结合分析问题和代数式运算的能力。
【难度系数】
0.65
10. 如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E,F.
(1) 求证:$∠ CAB = ∠ DAB$.
(2) 若$∠ CAD = 90°$,求证:四边形AEMF是正方形.
(1) 求证:$∠ CAB = ∠ DAB$.
(2) 若$∠ CAD = 90°$,求证:四边形AEMF是正方形.
答案
10.（1）根据AB是CD的垂直平分线,得到AC=AD,然后利用三线合一的性质得到∠CAB=∠DAB即可.
（2）首先判定四边形AEMF是矩形,然后证得ME=MF,利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可.
（2）首先判定四边形AEMF是矩形,然后证得ME=MF,利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可.
解析
【分析】
(1) 首先利用线段垂直平分线的性质，可得AC=AD，即△ACD为等腰三角形，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，AB是等腰△ACD底边CD上的高，即可推出AB平分∠CAD，从而得到∠CAB=∠DAB。
(2) 要证四边形AEMF是正方形，先根据已知的3个直角判定四边形AEMF是矩形，再利用角平分线的性质得到邻边ME=MF，最后根据“邻边相等的矩形是正方形”完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是CD的垂直平分线，点A在AB上，
∴ AC=AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∵ AB⊥CD，△ACD是等腰三角形，
∴ AB平分∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAB=∠DAB。
(2) 证明：
∵ ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°，
∴ ∠AEM=∠AFM=∠CAD=90°，
∴ 四边形AEMF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
由(1)可知AM平分∠CAD，
又
∵ ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ ME=MF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形AEMF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) ∠CAB=∠DAB，得证；
(2) 四边形AEMF是正方形，得证。
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形三线合一，正方形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题时需要结合已知条件逐步推导，先利用垂直平分线和等腰三角形的性质得到等角，再结合角、边的关系判定特殊四边形，要求熟练掌握相关几何定理，保证推导逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用线段垂直平分线的性质，可得AC=AD，即△ACD为等腰三角形，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，AB是等腰△ACD底边CD上的高，即可推出AB平分∠CAD，从而得到∠CAB=∠DAB。
(2) 要证四边形AEMF是正方形，先根据已知的3个直角判定四边形AEMF是矩形，再利用角平分线的性质得到邻边ME=MF，最后根据“邻边相等的矩形是正方形”完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是CD的垂直平分线，点A在AB上，
∴ AC=AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∵ AB⊥CD，△ACD是等腰三角形，
∴ AB平分∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴ ∠CAB=∠DAB。
(2) 证明：
∵ ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°，
∴ ∠AEM=∠AFM=∠CAD=90°，
∴ 四边形AEMF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
由(1)可知AM平分∠CAD，
又
∵ ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ ME=MF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形AEMF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) ∠CAB=∠DAB，得证；
(2) 四边形AEMF是正方形，得证。
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形三线合一，正方形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题时需要结合已知条件逐步推导，先利用垂直平分线和等腰三角形的性质得到等角，再结合角、边的关系判定特殊四边形，要求熟练掌握相关几何定理，保证推导逻辑严谨。
【难度系数】
0.7
