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4. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的F处，BE为折痕，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是
邻边相等的矩形是正方形
。答案
4. 邻边相等的矩形是正方形
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质得到对应边、对应角的等量关系，再结合原矩形的内角特征先判断折叠部分的四边形是矩形，最后根据邻边相等的特征对应正方形的判定定理即可得出原理。具体思考步骤：第一步回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；第二步回忆矩形和正方形的判定定理，明确有三个角是直角的四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；第三步结合图形推导四边形ABFE的形状，对应判定定理即可得到答案。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，因此$∠ A=∠ ABF=90°$。
根据折叠的性质可得：$AB=BF$，$∠ BFE=∠ A=90°$。
此时四边形ABFE中，$∠ A=∠ ABF=∠ BFE=90°$，因此四边形ABFE是矩形。
又因为$AB=BF$，即该矩形有一组邻边相等，根据正方形的判定定理“邻边相等的矩形是正方形”，可知四边形ABFE是正方形，因此对应的数学原理是邻边相等的矩形是正方形。
【答案】
邻边相等的矩形是正方形
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题结合图形折叠考查特殊平行四边形的判定，核心是熟练掌握折叠的性质以及矩形、正方形的判定定理，将图形特征和判定定理对应即可解决问题，是对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合折叠的性质得到对应边、对应角的等量关系，再结合原矩形的内角特征先判断折叠部分的四边形是矩形，最后根据邻边相等的特征对应正方形的判定定理即可得出原理。具体思考步骤：第一步回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；第二步回忆矩形和正方形的判定定理，明确有三个角是直角的四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；第三步结合图形推导四边形ABFE的形状，对应判定定理即可得到答案。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，因此$∠ A=∠ ABF=90°$。
根据折叠的性质可得：$AB=BF$，$∠ BFE=∠ A=90°$。
此时四边形ABFE中，$∠ A=∠ ABF=∠ BFE=90°$，因此四边形ABFE是矩形。
又因为$AB=BF$，即该矩形有一组邻边相等，根据正方形的判定定理“邻边相等的矩形是正方形”，可知四边形ABFE是正方形，因此对应的数学原理是邻边相等的矩形是正方形。
【答案】
邻边相等的矩形是正方形
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题结合图形折叠考查特殊平行四边形的判定，核心是熟练掌握折叠的性质以及矩形、正方形的判定定理，将图形特征和判定定理对应即可解决问题，是对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
5. 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件：
AB=BC(答案不唯一)
,使其成为正方形.答案
5. AB=BC(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确矩形和正方形的关联：正方形是特殊的矩形，普通矩形仅满足四个角为直角、对角线相等且平分，要转化为正方形，只需补充正方形特有的性质对应的条件即可，要么补充一组邻边相等，要么补充对角线互相垂直，任选符合要求的条件填写即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，矩形已满足四个内角均为90°、对角线相等且互相平分的性质。根据正方形的判定规则：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形。可添加的条件不唯一，比如添加邻边相等的条件AB=BC，或添加对角线垂直的条件AC⊥BD都符合要求，示例答案为AB=BC。
【答案】
AB=BC(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊平行四边形的判定，核心是掌握矩形与正方形的联系与区别，填写的条件只要符合正方形的判定规则即可，答案不唯一，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确矩形和正方形的关联：正方形是特殊的矩形，普通矩形仅满足四个角为直角、对角线相等且平分，要转化为正方形，只需补充正方形特有的性质对应的条件即可，要么补充一组邻边相等，要么补充对角线互相垂直，任选符合要求的条件填写即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，矩形已满足四个内角均为90°、对角线相等且互相平分的性质。根据正方形的判定规则：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形。可添加的条件不唯一，比如添加邻边相等的条件AB=BC，或添加对角线垂直的条件AC⊥BD都符合要求，示例答案为AB=BC。
【答案】
AB=BC(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊平行四边形的判定，核心是掌握矩形与正方形的联系与区别，填写的条件只要符合正方形的判定规则即可，答案不唯一，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，点$O$为$AB$的中点，连接$DO$并延长到点$E$，使$OE=OD$，连接$AE$，$BE$。
（1）求证：四边形$AEBD$是矩形。
（2）当$△ ABC$满足什么条件时，矩形$AEBD$是正方形，并说明理由。
（1）求证：四边形$AEBD$是矩形。
（2）当$△ ABC$满足什么条件时，矩形$AEBD$是正方形，并说明理由。
答案
6.（1）证明:
∵点O为AB的中点,
∴OA=OB,
∵OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AEBD是矩形.
（2）当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形.理由:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∵由(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
∵点O为AB的中点,
∴OA=OB,
∵OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AEBD是矩形.
（2）当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形.理由:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∵由(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
解析
【分析】
（1）要证明四边形AEBD是矩形，可按“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先由O是AB中点、OE=OD的条件，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，先判定四边形AEBD是平行四边形；再结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是角平分线推出AD⊥BC，得到∠ADB=90°，即可得证矩形。
（2）要让矩形变为正方形，需要矩形有一组邻边相等，即AD=BD。结合等腰△ABC的性质，当∠BAC=90°时，△ABC为等腰直角三角形，AD平分∠BAC可推出∠BAD=∠ABD=45°，即可得到AD=BD，满足正方形的判定条件。
【解析】
（1）证明：
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
∵OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形。
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形，理由：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵由(1)得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形。
【答案】
（1）四边形AEBD是矩形，证明如上；
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形，理由如上。
【知识点】
等腰三角形三线合一、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的基础题型，结合了等腰三角形的性质考查，解题时要理清平行四边形、矩形、正方形的递进判定逻辑，书写证明过程时注意每一步推导都要有对应的定理依据，保证逻辑连贯。
【难度系数】
0.75
（1）要证明四边形AEBD是矩形，可按“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先由O是AB中点、OE=OD的条件，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，先判定四边形AEBD是平行四边形；再结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是角平分线推出AD⊥BC，得到∠ADB=90°，即可得证矩形。
（2）要让矩形变为正方形，需要矩形有一组邻边相等，即AD=BD。结合等腰△ABC的性质，当∠BAC=90°时，△ABC为等腰直角三角形，AD平分∠BAC可推出∠BAD=∠ABD=45°，即可得到AD=BD，满足正方形的判定条件。
【解析】
（1）证明：
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
∵OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形。
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形，理由：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵由(1)得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形。
【答案】
（1）四边形AEBD是矩形，证明如上；
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形，理由如上。
【知识点】
等腰三角形三线合一、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的基础题型，结合了等腰三角形的性质考查，解题时要理清平行四边形、矩形、正方形的递进判定逻辑，书写证明过程时注意每一步推导都要有对应的定理依据，保证逻辑连贯。
【难度系数】
0.75
