1[2026江苏南京期中,较难]我们知道直角三角形具有一种特性,即斜边上的中线可以把直角三角形分成2个等腰三角形.
(1)圆圆发现,某些特殊的三角形也可以经过某一顶点作1条线段,这条线段将其分成2个等腰三角形,请你在图(1)的等腰三角形(∠A=108°,AB=AC)中经过某一顶点作1条线段,把它分成2个等腰三角形.(画出分割线,在图上标出所有等腰三角形底角的度数,以下要求与此相同)

(2)满满发现,在某些情况下,三角形的内角满足如图(2)所示的关系时,也可以经过某一顶点作1条线段,将其分成2个等腰三角形,请你尝试解决.(设∠B=x°,底角度数用含x的代数式表示)
(3)如图(3),乐乐发现,对于顶角是36°的等腰三角形,可以通过作2条线段将其分成3个等腰三角形,请你按照乐乐的方式用两种不同的方法将图(4)中顶角为45°的等腰三角形分成3个等腰三角形.

(4)如图(5),在△ABC中,∠C=2∠B,设∠B=x°,请按乐乐的方式用三种不同的方法将△ABC分成3个等腰三角形.

1.【解】(1)如图(1)所示.

(2)如图(2)所示.

(3)如图(3)所示(答案不唯一).

(4)如图(4)所示.

2[2026福建漳州期中,中]【问题背景】在$△ ABC$中,AB,BC,AC三边的长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$,求此三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点$△ ABC$(即$△ ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处),如图(1)所示,这样不需要求$△ ABC$的高,而是借用网格就能计算出它的面积.请你将$△ ABC$的面积直接填写在横线上:.
【思维拓展】我们把上述求$△ ABC$面积的方法叫作构图法,如果$△ ABC$三边长分别为$\sqrt{5}a$,$3\sqrt{2}a$,$\sqrt{29}a(a＞0)$,请利用图(2)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的$△ ABC$,并求出它的面积.
【探索创新】若$△ ABC$三边长分别为$\sqrt{16m^2+9n^2}$,$\sqrt{4m^2+25n^2}$,$2\sqrt{m^2+n^2}(m＞0,n＞0,且m≠n)$,试运用构图法直接写出这个三角形的面积是.

2.【解】【问题背景】△ABC的面积为 3×3−$\frac{1}{2}$×2×1−$\frac{1}{2}$×2×3−$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$. 故答案为$\frac{7}{2}$.
【思维拓展】如图(1)所示,△ABC为所求.

△ABC的面积为 3a×5a−$\frac{1}{2}$×2a×a−$\frac{1}{2}$×3a×3a−$\frac{1}{2}$×2a×5a=$\frac{9}{2}a^2$.
【探索创新】构造△ABC如图(2)所示(长方形网格中每个小长方形的相邻两边长分别为m,n),

则$S_{△ABC}=4m×5n−\frac{1}{2}×2m×2n−\frac{1}{2}×2m×5n−\frac{1}{2}×4m×3n=7mn$. 故答案为7mn.