1[2025广东深圳期中,中]按如图所示的程序进行计算,若输入x的值是3,则输出y的值为1.若输出y的值为3,则输入x的值是 ()


A.7
B.$-\frac{1}{3}$
C.7或$-\frac{1}{3}$
D.-7或$\frac{1}{3}$

【解析】因为输入$x$的值是3,则输出$y$的值为1,所以$\frac{3-b}{2}=1$,解得$b=1$,所以当$x≥-1$时,$y=\frac{x-1}{2}$;当$x＜-1$时,$y=-3x+2$. 当$\frac{x-1}{2}=3$时,解得$x=7≥-1$,符合题意;当$-3x+2=3$时,解得$x=-\frac{1}{3}＞-1$,不符合题意. 故选 A.

2[2026 浙江嘉兴调研,中]关于x的一元一次方程$\frac{2018+x}{2019}+\frac{2020+x}{2021}=\frac{2022+x}{2023}+\frac{2024+x}{2025}$的解,下列说法正确的是 ()

A.是一个无理数
B.是一个真分数
C.是一个自然数
D.是一个负数

【解析】对原方程$\frac{2018+x}{2019}+\frac{2020+x}{2021}=\frac{2022+x}{2023}+\frac{2024+x}{2025}$进行变形得$(1-\frac{1}{2019})+(1-\frac{1}{2021})+x(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021})=(1-\frac{1}{2023})+(1-\frac{1}{2025})+x(\frac{1}{2023}+\frac{1}{2025})$,即$2-(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021})+x(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021})=2-(\frac{1}{2023}+\frac{1}{2025})+x(\frac{1}{2023}+\frac{1}{2025})$,移项可得$x(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}$,两边同时除以$\frac{1}{2019}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}$,解得$x=1$. 1是自然数,不是无理数、真分数、负数,故选 C.

3[2026重庆北碚区调研,中]若关于x的方程$2x - \dfrac{1 - ax}{3} = 2(x + 1) - 1$的解是正整数，且关于y的多项式$(a - 2)y^2 + ay - 1$是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（）

A.1
B.3
C.5
D.7

【解析】$2x-\frac{1-ax}{3}=2(x+1)-1$,去分母得$6x-(1-ax)=6(x+1)-3$,去括号得$6x-1+ax=6x+6-3$,移项、合并同类项得$ax=4$. 当$a=0$时,方程无解,不符合题意,舍去. 当$a≠0$时,方程的解是$x=\frac{4}{a}$. 因为关于$x$的方程$2x-\frac{1-ax}{3}=2(x+1)-1$的解是正整数,所以$\frac{4}{a}$是正整数,所以整数$a=1$或2或4. 因为$(a-2)y^2+ay-1$是二次三项式,所以$a-2≠0$,$a≠0$,即$a≠0$且$a≠2$,所以所有满足条件的整数$a$的值为1,4,所以所有满足条件的整数$a$的值之和是$1+4=5$. 故选 C.

4[2026江苏南京调研,中]若关于x的一元一次方程$a+x=b(a≠0)$的解为$x=\frac{b}{a}$，则称该方程为“商解方程”，则“商解方程”$6+x=3(m-3)$中，常数m的值为。

【解析】$6+x=3(m-3)$,即$6+x=3m-9$,解得$x=3m-15$. 因为方程$6+x=3(m-3)$是“商解方程”,所以$x=\frac{3(m-3)}{6}$,所以$3m-15=\frac{3(m-3)}{6}$,即$18m-90=3m-9$,解得$m=\frac{27}{5}$. 故答案为$\frac{27}{5}$.

5[较难]如果关于x的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$，无论k为何数，它的解总是x=1，那么$m+n=$.

【解析】将$x=1$代入$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$,得$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$,整理得$(4+n)k=13-2m$. 由题意可知,无论$k$为何数,$(4+n)k=13-2m$恒成立,所以$n+4=0$,$13-2m=0$,所以$n=-4$,$m=\frac{13}{2}$,所以$m+n=\frac{5}{2}$.

6[2025浙江湖州调研,中]仔细观察下面的解法,并回答问题.
解方程:$\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{5}-1$.
解:$15x-5=8x+4-1$,…第一步
$15x-8x=4-1+5$,…第二步
$7x=8$,…第三步
$x=\frac{8}{7}$,…第四步
(1)上面的解法从第步开始出现错误;
(2)若关于$x$的方程$\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{5}+a$,按上面的解法和正确的解法得到的解分别为$x_1,x_2$,且$x_2-x_1$为非零整数,求$|a|$的最小值.
刷素养 走向重高

6.【解】(1)题中的解法从第一步开始出现错误,故答案为一.
(2)方程错误的解法为$15x-5=8x+4+a$,解得$x_1=\frac{a+9}{7}$.
正确的解法为去分母得$15x-5=8x+4+10a$,解得$x_2=\frac{10a+9}{7}$.
根据题意得$x_2-x_1=\frac{10a+9}{7}-\frac{a+9}{7}=\frac{9a}{7}$.
由$\frac{9a}{7}$为非零整数,得$|a|$的最小值为$\frac{7}{9}$.

7 核心素养运算能力[2025湖南长沙期末，较难]定义:如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”，求$m$的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为$n$，求$n$的值；
(3)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”，求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解.

7.【解】(1)解$3x+m=0$,得$x=-\frac{m}{3}$. 解$4x-2=x+10$,得$x=4$. 因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,所以$4-\frac{m}{3}=1$,所以$m=9$.
(2)因为“美好方程”的两个解之和为1,其中一个方程的解为$n$,所以另一个方程的解为$1-n$. 因为两个解的差为8,所以$n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,所以$n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$.
(3)解$\frac{1}{2024}x+1=0$,得$x=-2024$. 因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”,所以方程$\frac{1}{2024}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2024)=2025$. 因为关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$可化为$\frac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+k$,所以$y+1=2025$,所以$y=2024$. 故关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解为$y=2024$.