1 [2025 江西南昌期中,中]已知方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与关于$x$的方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数,求$a$的值.

1.【解】解方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$,得$x=-2$.
因为关于$x$的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数,所以方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解为$x=2$. 把$x=2$代入,得$\frac{4+a}{2}-\frac{2-1}{3}=\frac{2}{6}+2a$,解得$a=\frac{8}{9}$.

2[2026重庆巴南区质检,中]若关于x的方程$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=1$的解是关于x的方程$x+\frac{3|a|}{2}=7$的解的2倍,求关于x的方程$-ax+2=5$的解.

2.【解】解方程$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=1$,得$x=6$. 因为方程$\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=1$的解是关于$x$的方程$x+\frac{3|a|}{2}=7$的解的2倍,所以方程$x+\frac{3|a|}{2}=7$的解为$x=3$. 把$x=3$代入$x+\frac{3|a|}{2}=7$,可得$3+\frac{3|a|}{2}=7$,解得$a=\pm\frac{8}{3}$. 将$a=\frac{8}{3}$代入方程$-ax+2=5$,解得$x=-\frac{9}{8}$;将$a=-\frac{8}{3}$代入方程$-ax+2=5$,解得$x=\frac{9}{8}$.

3[中]晶晶在解关于$x$的方程$\frac{ax - 1}{2} + 6 = \frac{2 + x}{3}$时，把6错写成1，解得$x=1$，并且晶晶在解题中没有错误，请你正确求出此方程的解。

3.【解】因为解关于$x$的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时,把6错写成1,解得$x=1$,
所以把$x=1$代入$\frac{ax-1}{2}+1=\frac{2+x}{3}$,解得$a=1$,
所以原方程应为$\frac{x-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$,解得$x=-29$.

4[2026 江苏盐城期中，中]若关于 x 的方程 $5x - \frac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$ 与 $2x - \frac{1-ax}{3}=\frac{x+1}{0.6}-1$ 的解均为正整数，则整数 a 的值是。

4.【解析】解方程 $5x-\frac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$,得$-ax=-6$. 当$a=0$时,方程无解,不符合题意,舍去. 当$a≠0$时,方程的解是$x=\frac{6}{a}$. 因为此方程的解为正整数,所以整数$a=1$或2或3或6. 解方程$2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{x+1}{0.6}-1$,得$(a+1)x=3$.
当$a+1=0$时,方程无解,不符合题意,舍去.
当$a+1≠0$,即$a≠-1$时,方程的解是$x=\frac{3}{a+1}$.
因为此方程的解为正整数,所以$a+1=1$或$a+1=3$,所以整数$a=0$或2. 因为关于$x$的方程$5x-\frac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$与$2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{x+1}{0.6}-1$的解均为正整数,所以$a=2$,故答案为2.

5 [2026 河南驻马店期末,中]已知关于 x 的方程 $\frac{ax}{3}=\frac{x+2}{4}-\frac{1}{2}x$ 无解,则 a 的值为 .

5.【解析】$\frac{ax}{3}=\frac{x+2}{4}-\frac{1}{2}x$,去分母得,$4ax=3(x+2)-6x$,去括号得,$4ax=3x+6-6x$,移项得,$4ax-3x+6x=6$,合并同类项得,$(4a+3)x=6$. 因为关于$x$的方程$\frac{ax}{3}=\frac{x+2}{4}-\frac{1}{2}x$无解,所以$4a+3=0$,解得$a=-\frac{3}{4}$,故答案为$-\frac{3}{4}$.

6[2026安徽安庆期末,中]若方程$p - |x| = 0$无解,方程$q - |x| = 0$有一个解,方程$r - |x| = 0$有两个解,则（）

A.$p ＜ q ＜ r$
B.$p ＜ r ＜ q$
C.$q ＜ p ＜ r$
D.$r ＜ q ＜ p$

6.【解析】由$p-|x|=0$,得$|x|=p$. 因为方程$p-|x|=0$无解,所以$p＜0$. 由$q-|x|=0$,得$|x|=q$. 因为方程$q-|x|=0$有一个解,所以$q=0$. 由$r-|x|=0$,得$|x|=r$. 因为方程$r-|x|=0$有两个解,所以$r＞0$,所以$p＜q＜r$,故选A.

7 [中]已知关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，且该方程的解与关于$x$的方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$的解相同.
(1)求$a,b$的值；
(2)若关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数个解，求$m,n$的值.

7.【解】(1)因为关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程,所以$|a|-1=1,a-2≠0$,解得$a=-2$. 当$a=-2$时,方程为$-4x+4b=0$,解得$x=b$. 根据题意,将$x=b$代入方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$,得$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$,解得$b=1$.
(2)把$a=-2,b=1$代入$|m-1|y+n=a+1+2by$,可得$|m-1|y+n=-1+2y$,变形得$(|m-1|-2)y=-n-1$. 因为关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数个解,所以$|m-1|-2=0,-n-1=0$,所以$m=3$或$-1,n=-1$.