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1. 计算$\frac{b}{a} - \frac{b}{2a}$的结果是 （
A.$\frac{b}{2a}$
B.$\frac{b}{a}$
C.$\frac{a}{b}$
D.0
A
）A.$\frac{b}{2a}$
B.$\frac{b}{a}$
C.$\frac{a}{b}$
D.0
答案
1.A
2. 计算$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$的结果为 （
A.$\frac{1}{n+3}$
B.$\frac{3}{n(n+3)}$
C.$\frac{3}{n+3}$
D.$\frac{3}{n}$
B
）A.$\frac{1}{n+3}$
B.$\frac{3}{n(n+3)}$
C.$\frac{3}{n+3}$
D.$\frac{3}{n}$
答案
2.B
3. [2024 雅安] 已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0)$，则$\frac{a+ab}{a+b}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
3.C 【点拨】
∵$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0),∴2b+a=ab$，
$∴\frac{a+ab}{a+b}=\frac{a+a+2b}{a+b}=\frac{2(a+b)}{a+b}=2$。
∵$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0),∴2b+a=ab$，
$∴\frac{a+ab}{a+b}=\frac{a+a+2b}{a+b}=\frac{2(a+b)}{a+b}=2$。
4. [2025济宁月考] 小强上山和下山的路程都是$s$ km，上山的速度为$v_1$ km/h，下山的速度为$v_2$ km/h，则小强上山和下山的平均速度为（
A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ km/h
B.$\dfrac{2s}{v_1 + v_2}$ km/h
C.$\dfrac{s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}}$ km/h
D.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ km/h
D
）A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ km/h
B.$\dfrac{2s}{v_1 + v_2}$ km/h
C.$\dfrac{s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}}$ km/h
D.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ km/h
答案
4.D 【点拨】依题意，上山所用时间为$\frac{s}{v_1}$ h，下山所用时间为$\frac{s}{v_2}$ h，
∴小强上山和下山的平均速度为$\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{(v_1+v_2)s}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}(km/h)$。
∴小强上山和下山的平均速度为$\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{(v_1+v_2)s}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}(km/h)$。
5. 新视角 新定义题 定义一种新的运算“*”：对于任意实数$x,y$，$x*y=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}$，根据此定义化简$(m-1)*(m+1)$的结果为
$\frac{2}{m^2-1}$
。答案
5.$\frac{2}{m^2-1}$ 【点拨】
∵$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y},∴(m-1)*(m+1)=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m+1}=\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}-\frac{m-1}{(m+1)(m-1)}=\frac{m+1-m+1}{(m+1)(m-1)}=\frac{2}{m^2-1}$。
∵$x*y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y},∴(m-1)*(m+1)=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m+1}=\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}-\frac{m-1}{(m+1)(m-1)}=\frac{m+1-m+1}{(m+1)(m-1)}=\frac{2}{m^2-1}$。
6. 母题 教材 P153练习 T2 计算：
(1)$\frac{2}{x-1}-1$；
(2)$\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{3-x}$；
(3)$a+b+\frac{2b^2}{a-b}$。
(1)$\frac{2}{x-1}-1$；
(2)$\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{3-x}$；
(3)$a+b+\frac{2b^2}{a-b}$。
答案
6.【解】(1)原式$=\frac{2}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}=\frac{3-x}{x-1}$。
(2)原式$=\frac{6}{(x+3)(x-3)}-\frac{1}{x-3}=\frac{6}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\frac{3-x}{(x+3)(x-3)}=-\frac{1}{x+3}$。
(3)原式$=\frac{a^2-b^2}{a-b}+\frac{2b^2}{a-b}=\frac{a^2-b^2+2b^2}{a-b}=\frac{a^2+b^2}{a-b}$。
(2)原式$=\frac{6}{(x+3)(x-3)}-\frac{1}{x-3}=\frac{6}{(x+3)(x-3)}-\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\frac{3-x}{(x+3)(x-3)}=-\frac{1}{x+3}$。
(3)原式$=\frac{a^2-b^2}{a-b}+\frac{2b^2}{a-b}=\frac{a^2-b^2+2b^2}{a-b}=\frac{a^2+b^2}{a-b}$。
7. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是多项式，请写出多项式M，并将该例题的解答过程补充完整.
例 计算：$\frac{4}{M}+\frac{1}{2-a}$，并求出当$a=-3$时原式的值.
解：原式$=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{2-a}$
...
例 计算：$\frac{4}{M}+\frac{1}{2-a}$，并求出当$a=-3$时原式的值.
解：原式$=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{2-a}$
...
答案
7.【解】多项式$M=a^2-4$。
原式$=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{2-a}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{2+a}{(2+a)(2-a)}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{2+a}{(2+a)(a-2)}=\frac{4-(2+a)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-1}{a+2}=-\frac{1}{a+2}$。
当$a=-3$时，原式$=-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{-3+2}=1$。
原式$=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{2-a}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}+\frac{2+a}{(2+a)(2-a)}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{2+a}{(2+a)(a-2)}=\frac{4-(2+a)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-1}{a+2}=-\frac{1}{a+2}$。
当$a=-3$时，原式$=-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{-3+2}=1$。
8. 新趋势 跨学科 照相机成像的原理用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片（像）到镜头的距离.已知$f,v$,则$u=$（
A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
C
）A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
答案
8.C
9. 小刚在化简$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{M}$时，把整式$M$抄错了，得到的化简结果是$\frac{1}{a - b}$，他在核对时发现所抄写的$M$比原来的$M$大$2b$，则原式的化简结果是（
A.$\frac{1}{a + b}$
B.$\frac{1}{b - a}$
C.$-\frac{1}{a + b}$
D.$\frac{1}{a - b}$
A
）A.$\frac{1}{a + b}$
B.$\frac{1}{b - a}$
C.$-\frac{1}{a + b}$
D.$\frac{1}{a - b}$
答案
9.A 【点拨】小刚在抄错整式M的情况下，有$\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{1}{M}=\frac{1}{a-b},∴M=a+b$。
∵抄错的M比原来的M大2b，
∴原来的$M=a+b-2b=a-b$。
∴$\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{1}{a-b}=\frac{2a-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{1}{a+b}$。
∵抄错的M比原来的M大2b，
∴原来的$M=a+b-2b=a-b$。
∴$\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{1}{a-b}=\frac{2a-(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{1}{a+b}$。
10. 新考法 整体求值法 已知实数$x,y,z$满足$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6}$，且$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11$，则$x+y+z$的值为（
A.12
B.14
C.$\frac{22}{7}$
D.9
A
）A.12
B.14
C.$\frac{22}{7}$
D.9
答案
10.A 【点拨】
∵$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11,∴1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}=14$，即$\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}=14$。
∴$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{14}{x+y+z}$。又
∵$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6},∴\frac{14}{x+y+z}=\frac{7}{6}.∴x+y+z=12$。
∵$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11,∴1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}=14$，即$\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}=14$。
∴$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{14}{x+y+z}$。又
∵$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6},∴\frac{14}{x+y+z}=\frac{7}{6}.∴x+y+z=12$。
