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1. 先化简，再求值：$(x-2)^2 - (2x+3)(2x-3) + 3x(x+2)$，其中 $x=5$.
答案
1. 【解】原式$=x^2-4x+4-(4x^2-9)+3x^2+6x$
$=x^2-4x+4-4x^2+9+3x^2+6x$
$=2x+13.$
当 $x=5$ 时,原式$=2×5+13=10+13=23.$
$=x^2-4x+4-4x^2+9+3x^2+6x$
$=2x+13.$
当 $x=5$ 时,原式$=2×5+13=10+13=23.$
2. [2025汕头月考] 先化简，再求值：$[(3a+b)^2 - (b+3a)(3a - b) - 6b^2] ÷ 2b$，其中 $a=-\dfrac{1}{3}$，$b=-2$。
答案
2. 【解】原式$=(9a^2 + b^2 + 6ab - 9a^2 + b^2 - 6b^2 ) ÷ 2b=$
$(-4b^2 + 6ab) ÷ 2b=-2b+3a,$
当 $a=-\dfrac{1}{3},b=-2$ 时,原式$=-2×(-2)+3×$
$(-\dfrac{1}{3})=3.$
$(-4b^2 + 6ab) ÷ 2b=-2b+3a,$
当 $a=-\dfrac{1}{3},b=-2$ 时,原式$=-2×(-2)+3×$
$(-\dfrac{1}{3})=3.$
3. 先化简，再求值：$(2a-1)^2 + 6a(a+1) - (3a+2)(3a-2)$，其中$a^2 + 2a - 3 = 0$。
答案
3. 【解】$\because a^2 + 2a - 3 = 0,\therefore a^2 + 2a = 3.$
$(2a-1)^2 + 6a(a+1) - (3a+2)(3a-2) = 4a^2 - 4a + 1 +$
$6a^2 + 6a - 9a^2 + 4 = a^2 + 2a + 5 = 3 + 5 = 8.$
$(2a-1)^2 + 6a(a+1) - (3a+2)(3a-2) = 4a^2 - 4a + 1 +$
$6a^2 + 6a - 9a^2 + 4 = a^2 + 2a + 5 = 3 + 5 = 8.$
4. 已知$3x^2 - x - 3 = 0$，求代数式$(2x + 4)(2x - 4) + 2x(x - 1)$的值。
答案
4. 【解】原式$=4x^2 - 16 + 2x^2 - 2x = 6x^2 - 2x - 16.$
$\because 3x^2 - x - 3 = 0,\therefore 3x^2 - x = 3.$
$\therefore$ 原式$=2(3x^2 - x) - 16 = 2×3 - 16 = -10.$
$\because 3x^2 - x - 3 = 0,\therefore 3x^2 - x = 3.$
$\therefore$ 原式$=2(3x^2 - x) - 16 = 2×3 - 16 = -10.$
5. 先化简,再求值:$(a-3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)$,其中$a,b$满足代数式:$|a-3|+(b+1)^2=0$.
答案
5. 【解】$(a-3b)(3a+2b)-2b(5a-3b) = 3a^2 + 2ab -$
$9ab - 6b^2 - 10ab + 6b^2 = 3a^2 - 17ab.$
$\because |a-3|+(b+1)^2=0,\therefore a-3=0,b+1=0.\therefore a=3,b=$
$-1.\therefore$ 原式$=3×3^2 - 17×3×(-1)=78.$
$9ab - 6b^2 - 10ab + 6b^2 = 3a^2 - 17ab.$
$\because |a-3|+(b+1)^2=0,\therefore a-3=0,b+1=0.\therefore a=3,b=$
$-1.\therefore$ 原式$=3×3^2 - 17×3×(-1)=78.$
6. 先化简，再求值：$(a+2)^2 + (a+3)(a-3) - a(2a+b)$，其中$a,b$满足等式$\frac{1}{2}ab=2a+1$。
答案
6. 【解】$(a+2)^2 + (a+3)(a-3) - a(2a+b) = a^2 + 4a +$
$4 + a^2 - 9 - 2a^2 - ab = 4a - 5 - ab.$
$\because \frac{1}{2}ab=2a+1,\therefore ab=4a+2.$
$\therefore$ 原式$=4a - 5 - (4a + 2) = 4a - 5 - 4a - 2 = -7.$
$4 + a^2 - 9 - 2a^2 - ab = 4a - 5 - ab.$
$\because \frac{1}{2}ab=2a+1,\therefore ab=4a+2.$
$\therefore$ 原式$=4a - 5 - (4a + 2) = 4a - 5 - 4a - 2 = -7.$
7.已知$A=(2x+1)(x-2)-x(1-3m), B=-x^2+mx-1$,且$A+2B$的值与$x$的取值无关,求$m$的值.
答案
7. 【解】$\because A=(2x+1)(x-2)-x(1-3m),B=-x^2+$
$mx-1,\therefore A+2B=(2x+1)(x-2)-x(1-3m)+$
$2(-x^2+mx-1)=2x^2-4x+x-2-x+3mx-2x^2+$
$2mx-2=(5m-4)x-4.$
$\because A+2B$ 的值与 $x$ 的取值无关,
$\therefore 5m-4=0.\therefore m=\dfrac{4}{5}.$
$mx-1,\therefore A+2B=(2x+1)(x-2)-x(1-3m)+$
$2(-x^2+mx-1)=2x^2-4x+x-2-x+3mx-2x^2+$
$2mx-2=(5m-4)x-4.$
$\because A+2B$ 的值与 $x$ 的取值无关,
$\therefore 5m-4=0.\therefore m=\dfrac{4}{5}.$
8. 已知关于$x$的多项式$x^2 + nx$与$mx^2 + x - 1$的乘积展开式中不含$x^4$项和$x^2$项，求$(m - n)^{2025} + n^{-1}$的值。
答案
8. 【解】$(x^2 + nx)(mx^2 + x - 1) = mx^4 + mnx^3 + x^3 +$
$nx^2 - x^2 - nx = mx^4 + (mn+1)x^3 + (n-1)x^2 - nx.$
$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $x^2 + nx$ 与 $mx^2 + x - 1$ 的乘积展开式中不含 $x^4$ 项和 $x^2$ 项,$\therefore m=0,n-1=0.\therefore n=1.$
$\therefore (m-n)^{2025} + n^{-1} = (0-1)^{2025} + 1^{-1} = -1 + 1 = 0.$
$nx^2 - x^2 - nx = mx^4 + (mn+1)x^3 + (n-1)x^2 - nx.$
$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $x^2 + nx$ 与 $mx^2 + x - 1$ 的乘积展开式中不含 $x^4$ 项和 $x^2$ 项,$\therefore m=0,n-1=0.\therefore n=1.$
$\therefore (m-n)^{2025} + n^{-1} = (0-1)^{2025} + 1^{-1} = -1 + 1 = 0.$
