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8. /新考向 数学文化 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”。
观察“杨辉三角”与其右侧的等式图，根据图中各式的规律，$(a+b)^7$展开的多项式中各项系数之和为（
A.64
B.120
C.128
D.130
观察“杨辉三角”与其右侧的等式图，根据图中各式的规律，$(a+b)^7$展开的多项式中各项系数之和为（
C
）A.64
B.120
C.128
D.130
答案
8.C
9.若$(2027^2 - 4)(2026^2 - 4)=2029×2025×2024m$，则$m$的值是________.
答案
9.2 028 【点拨】$\because (2\ 027^2 - 4)(2\ 026^2 - 4)=2\ 029×2\ 025×2\ 024m$, $\therefore (2\ 027 + 2)(2\ 027 - 2)(2\ 026 + 2)(2\ 026 - 2)=2\ 029×2\ 025×2\ 028×2\ 024=2\ 029×2\ 025×2\ 024m$. $\therefore m=2\ 028$.
10. [2025南阳月考] 如图，两个正方形边长分别为$a,b$,如果$a+b=8$,$ab=12$,则阴影部分的面积为
14
.答案
10.14 【点拨】$S_{阴影}=\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b(a-b)=\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$. $\because a+b=8$, $\therefore (a+b)^2=64$, $\therefore a^2+2ab+b^2=64$. $\therefore a^2+b^2=64-2ab=64-2×12=40$. $\therefore S_{阴影}=\dfrac{1}{2}×(40-12)=14$.
11.计算：$\dfrac{20272026^2}{20272025^2 + 20272027^2 - 2}$
答案
11.【解】设$20\ 272\ 026=m$,则原式$=\dfrac{m^2}{(m-1)^2+(m+1)^2-2}=\dfrac{m^2}{(m^2-2m+1)+(m^2+2m+1)-2}=\dfrac{m^2}{2m^2}=\dfrac{1}{2}$.
12. [2025泉州期中]【阅读理解】把完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$适当地变形，如：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$等，再结合整体思想可解决很多数学问题.
例如:若$x$满足$(60-x)(x-40)=20$,求$(60-x)^2+(x-40)^2$的值.
解:设$60-x=a,x-40=b$,则$ab=20,a+b=60-x+x-40=20$,
$\therefore (60-x)^2+(x-40)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×20=360$.
【类比探究】
(1)若$x$满足$(70-x)(x-20)=-30$,求$(70-x)^2+(x-20)^2$的值;
(2)若$x$满足$(2025-4x)(x-504)=3$,求$(2025-4x)^2+16(x-504)^2$的值;
【解决问题】
(3)如图,正方形$ABCD$和正方形$MFNP$重叠,其重叠部分是一个长方形,分别延长$AD$,$CD$,交$NP$和$MP$于$H$,$Q$两点,构成的四边形$NGDH$和$MEDQ$都是正方形,四边形$PQDH$是长方形.若$AE=10$,$CG=20$,长方形$EFGD$的面积为200.求正方形$MFNP$的面积.
例如:若$x$满足$(60-x)(x-40)=20$,求$(60-x)^2+(x-40)^2$的值.
解:设$60-x=a,x-40=b$,则$ab=20,a+b=60-x+x-40=20$,
$\therefore (60-x)^2+(x-40)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×20=360$.
【类比探究】
(1)若$x$满足$(70-x)(x-20)=-30$,求$(70-x)^2+(x-20)^2$的值;
(2)若$x$满足$(2025-4x)(x-504)=3$,求$(2025-4x)^2+16(x-504)^2$的值;
【解决问题】
(3)如图,正方形$ABCD$和正方形$MFNP$重叠,其重叠部分是一个长方形,分别延长$AD$,$CD$,交$NP$和$MP$于$H$,$Q$两点,构成的四边形$NGDH$和$MEDQ$都是正方形,四边形$PQDH$是长方形.若$AE=10$,$CG=20$,长方形$EFGD$的面积为200.求正方形$MFNP$的面积.
答案
12.【解】(1)设$70-x=a,x-20=b$,则$ab=-30,a+b=70-x+x-20=50$,
$\therefore (70-x)^2+(x-20)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=50^2-2×(-30)=2\ 560$.
(2)$\because (2\ 025-4x)(x-504)=3$,
$\therefore (2\ 025-4x)(4x-2\ 016)=3×4=12$,
设$2\ 025-4x=m,4x-2\ 016=n$,
$\therefore m+n=9,mn=12$,
$\therefore (2\ 025-4x)^2 + 16 (x-504)^2 = (2\ 025-4x)^2 + (4x-2\ 016)^2 = m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 9^2 - 2×12=57$.
(3)设$AD=DC=y$,则$ED=AD-AE=y-10,DG=CD-CG=y-20$.
由题意得$S_{长方形EFGD}=DE·DG=(y-10)(y-20)=200$,
$FN=FG+GN=ED+DG=(y-10)+(y-20)$,
$\therefore S_{正方形MFNP}=FN^2=[(y-10)+(y-20)]^2$.
设$y-10=p,y-20=q$,则$pq=200,p-q=y-10-(y-20)=10$.
$\therefore S_{正方形MFNP}=(p+q)^2=(p-q)^2+4pq=10^2+4×200=900$.
$\therefore$正方形$MFNP$的面积为900.
$\therefore (70-x)^2+(x-20)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=50^2-2×(-30)=2\ 560$.
(2)$\because (2\ 025-4x)(x-504)=3$,
$\therefore (2\ 025-4x)(4x-2\ 016)=3×4=12$,
设$2\ 025-4x=m,4x-2\ 016=n$,
$\therefore m+n=9,mn=12$,
$\therefore (2\ 025-4x)^2 + 16 (x-504)^2 = (2\ 025-4x)^2 + (4x-2\ 016)^2 = m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 9^2 - 2×12=57$.
(3)设$AD=DC=y$,则$ED=AD-AE=y-10,DG=CD-CG=y-20$.
由题意得$S_{长方形EFGD}=DE·DG=(y-10)(y-20)=200$,
$FN=FG+GN=ED+DG=(y-10)+(y-20)$,
$\therefore S_{正方形MFNP}=FN^2=[(y-10)+(y-20)]^2$.
设$y-10=p,y-20=q$,则$pq=200,p-q=y-10-(y-20)=10$.
$\therefore S_{正方形MFNP}=(p+q)^2=(p-q)^2+4pq=10^2+4×200=900$.
$\therefore$正方形$MFNP$的面积为900.
