1. 相遇问题:甲的路程 + = 全程。
2. 追及问题:快者的路程 - = 追及前慢者与快者之间的距离。
3. 顺流速度 = + ；逆流速度 = - 。
◆典例导学◆
▶例甲、乙两人在一条长400 m的环形跑道上跑步,甲的速度为360 m/min,乙的速度是240 m/min。
(1)两人同时同地同向跑,则第一次相遇时,两人一共跑了多少圈?
(2)两人同时同地反向跑,则几秒后两人第一次相遇?
【思路分析】(1)题实质上是追及问题,两人第一次相遇,实际上就是快者追上慢者一圈,其等量关系是追上时,甲走的路程 - 乙走的路程 = 400 m;(2)题实质上是相遇问题,两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长,其等量关系是相遇时,甲走的路程 + 乙走的路程 = 400 m。
【自主解答】

1. 乙的路程
2. 慢者的路程
3. 静水速度 水流速度 静水速度 水流速度
(1)设x min后两人第一次相遇,由题意,得
$360x - 240x = 400$,解得 $x = \frac{10}{3}$。
$(\frac{10}{3}×360 + \frac{10}{3}×240)÷400 = 5$(圈)。
答:两人一共跑了5圈。
(2)设x min后两人第一次相遇,由题意,得 360x + 240x = 400,解得 $x = \frac{2}{3}$(min) = 40(s)。
答:40 s后两人第一次相遇。

知识点一 一般行程问题
1. 小明早晨上学时,每小时走5 km,中午放学沿原路回家时,每小时走4 km,结果回家所用的时间比上学所用的时间多15 min,问小明家离学校多远。设小明家离学校有x km,那么可列方程是。
2. 学校到县城有28 km,除乘公共汽车以外,还需步行一段路程,公共汽车的速度为36 km/h,步行的速度为4 km/h,全程共需1 h,则步行所用时间是h。

1. $\frac{x}{5}+\frac{1}{4}=\frac{x}{4}$
2. 0.25

知识点二 相遇问题
3. 小明和小刚从相距25.2 km的两地同时相向而行，小明每小时走4 km，3 h后两人相遇，设小刚的速度为x km/h，列方程得。
4. 某地甲、乙两站间的路程为365 km。一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶65 km，慢车行驶1 h后，有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85 km。快车行驶h后与慢车相遇。

3. 3(4+x)=25.2
4. 2

▶知识点三 追及问题
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书,有一道题目:“今有良马日行二百四十里。驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日,问良马几何日追及之。”译文:快马每天走240里,慢马每天走150里。慢马先走12天,快马几天可以追上慢马。”若慢马和快马从同一地点出发,设快马x天可以追上慢马,则可以列方程为。
6. 小明每分钟走90步,小亮每分钟走60步,小明和小亮两人从同一地点出发,且两人的步长相等,若小亮先走100步,然后小明去追赶,则小明要走步才能追到小亮。

5. 150x + 150×12 = 240x
6. 300

知识点四 工程问题
7. 一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做要60天完成，甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作x天完成这项工程，则可列方程为。

7. $\frac{4}{40}+\frac{x}{40}+\frac{x}{60}=1$