1[2026山东青岛期末]如图是某小组做“用频率估计概率”的试验时绘制的折线图，则符合这一结果的试验是（）


A.从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》
B.抛两枚质地均匀的硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C.掷一个质地均匀的正六面体的骰子，朝上一面的点数是3的倍数
D.从一个装有两个红球和一个黑球的袋子中任取一个球，取到的是红球

【解析】根据题图可知,试验的频率在0.33附近波动,则估计试验的概率为0.33. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书,取到的是《西游记》的概率是$\frac{1}{4}$,A选项不符合题意;抛两枚质地均匀的硬币,一枚正面朝上,一枚反面朝上的概率是$\frac{1}{2}$,B选项不符合题意;掷一个质地均匀的正六面体的骰子,朝上一面的点数是3的倍数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.33$,C选项符合题意;从一个装有两个红球和一个黑球的袋子中任取一个球,取到的是红球的概率是$\frac{2}{3}$,D选项不符合题意. 故选 C.

【分析】
解决这类题的思路分两步：第一步，观察频率折线图，找到频率稳定在哪个数值附近，这个数值就是对应事件的概率估计值；第二步，分别计算四个选项中事件的概率，选出概率和估计值一致的选项即可。
【解析】
观察折线图可知，试验的频率稳定在0.33附近，因此估计该试验的概率约为0.33。
对各选项逐一计算概率：
A选项：一套四大名著共4本书，任取一本取到《西游记》的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，与0.33不符，排除；
B选项：抛两枚硬币，所有等可能结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）共4种，一枚正面朝上一枚反面朝上的结果有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$，与0.33不符，排除；
C选项：掷正六面体骰子，朝上的点数共6种等可能结果，其中是3的倍数的点数为3、6，共2种，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.33$，符合要求；
D选项：袋子中共3个球，其中红球2个，任取一个取到红球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，与0.33不符，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算
【点评】
本题核心考查频率与概率的关系，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，解题时先通过折线图得到概率的估计值，再结合古典概型的计算方法比对各选项即可，是概率部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7

2[2026河北唐山期末]广东省大陆海岸线长居全国第一,森林、湿地资源丰富,候鸟数量庞大、种类繁多.为了解某湿地公园大白鹭的数量情况,从中捕捉50只大白鹭,戴上识别卡后放回,经过一段时间后发现,捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右,由此估计该湿地公园约有只大白鹭.

【解析】设该湿地公园约有x只大白鹭,则$\frac{50}{x}=0.1$,解得$x=500$,经检验,$x=500$是分式方程的解,且符合题意. 故估计该湿地公园约有500只大白鹭. 故答案为500.

【分析】
本题是利用标记重捕法估算生物数量的实际问题，核心解题依据是：当重复试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近。解题思路为：先设湿地公园大白鹭的总数量为未知数，根据“标记个体数占总数量的比例 = 重捕中有标记的频率”这一等量关系列方程，再求解方程并检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设该湿地公园约有$ x $只大白鹭，
根据标记个体占总数量的比例等于稳定频率，可列方程：
$\frac{50}{x}=0.1$
解方程得：$ x = 50 ÷ 0.1 = 500 $
经检验，$ x=500 $是原分式方程的解，且符合实际情况。
【答案】
500
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用
【点评】
本题结合生态保护的实际场景出题，既考查了频率与概率的关系，也涉及分式方程的求解与实际检验，属于基础应用题，解题的关键是找准等量关系列方程，同时注意分式方程的解要符合实际意义。
【难度系数】
0.8

3[2025山东济宁调研]为验证“掷一个质地均匀的正方体骰子,标有数字1的面朝上的概率是$\frac{1}{6}$”,某同学设计了下面两个模拟试验:①取一个崭新的质地均匀的正方体骰子,在平滑的地面上做反复投掷试验,计算标有数字1的面朝上的次数与总投掷次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份,并依次标上数字1,2,3,4,5,6,转动转盘,计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值(指针落在分界线处则不计次数).你认为下面说法正确的是 ()

A.试验①科学
B.试验②科学
C.两个试验都不科学
D.两个试验都科学

【解析】①取一个崭新的质地均匀的正方体骰子,在平滑的地面上做反复投掷试验,标有数字1的面朝上的概率是$\frac{1}{6}$;②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份,并依次标上数字1,2,3,4,5,6,转动转盘,指针落在标有数字1区域的概率是$\frac{1}{6}$,两个试验都科学. 故选 D.

【分析】
要判断两个模拟试验是否科学，核心看两点：一是试验的所有可能结果是否等可能，二是目标事件发生的概率是否和待验证的“掷均匀骰子1朝上的概率为$\frac{1}{6}$”一致，满足这两点的话，大量重复试验得到的频率就能用来估计对应概率，达到验证目的。先分析试验①：使用的是质地均匀的正方体骰子，投掷时6个面朝上的可能性相等，标1的面朝上的概率恰好是$\frac{1}{6}$，符合要求。再分析试验②：均匀转盘被平均分成6份，每份面积相等，指针落在每个区域的可能性相等，标1的区域占总区域的$\frac{1}{6}$，指针落在1区域的概率也是$\frac{1}{6}$，也符合要求。
【解析】
判断模拟试验是否科学，需验证试验的所有结果等可能，且目标事件的概率与待验证的概率一致。
① 质地均匀的正方体骰子投掷时，6个面朝上的可能性相等，标有数字1的面朝上的概率为$\frac{1}{6}$，大量重复试验下，1朝上的次数与总次数的比值（频率）会逐渐趋近于$\frac{1}{6}$，可以实现验证目的，试验科学；
② 质地均匀的圆形转盘被平均分成6份，指针落在每个区域的可能性相等，标有数字1的区域占总区域的$\frac{1}{6}$，因此指针落在1区域的概率为$\frac{1}{6}$，大量重复试验下的对应频率可用来验证目标概率，试验也科学。
因此两个试验都科学，故选D。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；模拟试验合理性判断；等可能事件概率
【点评】
解决这类问题的关键是判断模拟试验的设计是否符合要求，只要满足所有结果等可能、目标事件的概率和待验证概率一致，就可以通过大量重复试验用频率估计概率，完成验证。
【难度系数】
0.8

4 教材拓展，[2025 贵州贵阳质检]阅读下列材料:模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验.例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时,可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖,这样每个人的生肖都对应着1个球.6个人中有2个人生肖相同,就意味着6个球中有2个球的号码相同.因此,可在口袋中放入这样的12个球,从中随机摸出1个球,记下它的号码,放回去;再从中随机摸出1个球,记下它的号码,放回去……直至摸到第6个球,记下第6个号码,到此为一次模拟试验.重复多次这样的模拟试验,即可估计6个人中有2个人生肖相同的概率.小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验,他们重复了多次这样的模拟试验,根据试验结果制成的统计表如下:
| 试验总次数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 | 1 000 | 1 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 有2个号码相同的次数 | 38 | | 160 | 234 | 395 | 810 | 1 185 |
| 有2个号码相同的频率 | 0.76 | 0.75 | 0.80 | 0.78 | 0.79 | k | 0.79 |
(1)表格中k的值为.
(2)根据表格中的数据可估计6个人中有2个人生肖相同的概率是. (精确到0.1)
(3)若利用上面的模拟试验方法估计5个人中有3个人出生月份相同的概率,则需要准备个球,一次模拟试验需要记录个号码.

【解析】(1)表格中k的值为$\frac{810}{1000}=0.81$. 故答案为0.81.
(2)根据表格中的数据可估计6个人中有2个人生肖相同的概率是0.8. 故答案为0.8.
(3)12个不同的出生月份,对应12个大小相同、编有号码的球,每个人的出生月份都对应着1个号码,每次取1个球,记下号码后再放回,共取5次即为一次模拟试验,重复多次此试验即可估计5个人中有3个人出生月份相同的概率,因此需要准备12个球,一次模拟试验需要记录5个号码. 故答案为12,5.

【分析】
(1) 求k的值要依据频率的计算公式：频率=频数÷试验总次数，找到总次数为1000时对应的有2个号码相同的次数，代入公式计算即可。
(2) 根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率，观察表格中频率的稳定值，按要求取近似值即可。
(3) 模拟试验中替代物的数量要对应实际场景的分类数：出生月份共12种，因此球的数量和月份数相等；要统计5个人的出生月份情况，一次试验就需要记录对应人数的号码数。
【解析】
(1) 当试验总次数为1000时，有2个号码相同的次数是810，根据频率计算公式可得：$k=\frac{810}{1000}=0.81$。
(2) 观察表格中的频率数据，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.79附近，精确到0.1，因此估计6个人中有2个人生肖相同的概率为0.8。
(3) 出生月份共有12种，因此需要准备12个编号不同的球对应12个月份；要估计5个人的出生月份情况，一次模拟试验需要摸5次球，即记录5个号码。
【答案】
(1) 0.81；(2) 0.8；(3) 12，5
【知识点】
频率的计算、用频率估计概率、模拟试验设计
【点评】
本题结合生活场景考查概率相关基础内容，侧重对概念的理解与应用，需要掌握频率的计算方法，理解频率和概率的关系，明确模拟试验中替代物和实际对象的对应逻辑。
【难度系数】
0.8