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1[2025陕西西安校级质检,中]在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数分布表：
试验种子个数$n$：5，50，100，200，500，1000，2000，3000
发芽种子数$m$：4，45，92，
，476，951，1900，2850
发芽频率$\frac{m}{n}$：0.80，0.90，0.92，0.94，0.952，0.951，0.95，0.95
根据试验结果,若要使发芽种子个数至少为2500,则以下四个数与至少需要的试验种子个数最接近的为 (
A.2500
B.2700
C.2800
D.3000
试验种子个数$n$：5，50，100，200，500，1000，2000，3000
发芽种子数$m$：4，45，92，
，476，951，1900，2850发芽频率$\frac{m}{n}$：0.80，0.90，0.92，0.94，0.952，0.951，0.95，0.95
根据试验结果,若要使发芽种子个数至少为2500,则以下四个数与至少需要的试验种子个数最接近的为 (
B
)A.2500
B.2700
C.2800
D.3000
答案
【解析】观察题表可得种子发芽的概率估计值为0.95. 设需要的试验种子个数为x. 根据题意,得$0.95x=2500$,解得$x\approx2632.$
∴要使发芽种子个数至少为2500,与至少需要的试验种子个数最接近的数为2700,故选 B.
∴要使发芽种子个数至少为2500,与至少需要的试验种子个数最接近的数为2700,故选 B.
解析
【分析】
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察表格中发芽频率的变化趋势，确定种子发芽概率的估计值；再根据“发芽种子数=试验种子总数×发芽概率”的关系，设出试验种子总数，结合发芽种子至少为2500的要求列式计算，最后对比选项选出最接近的数值即可。
【解析】
观察表格数据可知，随着试验种子个数$n$的增大，发芽频率逐渐稳定在0.95附近，因此可估计该小麦种子的发芽概率为0.95。
设需要的试验种子个数为$x$，根据题意得：
$0.95x≥2500$
解得$x≥2500÷0.95\approx2631.6$
即至少需要约2632粒试验种子，对比选项，与2632最接近的是2700。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题考查频率估计概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时要注意结合实际需求选取合适的近似值，避免因取值过小无法满足发芽种子数的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察表格中发芽频率的变化趋势，确定种子发芽概率的估计值；再根据“发芽种子数=试验种子总数×发芽概率”的关系，设出试验种子总数，结合发芽种子至少为2500的要求列式计算，最后对比选项选出最接近的数值即可。
【解析】
观察表格数据可知，随着试验种子个数$n$的增大，发芽频率逐渐稳定在0.95附近，因此可估计该小麦种子的发芽概率为0.95。
设需要的试验种子个数为$x$，根据题意得：
$0.95x≥2500$
解得$x≥2500÷0.95\approx2631.6$
即至少需要约2632粒试验种子，对比选项，与2632最接近的是2700。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题考查频率估计概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时要注意结合实际需求选取合适的近似值，避免因取值过小无法满足发芽种子数的要求。
【难度系数】
0.7
2[中]如图(1)所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图(2)所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
7
m²(结果取整数)。答案
【解析】设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$,由已知得长方形面积为$20\ \mathrm{m}^2$,则小球落在不规则图案上的概率为$\frac{x}{20}$. 当事件A试验次数足够多,即样本足够大时,其频率可作为事件A发生概率的估计值,故由折线图可知,小球落在不规则图案上的概率大约为0.35,所以$\frac{x}{20}=0.35$,解得$x=7$. 故答案为7.
解析
【分析】
要计算不规则图案的面积，可结合用频率估计概率和几何概率的知识求解：①先计算出围住不规则图案的长方形的面积，几何概率中，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值；②观察折线统计图，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，从图中可发现频率稳定在0.35左右，即可将0.35作为小球落在不规则图案内的概率估计值；③结合概率公式列方程，即可求解不规则图案的面积。
【解析】
设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$。
首先计算长方形的面积：$5×4=20(\mathrm{m}^2)$。
根据几何概率的意义，小球落在不规则图案上的概率为$\frac{x}{20}$。
根据用频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率可作为其发生概率的估计值，由折线图可知，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.35附近，因此估计该事件发生的概率为0.35。
由此列方程：$\frac{x}{20}=0.35$
解得：$x=20×0.35=7$
【答案】
7
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，概率公式
【点评】
本题结合实际测量不规则图形面积的场景，考查了频率与概率的关系以及几何概率的计算，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，再结合概率公式求解未知量，体现了数学方法在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.65
要计算不规则图案的面积，可结合用频率估计概率和几何概率的知识求解：①先计算出围住不规则图案的长方形的面积，几何概率中，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值；②观察折线统计图，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，从图中可发现频率稳定在0.35左右，即可将0.35作为小球落在不规则图案内的概率估计值；③结合概率公式列方程，即可求解不规则图案的面积。
【解析】
设不规则图案的面积为$x\ \mathrm{m}^2$。
首先计算长方形的面积：$5×4=20(\mathrm{m}^2)$。
根据几何概率的意义，小球落在不规则图案上的概率为$\frac{x}{20}$。
根据用频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率可作为其发生概率的估计值，由折线图可知，小球落在不规则图案内的频率稳定在0.35附近，因此估计该事件发生的概率为0.35。
由此列方程：$\frac{x}{20}=0.35$
解得：$x=20×0.35=7$
【答案】
7
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，概率公式
【点评】
本题结合实际测量不规则图形面积的场景，考查了频率与概率的关系以及几何概率的计算，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，再结合概率公式求解未知量，体现了数学方法在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.65
3[2026陕西西安质检,中]在一个不透明的箱子中装有2张白色卡片和若干张红色卡片,这些卡片除颜色外无其他差别,某校动感社团的同学们做试验:将卡片搅匀后从中任意摸出1张,记下颜色后放回,记为一次试验.
(1)若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率在0.4附近摆动,则箱子中的红色卡片约有
(2)在(1)的条件下,请用列表或画树状图的方法,求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率.
(1)若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率在0.4附近摆动,则箱子中的红色卡片约有
3
张;(2)在(1)的条件下,请用列表或画树状图的方法,求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率.
答案
【解】(1)由题意可估计摸到白色卡片的概率为0.4. 设箱子中的红色卡片有x张,$\therefore \frac{2}{x+2}=0.4$,解得$x=3$,经检验,$x=3$是原方程的解,且符合题意,$\therefore$箱子中的红色卡片约有3张,故答案为3.
(2)将2张白色卡片分别记为白1,白2,将3张红色卡片分别记为红1,红2,红3.
画树状图如图所示:
一共有25种等可能的结果,其中两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的有13种,$\therefore$两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率为$\frac{13}{25}$.
解析
【分析】
(1) 大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值，因此本题摸到白色卡片的概率可估计为0.4。设红色卡片有x张，根据概率公式“事件概率=对应情况数÷总情况数”，以白色卡片的概率为等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程要检验解是否符合题意。
(2) 本题为放回型摸球试验，两次摸卡片的结果相互独立，通过画树状图可完整列出所有等可能的结果，再筛选出两次颜色相同的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
(1) 由题意可知，摸到白色卡片的概率可估计为0.4。
设箱子中的红色卡片有$x$张，根据概率公式列方程：
$\frac{2}{x+2}=0.4$
解得$x=3$，经检验，$x=3$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 将2张白色卡片记为白1、白2，3张红色卡片记为红1、红2、红3，由于是放回试验，画树状图如下：
由树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的卡片颜色恰好相同的结果有13种。
因此所求概率为$\frac{13}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{\frac{13}{25}}$，树状图：
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用、树状图法求概率
【点评】
本题是概率部分的常规考题，结合了频率估计概率和古典概率计算两个考点，解题时注意分式方程需要验根，列举试验结果时不要漏算、错算，掌握概率的基本计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值，因此本题摸到白色卡片的概率可估计为0.4。设红色卡片有x张，根据概率公式“事件概率=对应情况数÷总情况数”，以白色卡片的概率为等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程要检验解是否符合题意。
(2) 本题为放回型摸球试验，两次摸卡片的结果相互独立，通过画树状图可完整列出所有等可能的结果，再筛选出两次颜色相同的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
(1) 由题意可知，摸到白色卡片的概率可估计为0.4。
设箱子中的红色卡片有$x$张，根据概率公式列方程：
$\frac{2}{x+2}=0.4$
解得$x=3$，经检验，$x=3$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 将2张白色卡片记为白1、白2，3张红色卡片记为红1、红2、红3，由于是放回试验，画树状图如下：
由树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的卡片颜色恰好相同的结果有13种。
因此所求概率为$\frac{13}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{\frac{13}{25}}$，树状图：
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用、树状图法求概率
【点评】
本题是概率部分的常规考题，结合了频率估计概率和古典概率计算两个考点，解题时注意分式方程需要验根，列举试验结果时不要漏算、错算，掌握概率的基本计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4[2025北京海淀区质检，较难]在学习“用频率估计概率”这一节时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出一个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是这个试验中摸出一个球是红球的结果。
(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表法求摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的概率；
(3)在这个不透明的帆布袋中再放入n个白球，那么(2)中所求的概率将变为
(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
0.75
，其中红球的个数是3
；(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表法求摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的概率；
(3)在这个不透明的帆布袋中再放入n个白球，那么(2)中所求的概率将变为
$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$
（用含n的式子表示）。答案
【解】(1)由题图可知,随着摸球次数的增加,摸出红球的频率逐渐稳定在0.75附近,则可估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75,其中红球的个数是$4×0.75=3$. 故答案为0.75,3.
(2)将3个红球分别记为红1,红2,红3,列表如下:
| | 红1 | 红2 | 红3 | 白 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 红1 | | 红1,红2 | 红1,红3 | 红1,白 |
| 红2 | 红2,红1 | | 红2,红3 | 红2,白 |
| 红3 | 红3,红1 | 红3,红2 | | 红3,白 |
| 白 | 白,红1 | 白,红2 | 白,红3 | |
从表中可以看出,从不透明的帆布袋中同时摸出两个球,可能出现的结果共有12种,且这些结果出现的可能性相等,其中摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的结果共有6种,概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(3)在这个不透明的帆布袋中再放入n个白球后,同时摸出两个球,易知可能出现的结果共有$(n+4)(n+3)=(n^2+7n+12)$种,且这些结果出现的可能性相等,其中摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的结果共有$(n+1)×3×2=(6n+6)$种,则所求概率为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$. 故答案为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$.
(2)将3个红球分别记为红1,红2,红3,列表如下:
| | 红1 | 红2 | 红3 | 白 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 红1 | | 红1,红2 | 红1,红3 | 红1,白 |
| 红2 | 红2,红1 | | 红2,红3 | 红2,白 |
| 红3 | 红3,红1 | 红3,红2 | | 红3,白 |
| 白 | 白,红1 | 白,红2 | 白,红3 | |
从表中可以看出,从不透明的帆布袋中同时摸出两个球,可能出现的结果共有12种,且这些结果出现的可能性相等,其中摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的结果共有6种,概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(3)在这个不透明的帆布袋中再放入n个白球后,同时摸出两个球,易知可能出现的结果共有$(n+4)(n+3)=(n^2+7n+12)$种,且这些结果出现的可能性相等,其中摸出的两个球刚好是一个红球和一个白球的结果共有$(n+1)×3×2=(6n+6)$种,则所求概率为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$. 故答案为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$.
解析
【分析】
(1) 根据频率与概率的关系：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。观察统计图，摸球次数越多，红球频率越接近0.75，因此可估计摸出红球的概率为0.75；已知总球数为4，红球个数=总球数×摸出红球的概率，代入计算即可。
(2) 先确定袋中球的构成：3个红球、1个白球，用列表法列出同时摸出两个球的所有等可能结果，再统计“一红一白”的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(3) 放入n个白球后，白球数量变为(n+1)个，总球数变为(n+4)个。先计算同时摸两个球的总等可能结果数，再计算一红一白的结果数，最后代入概率公式化简即可得到含n的表达式。
【解析】
(1) 由题图可知，随着摸球次数增加，摸出红球的频率逐渐稳定在0.75附近，因此估计随机摸出一个红球的概率为0.75；
红球个数为：$4×0.75=3$。
(2) 袋中有3个红球、1个白球，将3个红球分别记为红1、红2、红3，白球记为白，列表如下：
| | 红1 | 红2 | 红3 | 白 |
| ---- | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 红1 | | 红1,红2| 红1,红3| 红1,白 |
| 红2 | 红2,红1| | 红2,红3| 红2,白 |
| 红3 | 红3,红1| 红3,红2| | 红3,白 |
| 白 | 白,红1 | 白,红2 | 白,红3 | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出一红一白的结果有6种，因此概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3) 放入n个白球后，白球总数为$(n+1)$个，总球数为$(n+4)$个：
同时摸两个球的总等可能结果数为$(n+4)(n+3)=n^2+7n+12$；
摸出一红一白的结果数为$3×(n+1)×2=6n+6$；
因此所求概率为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$。
【答案】
(1) $\boxed{0.75}$，$\boxed{3}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
(3) $\boxed{\dfrac{6n+6}{n^2+7n+12}}$
【知识点】
用频率估计概率；列表法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，综合考查了频率与概率的关系、古典概型的概率计算，既需要学生掌握频率估计概率的原理，也需要熟练使用列表法计数，第三问结合代数式考查概率的动态变化，要求学生准确计数不同情况的结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.6
(1) 根据频率与概率的关系：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。观察统计图，摸球次数越多，红球频率越接近0.75，因此可估计摸出红球的概率为0.75；已知总球数为4，红球个数=总球数×摸出红球的概率，代入计算即可。
(2) 先确定袋中球的构成：3个红球、1个白球，用列表法列出同时摸出两个球的所有等可能结果，再统计“一红一白”的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(3) 放入n个白球后，白球数量变为(n+1)个，总球数变为(n+4)个。先计算同时摸两个球的总等可能结果数，再计算一红一白的结果数，最后代入概率公式化简即可得到含n的表达式。
【解析】
(1) 由题图可知，随着摸球次数增加，摸出红球的频率逐渐稳定在0.75附近，因此估计随机摸出一个红球的概率为0.75；
红球个数为：$4×0.75=3$。
(2) 袋中有3个红球、1个白球，将3个红球分别记为红1、红2、红3，白球记为白，列表如下：
| | 红1 | 红2 | 红3 | 白 |
| ---- | ------ | ------ | ------ | ------ |
| 红1 | | 红1,红2| 红1,红3| 红1,白 |
| 红2 | 红2,红1| | 红2,红3| 红2,白 |
| 红3 | 红3,红1| 红3,红2| | 红3,白 |
| 白 | 白,红1 | 白,红2 | 白,红3 | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出一红一白的结果有6种，因此概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(3) 放入n个白球后，白球总数为$(n+1)$个，总球数为$(n+4)$个：
同时摸两个球的总等可能结果数为$(n+4)(n+3)=n^2+7n+12$；
摸出一红一白的结果数为$3×(n+1)×2=6n+6$；
因此所求概率为$\frac{6n+6}{n^2+7n+12}$。
【答案】
(1) $\boxed{0.75}$，$\boxed{3}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
(3) $\boxed{\dfrac{6n+6}{n^2+7n+12}}$
【知识点】
用频率估计概率；列表法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，综合考查了频率与概率的关系、古典概型的概率计算，既需要学生掌握频率估计概率的原理，也需要熟练使用列表法计数，第三问结合代数式考查概率的动态变化，要求学生准确计数不同情况的结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.6
