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1 [2025 西藏]如图，$△ ABC$ 为等腰三角形，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 延长线上的一点，$∠ ACD=110°$，则$∠ A$ 的度数为（
A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
C
）A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先观察图形，∠ACD与△ABC的底角∠ACB是邻补角，可先根据邻补角和为180°求出∠ACB的度数；再结合AB=AC的等腰三角形性质，得到两个底角∠B和∠ACB相等；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵ ∠ACD与∠ACB互为邻补角，
∴ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
已知∠ACD=110°，
∴ ∠ACB = 180° - 110° = 70°。
又
∵ AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = 70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 70° -70° = 40°。
【答案】
C
【知识点】
1. 邻补角性质 2. 等腰三角形的性质 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是先利用邻补角关系求出等腰三角形的底角度数，再进一步计算顶角，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，∠ACD与△ABC的底角∠ACB是邻补角，可先根据邻补角和为180°求出∠ACB的度数；再结合AB=AC的等腰三角形性质，得到两个底角∠B和∠ACB相等；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵ ∠ACD与∠ACB互为邻补角，
∴ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
已知∠ACD=110°，
∴ ∠ACB = 180° - 110° = 70°。
又
∵ AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = 70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 70° -70° = 40°。
【答案】
C
【知识点】
1. 邻补角性质 2. 等腰三角形的性质 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是先利用邻补角关系求出等腰三角形的底角度数，再进一步计算顶角，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2 [2024 兰州]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=130°$，$DA⊥ AC$，则$∠ ADB$的度数为（
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
B
）A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和180°，计算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质求出底角的度数，再结合垂直的定义和角度运算关系求解，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和180°，计算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质求出底角的度数，再结合垂直的定义和角度运算关系求解，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3 已知$△ ABC$为等腰三角形，且$∠ A=120°$，则$∠ B=$
30°
。答案
3. 30°
解析
【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理思考：等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此等腰三角形的底角一定是锐角，若底角≥90°，两个底角之和就会≥180°，不符合内角和要求。首先判断120°的∠A只能是等腰三角形的顶角，剩余的∠B和∠C是相等的底角，再用内角和减去顶角度数后平分就能得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，
∴等腰三角形的两个底角相等，
又
∵三角形内角和为180°，∠A=120°，
若∠A为底角，则两个底角的和为120°×2=240°＞180°，不符合三角形内角和定理，
∴∠A只能是等腰三角形的顶角，∠B和∠C为相等的底角，
∴$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，解题核心是先明确钝角只能作为等腰三角形的顶角，避免盲目分情况讨论导致出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理思考：等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此等腰三角形的底角一定是锐角，若底角≥90°，两个底角之和就会≥180°，不符合内角和要求。首先判断120°的∠A只能是等腰三角形的顶角，剩余的∠B和∠C是相等的底角，再用内角和减去顶角度数后平分就能得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，
∴等腰三角形的两个底角相等，
又
∵三角形内角和为180°，∠A=120°，
若∠A为底角，则两个底角的和为120°×2=240°＞180°，不符合三角形内角和定理，
∴∠A只能是等腰三角形的顶角，∠B和∠C为相等的底角，
∴$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，解题核心是先明确钝角只能作为等腰三角形的顶角，避免盲目分情况讨论导致出错。
【难度系数】
0.7
4 教材P79练习T1变式 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=92°$，延长AB到点D，使$BD=BC$，连接DC。求$∠ D$和$∠ ACD$的度数。
答案
4. $\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB.\because ∠ A=92°,\therefore ∠ ABC=∠ ACB = \frac{180°-92°}{2} = 44°.\because BD=BC,\therefore ∠ D=∠ BCD.$
$\because ∠ ABC=∠ D + ∠ BCD = 44°,\therefore ∠ D=∠ BCD = 22°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD+∠ ACB=22°+44°=66°$
$\because ∠ ABC=∠ D + ∠ BCD = 44°,\therefore ∠ D=∠ BCD = 22°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD+∠ ACB=22°+44°=66°$
解析
【分析】
解题时先观察图形确定图中的两个等腰三角形$△ ABC$和$△ BCD$，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为$180°$，先计算出$△ ABC$的两个底角$∠ ABC$、$∠ ACB$的度数；再根据$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，结合$BD=BC$可得$∠ D=∠ BCD$，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质求出$∠ D$的度数；最后将$∠ ACB$和$∠ BCD$相加即可得到$∠ ACD$的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ A=92°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB = \frac{180°-92°}{2} = 44°$。
$\because BD=BC$，$\therefore ∠ D=∠ BCD$。
$\because ∠ ABC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ D + ∠ BCD = 44°$，
代入$∠ D=∠ BCD$可得$2∠ D=44°$，$\therefore ∠ D=∠ BCD = 22°$。
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD+∠ ACB=22°+44°=66°$。
【答案】
$∠ D=22°$，$∠ ACD=66°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合基础题，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形内角和、外角性质逐步推导角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形确定图中的两个等腰三角形$△ ABC$和$△ BCD$，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为$180°$，先计算出$△ ABC$的两个底角$∠ ABC$、$∠ ACB$的度数；再根据$∠ ABC$是$△ BCD$的外角，结合$BD=BC$可得$∠ D=∠ BCD$，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质求出$∠ D$的度数；最后将$∠ ACB$和$∠ BCD$相加即可得到$∠ ACD$的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ A=92°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB = \frac{180°-92°}{2} = 44°$。
$\because BD=BC$，$\therefore ∠ D=∠ BCD$。
$\because ∠ ABC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ D + ∠ BCD = 44°$，
代入$∠ D=∠ BCD$可得$2∠ D=44°$，$\therefore ∠ D=∠ BCD = 22°$。
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD+∠ ACB=22°+44°=66°$。
【答案】
$∠ D=22°$，$∠ ACD=66°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合基础题，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形内角和、外角性质逐步推导角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
5 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$BC// x$轴.若$A(2,4)$，$B(-1,1)$，则点$C$的坐标为（
A.$(2,3)$
B.$(3,1)$
C.$(5,1)$
D.$(1,5)$
C
）A.$(2,3)$
B.$(3,1)$
C.$(5,1)$
D.$(1,5)$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$BC// x$轴入手，平行于$x$轴的直线上所有点纵坐标相等，可先确定点$C$的纵坐标，排除不符合的选项；再结合$AB=AC$的等腰三角形特征，利用等腰三角形三线合一的性质，可知点$A$在$BC$的垂直平分线上，由于$BC$是水平线段，其垂直平分线为竖直直线，横坐标与点$A$的横坐标相等，最后通过中点坐标公式即可求出点$C$的横坐标，得到最终坐标。
【解析】
1. 因为$BC// x$轴，点$B$的坐标为$(-1,1)$，所以点$C$的纵坐标与点$B$相同，即$y_C=1$，因此纵坐标不为1的A、D选项可直接排除。
2. 已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$BC$为底边，根据等腰三角形三线合一的性质，底边$BC$的垂直平分线经过点$A$。
3. 由于$BC$是水平线段，其垂直平分线为垂直于$x$轴的直线，又点$A$的横坐标为$2$，因此$BC$的垂直平分线为直线$x=2$，即$BC$中点的横坐标为$2$。
4. 设点$C$的坐标为$(x,1)$，根据线段中点横坐标公式可得：$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$。
因此点$C$的坐标为$(5,1)$。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.坐标与图形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与等腰三角形性质的基础综合题，先通过平行于坐标轴的点的坐标特征缩小可选范围，再结合三线合一的性质求解，解题逻辑清晰，能够很好地考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件$BC// x$轴入手，平行于$x$轴的直线上所有点纵坐标相等，可先确定点$C$的纵坐标，排除不符合的选项；再结合$AB=AC$的等腰三角形特征，利用等腰三角形三线合一的性质，可知点$A$在$BC$的垂直平分线上，由于$BC$是水平线段，其垂直平分线为竖直直线，横坐标与点$A$的横坐标相等，最后通过中点坐标公式即可求出点$C$的横坐标，得到最终坐标。
【解析】
1. 因为$BC// x$轴，点$B$的坐标为$(-1,1)$，所以点$C$的纵坐标与点$B$相同，即$y_C=1$，因此纵坐标不为1的A、D选项可直接排除。
2. 已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$BC$为底边，根据等腰三角形三线合一的性质，底边$BC$的垂直平分线经过点$A$。
3. 由于$BC$是水平线段，其垂直平分线为垂直于$x$轴的直线，又点$A$的横坐标为$2$，因此$BC$的垂直平分线为直线$x=2$，即$BC$中点的横坐标为$2$。
4. 设点$C$的坐标为$(x,1)$，根据线段中点横坐标公式可得：$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$。
因此点$C$的坐标为$(5,1)$。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.坐标与图形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与等腰三角形性质的基础综合题，先通过平行于坐标轴的点的坐标特征缩小可选范围，再结合三线合一的性质求解，解题逻辑清晰，能够很好地考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
6 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，在$BC$的延长线上取点$E$，连接$AE$。若$∠ BAD=32°$，$∠ BAE=84°$，则$∠ CAE$的度数为（
A.$20°$
B.$32°$
C.$38°$
D.$42°$
A
）A.$20°$
B.$32°$
C.$38°$
D.$42°$
答案
6. A
解析
【分析】
首先观察题目给出的是等腰三角形△ABC，AB=AC且D是底边BC的中点，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，由此可先求出∠BAC的度数，再结合已知的∠BAE的度数，通过角的和差关系即可求出∠CAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠BAD=2×32°=64°，
又
∵∠BAE=84°，
∴∠CAE=∠BAE - ∠BAC=84°-64°=20°。
【答案】
A
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质求出顶角的度数，再结合角的和差关系计算未知角，难度较低，掌握等腰三角形的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的是等腰三角形△ABC，AB=AC且D是底边BC的中点，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，由此可先求出∠BAC的度数，再结合已知的∠BAE的度数，通过角的和差关系即可求出∠CAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠BAD=2×32°=64°，
又
∵∠BAE=84°，
∴∠CAE=∠BAE - ∠BAC=84°-64°=20°。
【答案】
A
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质求出顶角的度数，再结合角的和差关系计算未知角，难度较低，掌握等腰三角形的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7 如图，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E。若∠BAC=145°，则∠EAC=
（第7题）
35
°。（第7题）答案
7. 35
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：CA平分∠DCB可得一组等角，还有CB=CD以及公共边AC，可先通过SAS判定△ACD和△ACB全等，得到对应角∠CAD=∠BAC，再结合D、A、E三点共线，利用平角为180°的性质即可计算出∠EAC的度数。
【解析】
∵ CA平分∠DCB
∴ ∠DCA = ∠BCA
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}CD = CB \\∠DCA = ∠BCA \\CA = CA\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACB（SAS）
∴ ∠CAD = ∠BAC = 145°
∵ D、A、E三点共线，∠DAE为平角，即∠DAE=180°
∴ ∠EAC = 180° - ∠CAD = 180° - 145° = 35°
【答案】
35
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是先通过已知条件证明三角形全等得到对应角相等，再结合平角的性质求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：CA平分∠DCB可得一组等角，还有CB=CD以及公共边AC，可先通过SAS判定△ACD和△ACB全等，得到对应角∠CAD=∠BAC，再结合D、A、E三点共线，利用平角为180°的性质即可计算出∠EAC的度数。
【解析】
∵ CA平分∠DCB
∴ ∠DCA = ∠BCA
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}CD = CB \\∠DCA = ∠BCA \\CA = CA\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACB（SAS）
∴ ∠CAD = ∠BAC = 145°
∵ D、A、E三点共线，∠DAE为平角，即∠DAE=180°
∴ ∠EAC = 180° - ∠CAD = 180° - 145° = 35°
【答案】
35
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是先通过已知条件证明三角形全等得到对应角相等，再结合平角的性质求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，$BE ⊥ AC$于点$E$. 求证：$∠ CBE = ∠ BAD$.
答案
8. $\because AB=AC,AD$ 是边$BC$上的中线,$\therefore AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. \therefore ∠ CAD + ∠ C = 90°.\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ CBE+∠ C=90°.\therefore ∠ CBE=∠ CAD. \therefore ∠ CBE=∠ BAD$
解析
【分析】
要证明∠CBE=∠BAD，可按以下思路推导：首先结合已知等腰三角形+中线的条件，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得到AD垂直BC、AD平分∠BAC的结论，即∠BAD=∠CAD；再结合BE垂直AC的条件，可知△ADC和△BEC都是直角三角形，两个直角三角形有公共锐角∠C，根据“同角的余角相等”可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD + ∠ C = 90°$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ CBE + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CBE=∠ BAD$。
【答案】
$\because AB=AC,AD$ 是边$BC$上的中线,$\therefore AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. \therefore ∠ CAD + ∠ C = 90°.\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ CBE+∠ C=90°.\therefore ∠ CBE=∠ CAD. \therefore ∠ CBE=∠ BAD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一得到角和线段的位置关系，再结合余角的性质完成角的代换，掌握这类推导逻辑能为后续复杂几何证明打好基础。
【难度系数】
0.8
要证明∠CBE=∠BAD，可按以下思路推导：首先结合已知等腰三角形+中线的条件，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得到AD垂直BC、AD平分∠BAC的结论，即∠BAD=∠CAD；再结合BE垂直AC的条件，可知△ADC和△BEC都是直角三角形，两个直角三角形有公共锐角∠C，根据“同角的余角相等”可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD + ∠ C = 90°$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ CBE + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CBE=∠ BAD$。
【答案】
$\because AB=AC,AD$ 是边$BC$上的中线,$\therefore AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. \therefore ∠ CAD + ∠ C = 90°.\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ CBE+∠ C=90°.\therefore ∠ CBE=∠ CAD. \therefore ∠ CBE=∠ BAD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一得到角和线段的位置关系，再结合余角的性质完成角的代换，掌握这类推导逻辑能为后续复杂几何证明打好基础。
【难度系数】
0.8
