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10 如图,在$3×3$的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一个点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点可能是 (
A.A
B.B
C.C
D.D
D
)A.A
B.B
C.C
D.D
答案
10. D
解析
【分析】
本题可采用分类讨论的方法解题：依次将四个选项中的点作为原点建立平面直角坐标系，得到其余三个点的坐标，再结合关于坐标轴对称的点的坐标规律（关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数），判断是否存在两点满足对称条件，符合要求的即为正确答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，规定建立坐标系时向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，逐一验证如下：
1. 若以A为原点：其余三点坐标为$B(0,-2)$，$C(1,1)$，$D(2,-1)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若以B为原点：其余三点坐标为$A(0,2)$，$C(1,3)$，$D(2,1)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
3. 若以C为原点：其余三点坐标为$A(-1,-1)$，$B(-1,-3)$，$D(1,-2)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若以D为原点：其余三点坐标为$A(-2,1)$，$B(-2,-1)$，$C(-1,2)$，其中A、B两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于x轴对称，符合要求。
综上，原点可能是D点。
【答案】
D
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；平面直角坐标系的建立
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系的基础应用，解题时采用分类讨论的思路逐一验证即可，需要熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律，能够结合网格快速写出各点坐标。
【难度系数】
0.7
本题可采用分类讨论的方法解题：依次将四个选项中的点作为原点建立平面直角坐标系，得到其余三个点的坐标，再结合关于坐标轴对称的点的坐标规律（关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数），判断是否存在两点满足对称条件，符合要求的即为正确答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，规定建立坐标系时向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，逐一验证如下：
1. 若以A为原点：其余三点坐标为$B(0,-2)$，$C(1,1)$，$D(2,-1)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若以B为原点：其余三点坐标为$A(0,2)$，$C(1,3)$，$D(2,1)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
3. 若以C为原点：其余三点坐标为$A(-1,-1)$，$B(-1,-3)$，$D(1,-2)$，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若以D为原点：其余三点坐标为$A(-2,1)$，$B(-2,-1)$，$C(-1,2)$，其中A、B两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于x轴对称，符合要求。
综上，原点可能是D点。
【答案】
D
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；平面直角坐标系的建立
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系的基础应用，解题时采用分类讨论的思路逐一验证即可，需要熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律，能够结合网格快速写出各点坐标。
【难度系数】
0.7
11 已知点$P(a+1,2a-3)$关于$x$轴的对称点在第四象限，则$a$的取值范围是（
A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}＜a＜1$
D.$a＞\dfrac{3}{2}$
D
）A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}＜a＜1$
D.$a＞\dfrac{3}{2}$
答案
11. D
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先回忆关于x轴对称的点的坐标规律，写出点P关于x轴的对称点坐标；第二步，回忆第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负；第三步，根据上述特征列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求点P关于x轴的对称点坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此点$P(a+1,2a-3)$关于x轴的对称点坐标为$(a+1, 3-2a)$。
2. 根据第四象限点的特征列不等式组：第四象限内的点满足横坐标$＞0$，纵坐标$＜0$，因此可得：
$\begin{cases}a+1＞0 \quad \mathrm{①} \\3-2a＜0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
3. 解不等式组：
解不等式①：移项得$a＞-1$；
解不等式②：移项得$-2a＜-3$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a＞\dfrac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分，得$a＞\dfrac{3}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特点；解一元一次不等式组
【点评】
本题是坐标对称与不等式结合的基础综合题，易错点是混淆关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，或解带负系数的不等式时忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，先回忆关于x轴对称的点的坐标规律，写出点P关于x轴的对称点坐标；第二步，回忆第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负；第三步，根据上述特征列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求点P关于x轴的对称点坐标：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此点$P(a+1,2a-3)$关于x轴的对称点坐标为$(a+1, 3-2a)$。
2. 根据第四象限点的特征列不等式组：第四象限内的点满足横坐标$＞0$，纵坐标$＜0$，因此可得：
$\begin{cases}a+1＞0 \quad \mathrm{①} \\3-2a＜0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
3. 解不等式组：
解不等式①：移项得$a＞-1$；
解不等式②：移项得$-2a＜-3$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a＞\dfrac{3}{2}$；
取两个解集的公共部分，得$a＞\dfrac{3}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特点；解一元一次不等式组
【点评】
本题是坐标对称与不等式结合的基础综合题，易错点是混淆关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，或解带负系数的不等式时忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
12 已知平面直角坐标系内有两点$A(2a - b, a + 3), B(2b - 1, -a + b)$. 若点$A, B$关于$x$轴对称, 则$(-a + 2b)^{2026}$的值为
$1$
.答案
12. $1$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。2. 结合点A、B的坐标，根据上述性质列出关于a、b的二元一次方程组。3. 求解方程组得到a、b的值，再代入代数式$-a + 2b$计算其值。4. 最后根据有理数乘方的运算法则，计算该式的2026次方即可得到结果。
【解析】
∵ 点A、B关于x轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1&① \\a + 3 = -(-a + b)&②\end{cases}$
先化简方程②：
$a + 3 = a - b$
两边消去a，得：$3 = -b$，解得$b = -3$
将$b = -3$代入方程①：
$2a - (-3) = 2×(-3) -1$
$2a + 3 = -7$
解得$a = -5$
将$a=-5$，$b=-3$代入$-a + 2b$：
$-a + 2b = -(-5) + 2×(-3) = 5 - 6 = -1$
∴ $(-a + 2b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标性质
2. 二元一次方程组的解法
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查坐标轴对称的坐标规律的应用，解题的关键是准确根据对称性质列出方程，计算过程中要注意符号处理，同时牢记负数的偶次幂为正数的规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先回忆关于x轴对称的点的坐标性质：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。2. 结合点A、B的坐标，根据上述性质列出关于a、b的二元一次方程组。3. 求解方程组得到a、b的值，再代入代数式$-a + 2b$计算其值。4. 最后根据有理数乘方的运算法则，计算该式的2026次方即可得到结果。
【解析】
∵ 点A、B关于x轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1&① \\a + 3 = -(-a + b)&②\end{cases}$
先化简方程②：
$a + 3 = a - b$
两边消去a，得：$3 = -b$，解得$b = -3$
将$b = -3$代入方程①：
$2a - (-3) = 2×(-3) -1$
$2a + 3 = -7$
解得$a = -5$
将$a=-5$，$b=-3$代入$-a + 2b$：
$-a + 2b = -(-5) + 2×(-3) = 5 - 6 = -1$
∴ $(-a + 2b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标性质
2. 二元一次方程组的解法
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查坐标轴对称的坐标规律的应用，解题的关键是准确根据对称性质列出方程，计算过程中要注意符号处理，同时牢记负数的偶次幂为正数的规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
13 如图,在平面直角坐标系中,对$△ ABC$进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标为$(a,b)$,则经过第2026次变换后所得的点$A_{2026}$的坐标为
$(-a,-b)$
.答案
13. $(-a,-b)$
【解析】由题图,可知点 A 经过第 1 次变换后,点 $A_1$ 的坐标为$(a,-b)$,经过第 2 次变换后,点 $A_2$ 的坐标为$(-a,-b)$,经过第 3 次变换后,点 $A_3$ 的坐标为$(-a,b)$,经过第 4 次变换后,点 $A_4$ 的坐标为$(a,b)$,经过第 5 次变换后,点 $A_5$ 的坐标为$(a,-b)$……由此可见,以 4 次变换为一个循环.
$\because 2026÷4=506······2,\therefore$ 经过第 2 026 次变换后,点 $A_{2026}$ 的坐标与点 $A_2$ 的坐标相同,为$(-a,-b)$.
【解析】由题图,可知点 A 经过第 1 次变换后,点 $A_1$ 的坐标为$(a,-b)$,经过第 2 次变换后,点 $A_2$ 的坐标为$(-a,-b)$,经过第 3 次变换后,点 $A_3$ 的坐标为$(-a,b)$,经过第 4 次变换后,点 $A_4$ 的坐标为$(a,b)$,经过第 5 次变换后,点 $A_5$ 的坐标为$(a,-b)$……由此可见,以 4 次变换为一个循环.
$\because 2026÷4=506······2,\therefore$ 经过第 2 026 次变换后,点 $A_{2026}$ 的坐标与点 $A_2$ 的坐标相同,为$(-a,-b)$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先需要掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。接着先计算点A前几次变换后的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数判断第2026次变换后对应的坐标与第几次变换后的坐标一致，即可求出最终结果。
【解析】
解：已知初始点A的坐标为$(a,b)$，结合图形的变换规律可得：
第1次关于x轴对称变换后，点$A_1$的坐标为$(a,-b)$；
第2次关于y轴对称变换后，点$A_2$的坐标为$(-a,-b)$；
第3次关于x轴对称变换后，点$A_3$的坐标为$(-a,b)$；
第4次关于y轴对称变换后，点$A_4$的坐标为$(a,b)$，回到初始位置。
由此可知，每4次变换为一个循环周期。
计算得$2026÷4=506······2$，即2026次变换包含506个完整周期，剩余2次变换，因此第2026次变换后点的坐标与第2次变换后的点$A_2$坐标相同。
【答案】
$(-a,-b)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于y轴对称的坐标特征；规律型图形变化
【点评】
本题结合轴对称变换考查规律探究问题，解题的关键是通过前几次的变换结果找到循环周期，再结合余数确定最终坐标，要求学生熟练掌握轴对称变换对应的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需要掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。接着先计算点A前几次变换后的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数判断第2026次变换后对应的坐标与第几次变换后的坐标一致，即可求出最终结果。
【解析】
解：已知初始点A的坐标为$(a,b)$，结合图形的变换规律可得：
第1次关于x轴对称变换后，点$A_1$的坐标为$(a,-b)$；
第2次关于y轴对称变换后，点$A_2$的坐标为$(-a,-b)$；
第3次关于x轴对称变换后，点$A_3$的坐标为$(-a,b)$；
第4次关于y轴对称变换后，点$A_4$的坐标为$(a,b)$，回到初始位置。
由此可知，每4次变换为一个循环周期。
计算得$2026÷4=506······2$，即2026次变换包含506个完整周期，剩余2次变换，因此第2026次变换后点的坐标与第2次变换后的点$A_2$坐标相同。
【答案】
$(-a,-b)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于y轴对称的坐标特征；规律型图形变化
【点评】
本题结合轴对称变换考查规律探究问题，解题的关键是通过前几次的变换结果找到循环周期，再结合余数确定最终坐标，要求学生熟练掌握轴对称变换对应的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7
14 如图，分别作点$A(-3,0),B(-2,2)$关于直线$a$(直线$a$上各点的横坐标都为2)的对称点$A',B'$.求：
(1) 点$A',B'$的坐标；
(2) 四边形$ABB'A'$的面积.
(1) 点$A',B'$的坐标；
(2) 四边形$ABB'A'$的面积.
答案
14. 图略
(1) 点 $A'$ 的坐标为$(7,0)$,点 $B'$ 的坐标为$(6,2)$
(2) 由题意,易知四边形 $ABB'A'$ 是梯形,上底长为 8,下底长为10,高为 2,$\therefore$ 四边形 $ABB'A'$ 的面积为$\dfrac{1}{2}×(8+10)×2=18$
(1) 点 $A'$ 的坐标为$(7,0)$,点 $B'$ 的坐标为$(6,2)$
(2) 由题意,易知四边形 $ABB'A'$ 是梯形,上底长为 8,下底长为10,高为 2,$\therefore$ 四边形 $ABB'A'$ 的面积为$\dfrac{1}{2}×(8+10)×2=18$
解析
【分析】
(1) 首先确定直线a的表达式为x=2，关于平行于y轴的直线x=m对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于m，据此即可计算A'、B'的坐标；
(2) 先判断四边形ABB'A'的形状：由于A、A'纵坐标相同，B、B'纵坐标相同，因此AA'和BB'均平行于x轴，二者互相平行，可知四边形为梯形，再分别计算梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 由题意可知直线a的解析式为$x=2$。
关于直线$x=2$对称的点，纵坐标相等，且两点横坐标的平均值为2。
设点$A'(x_1,0)$，则$\dfrac{-3+x_1}{2}=2$，解得$x_1=7$，即$A'(7,0)$；
设点$B'(x_2,2)$，则$\dfrac{-2+x_2}{2}=2$，解得$x_2=6$，即$B'(6,2)$。
(2) $\because$ 点A、$A'$的纵坐标均为0，点B、$B'$的纵坐标均为2，
$\therefore AA'// BB'// x$轴，四边形$ABB'A'$为梯形，
梯形的高为上下底的垂直距离：$2-0=2$，
上底$BB'$的长度：$6-(-2)=8$，
下底$AA'$的长度：$7-(-3)=10$，
根据梯形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，
得$S_{ABB'A'}=\dfrac{1}{2}×(8+10)×2=18$。
【答案】
(1) $A'(7,0)$，$B'(6,2)$；
(2) $18$
【知识点】
1. 轴对称的坐标表示
2. 梯形面积计算
【点评】
本题考查坐标表示轴对称的应用及梯形面积的计算，解题核心是熟练掌握关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律，是对基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.8
(1) 首先确定直线a的表达式为x=2，关于平行于y轴的直线x=m对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于m，据此即可计算A'、B'的坐标；
(2) 先判断四边形ABB'A'的形状：由于A、A'纵坐标相同，B、B'纵坐标相同，因此AA'和BB'均平行于x轴，二者互相平行，可知四边形为梯形，再分别计算梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 由题意可知直线a的解析式为$x=2$。
关于直线$x=2$对称的点，纵坐标相等，且两点横坐标的平均值为2。
设点$A'(x_1,0)$，则$\dfrac{-3+x_1}{2}=2$，解得$x_1=7$，即$A'(7,0)$；
设点$B'(x_2,2)$，则$\dfrac{-2+x_2}{2}=2$，解得$x_2=6$，即$B'(6,2)$。
(2) $\because$ 点A、$A'$的纵坐标均为0，点B、$B'$的纵坐标均为2，
$\therefore AA'// BB'// x$轴，四边形$ABB'A'$为梯形，
梯形的高为上下底的垂直距离：$2-0=2$，
上底$BB'$的长度：$6-(-2)=8$，
下底$AA'$的长度：$7-(-3)=10$，
根据梯形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，
得$S_{ABB'A'}=\dfrac{1}{2}×(8+10)×2=18$。
【答案】
(1) $A'(7,0)$，$B'(6,2)$；
(2) $18$
【知识点】
1. 轴对称的坐标表示
2. 梯形面积计算
【点评】
本题考查坐标表示轴对称的应用及梯形面积的计算，解题核心是熟练掌握关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律，是对基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.8
15 在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的位置如图所示.
（1）作出$△ ABC$ 关于 $y$ 轴对称的$△ AB_{1}C_{1}$，并写出$△ AB_{1}C_{1}$各顶点的坐标.
（2）将$△ ABC$ 向右平移6个单位长度，作出平移后的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点的坐标.
（3）在（1）（2）的条件下，观察$△ AB_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，它们是否关于某条直线对称？若是，则在图中画出这条对称轴.
（1）作出$△ ABC$ 关于 $y$ 轴对称的$△ AB_{1}C_{1}$，并写出$△ AB_{1}C_{1}$各顶点的坐标.
（2）将$△ ABC$ 向右平移6个单位长度，作出平移后的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点的坐标.
（3）在（1）（2）的条件下，观察$△ AB_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，它们是否关于某条直线对称？若是，则在图中画出这条对称轴.
答案
15. (1) 如图 点 A 的坐标为$(0,4)$,点 $B_1$ 的坐标为$(2,2)$,点$C_1$ 的坐标为$(1,1)$
(2) 如图 点 $A_2$ 的坐标为$(6,4)$,点 $B_2$ 的坐标为$(4,2)$,点 $C_2$ 的坐标为$(5,1)$
(3) 如图,$△ AB_1C_1$ 与$△ A_2B_2C_2$ 关于直线 $a$(直线 $a$ 上各点的横坐标都为 3)对称
解析
【分析】
解题思路分三步展开：
1. 解决第(1)问：先确定△ABC各顶点的原坐标，再依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出对称后△AB₁C₁各顶点的坐标，最后描点连线即可画出对应图形。
2. 解决第(2)问：根据“图形向右平移n个单位，各点横坐标加n，纵坐标不变”的平移规律，计算出平移后△A₂B₂C₂各顶点的坐标，描点连线得到平移后的图形。
3. 解决第(3)问：分别找出两个三角形对应顶点的坐标，计算对应点连线的中点，若所有中点都在同一条直线上，该直线就是两个图形的对称轴。
【解析】
首先确定△ABC各顶点的原坐标：$A(0,4)$，$B(-2,2)$，$C(-1,1)$。
(1) 根据关于y轴对称的点坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数：
A点横坐标为0，相反数仍为0，故A点坐标不变；
$B(-2,2)$对称后$B_1$的坐标为$(2,2)$；
$C(-1,1)$对称后$C_1$的坐标为$(1,1)$。
在坐标系中描出$A、B_1、C_1$三点，顺次连接得到$△AB_1C_1$。
(2) 图形向右平移6个单位，各点横坐标加6，纵坐标不变：
A平移后$A_2$的坐标为$(0+6,4)=(6,4)$；
B平移后$B_2$的坐标为$(-2+6,2)=(4,2)$；
C平移后$C_2$的坐标为$(-1+6,1)=(5,1)$。
在坐标系中描出$A_2、B_2、C_2$三点，顺次连接得到$△A_2B_2C_2$。
(3) 计算对应点连线的中点横坐标：
$A(0,4)$与$A_2(6,4)$的中点横坐标为$\frac{0+6}{2}=3$；
$B_1(2,2)$与$B_2(4,2)$的中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$；
$C_1(1,1)$与$C_2(5,1)$的中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$。
所有对应点连线的中点都在直线$x=3$上，因此$△AB_1C_1$与$△A_2B_2C_2$关于直线$x=3$（即图中直线a）对称，画出直线a即可。
【答案】
(1) 如图，$△ AB_{1}C_{1}$各顶点坐标为：$A(0,4)$，$B_1(2,2)$，$C_1(1,1)$；
(2) 如图，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点坐标为：$A_2(6,4)$，$B_2(4,2)$，$C_2(5,1)$；
(3) 是，对称轴为直线$x=3$，如图所示。
【知识点】
1. 坐标与轴对称变换
2. 坐标与图形平移
3. 对称轴的确定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查轴对称和平移的坐标变化规律，熟练掌握坐标变换的性质即可快速作答，作图时要注意描点准确。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步展开：
1. 解决第(1)问：先确定△ABC各顶点的原坐标，再依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出对称后△AB₁C₁各顶点的坐标，最后描点连线即可画出对应图形。
2. 解决第(2)问：根据“图形向右平移n个单位，各点横坐标加n，纵坐标不变”的平移规律，计算出平移后△A₂B₂C₂各顶点的坐标，描点连线得到平移后的图形。
3. 解决第(3)问：分别找出两个三角形对应顶点的坐标，计算对应点连线的中点，若所有中点都在同一条直线上，该直线就是两个图形的对称轴。
【解析】
首先确定△ABC各顶点的原坐标：$A(0,4)$，$B(-2,2)$，$C(-1,1)$。
(1) 根据关于y轴对称的点坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数：
A点横坐标为0，相反数仍为0，故A点坐标不变；
$B(-2,2)$对称后$B_1$的坐标为$(2,2)$；
$C(-1,1)$对称后$C_1$的坐标为$(1,1)$。
在坐标系中描出$A、B_1、C_1$三点，顺次连接得到$△AB_1C_1$。
(2) 图形向右平移6个单位，各点横坐标加6，纵坐标不变：
A平移后$A_2$的坐标为$(0+6,4)=(6,4)$；
B平移后$B_2$的坐标为$(-2+6,2)=(4,2)$；
C平移后$C_2$的坐标为$(-1+6,1)=(5,1)$。
在坐标系中描出$A_2、B_2、C_2$三点，顺次连接得到$△A_2B_2C_2$。
(3) 计算对应点连线的中点横坐标：
$A(0,4)$与$A_2(6,4)$的中点横坐标为$\frac{0+6}{2}=3$；
$B_1(2,2)$与$B_2(4,2)$的中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$；
$C_1(1,1)$与$C_2(5,1)$的中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$。
所有对应点连线的中点都在直线$x=3$上，因此$△AB_1C_1$与$△A_2B_2C_2$关于直线$x=3$（即图中直线a）对称，画出直线a即可。
【答案】
(1) 如图，$△ AB_{1}C_{1}$各顶点坐标为：$A(0,4)$，$B_1(2,2)$，$C_1(1,1)$；
(2) 如图，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点坐标为：$A_2(6,4)$，$B_2(4,2)$，$C_2(5,1)$；
(3) 是，对称轴为直线$x=3$，如图所示。
【知识点】
1. 坐标与轴对称变换
2. 坐标与图形平移
3. 对称轴的确定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查轴对称和平移的坐标变化规律，熟练掌握坐标变换的性质即可快速作答，作图时要注意描点准确。
【难度系数】
0.8
