9 如图，$△ AOB ≌ △ ADC$，$∠ O = ∠ D = 90°$，$∠ OBA = 40°$。当 $BC // OA$ 时，$∠ BAC$ 的度数为（）

A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
（第9题）

9. C

【分析】
解题时先利用直角三角形内角和求出△AOB中∠OAB的度数，再根据全等三角形的性质得到AB=AC，判定△ABC为等腰三角形，两底角相等；接着结合平行线的同旁内角互补性质求出∠OBC的度数，进而得到等腰△ABC的底角∠ABC的度数，最后利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ AOB$中，$∠ O=90°$，$∠ OBA=40°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OAB=180°-∠ O-∠ OBA=180°-90°-40°=50°$
2. 由$△ AOB≌△ ADC$，根据全等三角形对应边相等得$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB$。
3. 已知$BC// OA$，$∠ O=90°$，根据两直线平行，同旁内角互补：
$∠ O+∠ OBC=180°$，解得$∠ OBC=180°-90°=90°$
4. 计算$∠ ABC$：$∠ ABC=∠ OBC-∠ OBA=90°-40°=50°$，因此$∠ ACB=∠ ABC=50°$。
5. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-50°=80°$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形、平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是通过全等得到等腰三角形，再结合平行线性质求出底角度数，需要熟练掌握各基础性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7

10 如图,在$△ ABE$中,$BA=BE$,$F$为$AE$的中点.若$∠ ABC=34°$,$∠ C=50°$,则$∠ ADB$的度数为.

10. $67°$

【分析】
解题首先观察已知条件：△ABE中BA=BE，说明△ABE是等腰三角形，F是AE中点，可优先用等腰三角形“三线合一”的性质，推导得出BD平分∠ABC，先求出∠DBC的度数；再判断∠ADB是△BCD的外角，结合三角形外角的性质就能算出∠ADB的数值。
【解析】
1. 在△ABE中，$BA=BE$，因此△ABE为等腰三角形，又
∵F是AE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD平分∠ABC。
2. 已知$∠ABC=34°$，因此$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×34°=17°$。
3. ∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADB=∠ DBC+∠ C$。
4. 代入$∠C=50°$，计算得$∠ ADB=17°+50°=67°$。
【答案】
$67°$
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题核心是熟练运用等腰三角形的性质推导角平分线，再结合外角性质找到角度的数量关系，难度较低。
【难度系数】
0.7

11 如图，$△ ABC$内有一点D，且$DA=DB=DC$。如果$∠ DAB=20°$，$∠ DAC=30°$，那么$∠ BDC=$。

11. $100°$ 【解析】$\because DA=DB,\therefore ∠ DAB=∠ DBA=20°.$
$\because DA=DC,\therefore ∠ DAC=∠ DCA=30°.\therefore ∠ DBC+∠ DCB=180°-∠ DBA-∠ DAB-∠ DCA-∠ DAC=80°.\therefore ∠ BDC=180°-(∠ DBC+∠ DCB)=100°.$

【分析】
本题可通过等腰三角形性质结合三角形内角和定理逐步推导求解。首先观察到DA=DB、DA=DC，可知△DAB、△DAC均为等腰三角形，依据等边对等角可求出∠DBA、∠DCA的度数；接下来先计算△ABC中∠ABC与∠ACB的和，减去已得的∠DBA、∠DCA的度数，就能得到△DBC中∠DBC与∠DCB的和；最后利用三角形内角和为180°，减去∠DBC与∠DCB的和，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵ DA=DB，
∴ ∠DAB=∠DBA=20°，
∵ DA=DC，
∴ ∠DAC=∠DCA=30°，
在△ABC中，∠BAC=∠DAB+∠DAC=20°+30°=50°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-50°=130°，
则∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB - ∠DBA - ∠DCA=130°-20°-30°=80°，
在△BDC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-80°=100°。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形章节的基础常考题，核心考察等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题关键是找准等腰三角形对应的等角，再通过内角和关系逐步推导未知角。
【难度系数】
0.8

12 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$BC$，$AB$，$AC$上，且$BD=CF$，$BE=CD$，$G$是$EF$的中点.求证：$DG⊥ EF$.

12. 连接 $DE, DF. \because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C.$ 在 $△ BDE$ 和 $△ CFD$ 中, $\begin{cases} BE=CD, \\ ∠ B=∠ C, \\ BD=CF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE ≌ △ CFD. \therefore DE = FD.$
$\because G$ 是 $EF$ 的中点,$\therefore DG⊥ EF$

【分析】
要证明$DG ⊥ EF$，已知$G$是$EF$的中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$△ DEF$是等腰三角形，即$DE=DF$即可。首先由$AB=AC$可得$∠ B=∠ C$，结合已知的$BE=CD$、$BD=CF$，可通过SAS判定$△ BDE ≌ △ CFD$，得到$DE=DF$，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论。
【解析】
证明：连接$DE$、$DF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\begin{cases} BE=CD \\ ∠ B=∠ C \\ BD=CF \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CFD \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE = FD$，即$△ DEF$为等腰三角形。
$\because G$是$EF$的中点，
$\therefore DG⊥ EF$（等腰三角形三线合一）。
【答案】
$DG⊥ EF$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合基础题，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质完成证明，能够较好地考察学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

13 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,点 D 在 BC上,$DE⊥ AB$于点 E,$DF⊥ BC$于点 D,交AC于点 F.
(1)若$∠ AFD=152°$,求$∠ EDF$的度数;
(2)若 F 是 AC 的中点,求证:$∠ CFD = \frac{1}{2}∠ B$.

13. (1) $\because ∠ AFD=152°,\therefore ∠ DFC=28°.\because DF⊥ BC,DE⊥ AB,\therefore ∠ FDC = ∠ AED = 90°. \therefore ∠ C = 90°-28° = 62°.$
$\because AB=BC,\therefore ∠ C=∠ A=62°. \therefore ∠ EDF = 360°-62°-152°-90°=56°$
(2) 如图,连接 $BF. \because AB=BC$,且 $F$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore BF⊥ AC,∠ ABF=∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC. \therefore ∠ BFC=∠ CFD+∠ BFD = 90°. \because ∠ FDC = ∠ CBF + ∠ BFD = 90°,$
$\therefore ∠ CFD=∠ CBF. \therefore ∠ CFD=\frac{1}{2}∠ ABC$

【分析】
(1) 求∠EDF的度数可按以下步骤思考：首先利用邻补角关系由已知的∠AFD求出∠DFC；再结合DF⊥BC的条件，在直角△DFC中用直角三角形两锐角互余求出∠C；由AB=BC可知△ABC是等腰三角形，故∠A=∠C，得到∠A的度数；最后在四边形AEDF中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠AED=90°、∠AFD=152°和求出的∠A，即可计算出∠EDF。
(2) 证明∠CFD=½∠B的思路：首先利用等腰三角形三线合一的性质，连接BF，因AB=BC且F是AC中点，故BF⊥AC且平分∠ABC，得到∠CBF=½∠B；再根据∠FDC=90°、∠BFC=90°，可推出∠CBF和∠CFD都是∠BFD的余角，利用同角的余角相等即可得到∠CFD=∠CBF，进而得证。
【解析】
(1) $\because ∠ AFD=152°,\therefore ∠ DFC=180°-152°=28°$。
$\because DF⊥ BC,DE⊥ AB,\therefore ∠ FDC = ∠ AED = 90°$。
在$Rt△DFC$中，$∠ C + ∠ DFC=90°$，$\therefore ∠ C = 90°-28° = 62°$。
$\because AB=BC,\therefore ∠ C=∠ A=62°$。
四边形$AEDF$内角和为$360°$，$\therefore ∠ EDF = 360°-62°-152°-90°=56°$。
(2) 证明：如图，连接 $BF$。
$\because AB=BC$，且 $F$ 是 $AC$ 的中点，$\therefore BF⊥ AC,∠ ABF=∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC$（等腰三角形三线合一）。
$\therefore ∠ BFC=∠ CFD+∠ BFD = 90°$。
$\because ∠ FDC = ∠ CBF + ∠ BFD = 90°$，
$\therefore ∠ CFD=∠ CBF$（同角的余角相等）。
$\therefore ∠ CFD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
【答案】
(1) $∠ EDF=56°$；
(2) 证明如上，辅助线如图：

【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用习题，第一问结合角的基本关系和四边形内角和即可求解；第二问的解题关键是合理构造辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质转化角的关系，对逻辑推导能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65

14 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,点$D$在$BC$上,且$AD = AE$.
(1)若$∠ BAC = 90°$, $∠ BAD = 30°$, 求$∠ EDC$的度数;
(2)若$∠ BAC = α(α ＞ 30°)$, $∠ BAD = 30°$, 求$∠ EDC$的度数;
(3)直接写出$∠ EDC$与$∠ BAD$之间的数量关系.

14. (1) $\because ∠ BAC=90°,AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC) = 45°.$ 又 $\because ∠ BAD = 30°, \therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD=45°+30°=75°.\because ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=90°-30°= 60°,$ 且 $AD = AE, \therefore ∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}(180°-∠ DAC)= 60°. \therefore ∠ EDC = ∠ ADC - ∠ ADE = 75° - 60° = 15°$
(2) $\because ∠ BAC = α, ∠ BAD = 30°, \therefore ∠ DAC = α - 30°.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°-\frac{1}{2}α.$
$\therefore ∠ ADC=∠ B + ∠ BAD = 120° - \frac{1}{2}α. \because AD=AE,$
$\therefore ∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ DAC)=105°-\frac{1}{2}α.$
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=(120°-\frac{1}{2}α)-(105°-\frac{1}{2}α)=15°$
(3) $∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$

【分析】
解决本题的核心是运用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角性质、内角和定理逐步推导角的度数：
1. 对于(1)，先根据等腰直角三角形的特征算出底角∠B、∠C的度数，再利用三角形外角性质求出∠ADC，接着算出∠DAC的度数，结合AD=AE求出∠ADE的度数，最后用∠ADC减∠ADE得到∠EDC；
2. 对于(2)，思路和(1)完全一致，仅将∠BAC的具体数值替换为α，通过代数运算消去α即可得到结果；
3. 对于(3)，将(2)中固定的∠BAD=30°替换为变量，重复上述推导过程就能得到两者的数量关系。
【解析】
(1) $\because ∠BAC=90°,AB=AC,\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC) = 45°.$
又$\because ∠BAD = 30°, \therefore ∠ADC = ∠B + ∠BAD=45°+30°=75°.$
$\because ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°= 60°,$且$AD = AE, \therefore ∠ADE = ∠AED = \frac{1}{2}(180°-∠DAC)= 60°.$
$\therefore ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 75° - 60° = 15°.$
(2) $\because ∠BAC = α, ∠BAD = 30°, \therefore ∠DAC = α - 30°.$
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=90°-\frac{1}{2}α.$
$\therefore ∠ADC=∠B + ∠BAD = (90°-\frac{1}{2}α)+30°=120° - \frac{1}{2}α.$
$\because AD=AE,\therefore ∠ADE=∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠DAC)=\frac{1}{2}[180°-(α-30°)]=105°-\frac{1}{2}α.$
$\therefore ∠EDC=∠ADC-∠ADE=(120°-\frac{1}{2}α)-(105°-\frac{1}{2}α)=15°.$
(3) 设$∠BAD=x$，同理推导可得：
$∠EDC=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}∠BAD$
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{15°}$；(3) $\boldsymbol{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题遵循由特殊到一般的推导逻辑，重点考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形角的计算方法，解题时只要理清各角之间的数量关系，逐步推导即可得出结论，是等腰三角形角度计算的典型习题。
【难度系数】
0.7