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8 新情境 生活实际 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置(如图).若车头与倒车镜的水平距离为1.58米,倒车镜到车尾部分的水平距离较长,则该车车身总长约为 (
A.4.14米
B.2.56米
C.6.70米
D.3.82米
A
)A.4.14米
B.2.56米
C.6.70米
D.3.82米
答案
8. A
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点将一条线段分为较长段和较短段，满足较长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，则该点是这条线段的黄金分割点。本题中倒车镜是车身总长的黄金分割点，且倒车镜到车尾的水平距离更长，因此车头到倒车镜的1.58米是较短线段，较短段占总长的比例为$1-0.618=0.382$，用较短段的长度除以对应占比即可求出车身总长。
【解析】
设该车车身总长为$x$米。
根据黄金分割的性质，较长段与总长的比值约为0.618，因此较短的车头到倒车镜的距离占总长的比例为$1-0.618=0.382$，可得方程：
$0.382x=1.58$
解得$x\approx1.58÷0.382\approx4.14$
即该车车身总长约为4.14米。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题结合汽车设计的生活场景考查黄金分割的实际应用，解题的关键是判断出已知长度对应黄金分割中的较短线段，再结合黄金分割的比例关系计算即可，能很好地体现数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：若点将一条线段分为较长段和较短段，满足较长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，则该点是这条线段的黄金分割点。本题中倒车镜是车身总长的黄金分割点，且倒车镜到车尾的水平距离更长，因此车头到倒车镜的1.58米是较短线段，较短段占总长的比例为$1-0.618=0.382$，用较短段的长度除以对应占比即可求出车身总长。
【解析】
设该车车身总长为$x$米。
根据黄金分割的性质，较长段与总长的比值约为0.618，因此较短的车头到倒车镜的距离占总长的比例为$1-0.618=0.382$，可得方程：
$0.382x=1.58$
解得$x\approx1.58÷0.382\approx4.14$
即该车车身总长约为4.14米。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题结合汽车设计的生活场景考查黄金分割的实际应用，解题的关键是判断出已知长度对应黄金分割中的较短线段，再结合黄金分割的比例关系计算即可，能很好地体现数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
9 新考向 新定义题 新定义:如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数,那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图,△ABC是“精准三角形”,AB=AC=2,CD⊥AB,垂足为D,那么BD的长为
$\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
.答案
9. $\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
【解析】过点C作△ABC的中线CM,交AB于点M. $\because △ ABC$是“精准三角形”, $\therefore \frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}. \because AB=2$,
$\therefore CM=\sqrt{5}-1. \because M$是AB的中点, $\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1$.
令$DM=x$,则$AD=x+1. \because CD^2=CM^2-MD^2=AC^2-AD^2$,
$\therefore (\sqrt{5}-1)^2-x^2=2^2-(x+1)^2. \therefore x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}. \therefore DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}. \therefore BD=MB-DM=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$.
【解析】过点C作△ABC的中线CM,交AB于点M. $\because △ ABC$是“精准三角形”, $\therefore \frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}. \because AB=2$,
$\therefore CM=\sqrt{5}-1. \because M$是AB的中点, $\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1$.
令$DM=x$,则$AD=x+1. \because CD^2=CM^2-MD^2=AC^2-AD^2$,
$\therefore (\sqrt{5}-1)^2-x^2=2^2-(x+1)^2. \therefore x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}. \therefore DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}. \therefore BD=MB-DM=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
首先要准确理解“精准三角形”的新定义：等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知$AB=AC=2$是等腰三角形的腰，我们先作腰$AB$上的中线$CM$，先根据黄金分割比求出中线$CM$的长度，再利用$CD$是$AB$边上的高，在$Rt△ CDM$和$Rt△ CDA$中，公共直角边$CD$的平方可以分别用两个直角三角形的边表示，以此建立方程求出$DM$的长度，最后用$MB$的长度减去$DM$的长度就能得到$BD$的长。
【解析】
过点$C$作腰$AB$上的中线$CM$，交$AB$于点$M$。
$\because △ ABC$是“精准三角形”，根据定义可得$\frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AB=2$，代入得$CM=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
$\because M$是$AB$的中点，$\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1$。
设$DM=x$，则$AD=AM+DM=x+1$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore △ CDM$和$△ CDA$均为直角三角形，根据勾股定理：
$CD^2=CM^2-MD^2$，$CD^2=AC^2-AD^2$，
因此列等式：$(\sqrt{5}-1)^2-x^2=2^2-(x+1)^2$
展开整理得：$6-2\sqrt{5}-x^2=3-x^2-2x$
解得$x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}$，即$DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}$
$\therefore BD=MB-DM=1-\frac{2\sqrt{5}-3}{2}=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的“精准三角形”转化为已学的等腰三角形、黄金分割相关知识，再借助勾股定理建立方程求解，很好地考查了知识迁移能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先要准确理解“精准三角形”的新定义：等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知$AB=AC=2$是等腰三角形的腰，我们先作腰$AB$上的中线$CM$，先根据黄金分割比求出中线$CM$的长度，再利用$CD$是$AB$边上的高，在$Rt△ CDM$和$Rt△ CDA$中，公共直角边$CD$的平方可以分别用两个直角三角形的边表示，以此建立方程求出$DM$的长度，最后用$MB$的长度减去$DM$的长度就能得到$BD$的长。
【解析】
过点$C$作腰$AB$上的中线$CM$，交$AB$于点$M$。
$\because △ ABC$是“精准三角形”，根据定义可得$\frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AB=2$，代入得$CM=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
$\because M$是$AB$的中点，$\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1$。
设$DM=x$，则$AD=AM+DM=x+1$。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore △ CDM$和$△ CDA$均为直角三角形，根据勾股定理：
$CD^2=CM^2-MD^2$，$CD^2=AC^2-AD^2$，
因此列等式：$(\sqrt{5}-1)^2-x^2=2^2-(x+1)^2$
展开整理得：$6-2\sqrt{5}-x^2=3-x^2-2x$
解得$x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}$，即$DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}$
$\therefore BD=MB-DM=1-\frac{2\sqrt{5}-3}{2}=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{5-2\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的“精准三角形”转化为已学的等腰三角形、黄金分割相关知识，再借助勾股定理建立方程求解，很好地考查了知识迁移能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$。若$AE=BC$，则$E$是线段$AB$的黄金分割点吗？请说明理由。
答案
10. E是线段AB的黄金分割点 理由:如图,连接EC. $\because DE$是AC的垂直平分线,$\therefore AE=EC$. 又$\because AE=BC,\therefore EC=BC$.
$\therefore ∠ BEC=∠ B. \because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ BCA. \therefore ∠ BEC=∠ BCA$. 又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ CEB ∽ △ ACB. \therefore \frac{BE}{BC}=\frac{CB}{AB}$,即$BC^2=BE· AB$. 又$\because AE=BC,\therefore AE^2=BE· AB$,即$\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}. \therefore E$是线段AB的黄金分割点.
解析
【分析】
要判断E是否为AB的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若点E分AB为AE、BE两段，满足$AE^2=BE·AB$，则E是AB的黄金分割点。已知DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质，先连接EC得到$AE=EC$，结合已知$AE=BC$可推出$EC=BC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形等角性质，通过公共角$∠ B$证明三角形相似，利用相似的边比例关系推导得到黄金分割所需的比例式即可完成判定。
【解析】
解：E是线段AB的黄金分割点，理由如下：
如图，连接EC。
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ $AE=EC$。
又
∵ $AE=BC$，
∴ $EC=BC$，
∴ $∠ BEC=∠ B$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ BCA$，
∴ $∠ BEC=∠ BCA$。
又
∵ $∠ B=∠ B$，
∴ $△ CEB ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{BE}{BC}=\frac{CB}{AB}$，即 $BC^2=BE·AB$。
又
∵ $AE=BC$，
∴ $AE^2=BE·AB$，即 $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}$，
∴ E是线段AB的黄金分割点。
【答案】
E是线段AB的黄金分割点，理由如下：
如图,连接EC. $\because DE$是AC的垂直平分线,$\therefore AE=EC$. 又$\because AE=BC,\therefore EC=BC$.
$\therefore ∠ BEC=∠ B. \because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ BCA. \therefore ∠ BEC=∠ BCA$. 又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ CEB ∽ △ ACB. \therefore \frac{BE}{BC}=\frac{CB}{AB}$,即$BC^2=BE· AB$. 又$\because AE=BC,\therefore AE^2=BE· AB$,即$\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}. \therefore E$是线段AB的黄金分割点.
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 黄金分割的定义
【点评】
本题综合考查多个几何基础知识点，解题关键是正确添加辅助线，结合等腰三角形性质证明三角形相似，进而推导得到符合黄金分割定义的比例关系，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要判断E是否为AB的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若点E分AB为AE、BE两段，满足$AE^2=BE·AB$，则E是AB的黄金分割点。已知DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质，先连接EC得到$AE=EC$，结合已知$AE=BC$可推出$EC=BC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形等角性质，通过公共角$∠ B$证明三角形相似，利用相似的边比例关系推导得到黄金分割所需的比例式即可完成判定。
【解析】
解：E是线段AB的黄金分割点，理由如下：
如图，连接EC。
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ $AE=EC$。
又
∵ $AE=BC$，
∴ $EC=BC$，
∴ $∠ BEC=∠ B$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ BCA$，
∴ $∠ BEC=∠ BCA$。
又
∵ $∠ B=∠ B$，
∴ $△ CEB ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{BE}{BC}=\frac{CB}{AB}$，即 $BC^2=BE·AB$。
又
∵ $AE=BC$，
∴ $AE^2=BE·AB$，即 $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}$，
∴ E是线段AB的黄金分割点。
【答案】
E是线段AB的黄金分割点，理由如下：
如图,连接EC. $\because DE$是AC的垂直平分线,$\therefore AE=EC$. 又$\because AE=BC,\therefore EC=BC$.
$\therefore ∠ BEC=∠ B. \because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ BCA. \therefore ∠ BEC=∠ BCA$. 又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ CEB ∽ △ ACB. \therefore \frac{BE}{BC}=\frac{CB}{AB}$,即$BC^2=BE· AB$. 又$\because AE=BC,\therefore AE^2=BE· AB$,即$\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}. \therefore E$是线段AB的黄金分割点.
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 黄金分割的定义
【点评】
本题综合考查多个几何基础知识点，解题关键是正确添加辅助线，结合等腰三角形性质证明三角形相似，进而推导得到符合黄金分割定义的比例关系，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
11 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：$MN=2$）。
第一步，如图①，在矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平。
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。
第三步，如图③，折出内侧矩形的对角线$AB$，并把$AB$折到$AD$处。
第四步，展平纸片，按照所得的点$D$折出$DE$，使$DE⊥ ND$，则图④中就会出现黄金矩形。
（1）图③中$AB=$
（2）如图③，判断四边形$BADQ$的形状，并证明；
（3）请写出图④中任意一个黄金矩形，并证明。
第一步，如图①，在矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平。
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。
第三步，如图③，折出内侧矩形的对角线$AB$，并把$AB$折到$AD$处。
第四步，展平纸片，按照所得的点$D$折出$DE$，使$DE⊥ ND$，则图④中就会出现黄金矩形。
（1）图③中$AB=$
$\sqrt{5}$
（结果保留根号）；（2）如图③，判断四边形$BADQ$的形状，并证明；
（3）请写出图④中任意一个黄金矩形，并证明。
答案
11. (1) $\sqrt{5}$ (2) 四边形BADQ是菱形 由折叠的性质,可知$AB=AD,BQ=QD,∠ BAQ=∠ DAQ. \because$ 易得$BQ// AD$,
$\therefore ∠ AQB=∠ DAQ. \therefore ∠ AQB=∠ BAQ. \therefore AB=BQ$,即$AD=AB=BQ=QD. \therefore$ 四边形BADQ为菱形 (3) 答案不唯一,如矩形MNDE $\because$ 易得$AD=AB=\sqrt{5},AN=AC=\frac{1}{2}NC=\frac{1}{2}MN=1,\therefore ND=\sqrt{5}+1. \therefore \frac{MN}{ND}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\therefore$ 矩形MNDE是黄金矩形
$\therefore ∠ AQB=∠ DAQ. \therefore ∠ AQB=∠ BAQ. \therefore AB=BQ$,即$AD=AB=BQ=QD. \therefore$ 四边形BADQ为菱形 (3) 答案不唯一,如矩形MNDE $\because$ 易得$AD=AB=\sqrt{5},AN=AC=\frac{1}{2}NC=\frac{1}{2}MN=1,\therefore ND=\sqrt{5}+1. \therefore \frac{MN}{ND}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\therefore$ 矩形MNDE是黄金矩形
解析
【分析】
（1）求AB的长度时，先根据折叠操作确定Rt△ABC的直角边长度，再用勾股定理计算即可。首先正方形MBCN的边长为MN=2，对折后AC=1，BC=2，代入勾股定理就能求出AB。
（2）判断四边形BADQ的形状，先从折叠性质得到边、角的等量关系，再结合平行线的性质推导角相等，进而得到四边相等，即可判定图形形状。
（3）找黄金矩形时，先求出对应矩形的长和宽，再计算宽与长的比值，验证是否等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可，可选择矩形MNDE或矩形BCDE进行证明。
【解析】
（1）由题意得四边形MBCN是边长为2的正方形，将正方形对折后，$AC=\frac{1}{2}NC=1$，$BC=MN=2$，且$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
（2）四边形BADQ是菱形，证明如下：
由折叠的性质可得：$AB=AD$，$BQ=QD$，$∠ BAQ=∠ DAQ$。
∵ 纸片上下对边平行，
∴ $BQ// AD$，
∴ $∠ AQB=∠ DAQ$，
∴ $∠ AQB=∠ BAQ$，
∴ $AB=BQ$，
∴ $AD=AB=BQ=QD$，
∴ 四边形BADQ是菱形。
（3）示例：选择黄金矩形MNDE，证明如下：
由（1）可知$AD=AB=\sqrt{5}$，又$AN=AC=1$，
∴ $ND=AN+AD=1+\sqrt{5}$，
已知矩形MNDE的宽$MN=2$，
∴ $\frac{MN}{ND}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，
∴ 矩形MNDE是黄金矩形。
（也可选择矩形BCDE：$CD=AD-AC=\sqrt{5}-1$，$BC=2$，$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形BCDE也是黄金矩形）
【答案】
(1) $\sqrt{5}$
(2) 四边形BADQ是菱形，证明见解析
(3) 矩形MNDE（或矩形BCDE，答案不唯一），证明见解析
【知识点】
勾股定理；菱形的判定；黄金矩形的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查几何基础知识，解题核心是灵活运用折叠的性质得到相等的边和角，再结合相关几何定理推导计算即可，需要熟练掌握黄金矩形的判定标准。
【难度系数】
0.6
（1）求AB的长度时，先根据折叠操作确定Rt△ABC的直角边长度，再用勾股定理计算即可。首先正方形MBCN的边长为MN=2，对折后AC=1，BC=2，代入勾股定理就能求出AB。
（2）判断四边形BADQ的形状，先从折叠性质得到边、角的等量关系，再结合平行线的性质推导角相等，进而得到四边相等，即可判定图形形状。
（3）找黄金矩形时，先求出对应矩形的长和宽，再计算宽与长的比值，验证是否等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可，可选择矩形MNDE或矩形BCDE进行证明。
【解析】
（1）由题意得四边形MBCN是边长为2的正方形，将正方形对折后，$AC=\frac{1}{2}NC=1$，$BC=MN=2$，且$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
（2）四边形BADQ是菱形，证明如下：
由折叠的性质可得：$AB=AD$，$BQ=QD$，$∠ BAQ=∠ DAQ$。
∵ 纸片上下对边平行，
∴ $BQ// AD$，
∴ $∠ AQB=∠ DAQ$，
∴ $∠ AQB=∠ BAQ$，
∴ $AB=BQ$，
∴ $AD=AB=BQ=QD$，
∴ 四边形BADQ是菱形。
（3）示例：选择黄金矩形MNDE，证明如下：
由（1）可知$AD=AB=\sqrt{5}$，又$AN=AC=1$，
∴ $ND=AN+AD=1+\sqrt{5}$，
已知矩形MNDE的宽$MN=2$，
∴ $\frac{MN}{ND}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，
∴ 矩形MNDE是黄金矩形。
（也可选择矩形BCDE：$CD=AD-AC=\sqrt{5}-1$，$BC=2$，$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形BCDE也是黄金矩形）
【答案】
(1) $\sqrt{5}$
(2) 四边形BADQ是菱形，证明见解析
(3) 矩形MNDE（或矩形BCDE，答案不唯一），证明见解析
【知识点】
勾股定理；菱形的判定；黄金矩形的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查几何基础知识，解题核心是灵活运用折叠的性质得到相等的边和角，再结合相关几何定理推导计算即可，需要熟练掌握黄金矩形的判定标准。
【难度系数】
0.6
