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1 新情境数学文化 如图,该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形ABCD内,其中,四边形BCEF是正方形,E恰好是线段DC的黄金分割点(其中$CE＞ED$).有下面两个结论:
① $\frac{DE}{EC}=\frac{EC}{DC}$;② $\frac{DE}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.下列说法正确的是 (
A.①正确,②错误
B.①错误,②正确
C.①②都错误
D.①②都正确
(第1题)
① $\frac{DE}{EC}=\frac{EC}{DC}$;② $\frac{DE}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.下列说法正确的是 (
A
)A.①正确,②错误
B.①错误,②正确
C.①②都错误
D.①②都正确
(第1题)答案
1. A
解析
【分析】
解题需先明确黄金分割的定义：若点将一条线段分为较长段和较短段，满足较长段与全长的比值等于较短段与较长段的比值，则该点为线段的黄金分割点，较长段与全长的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先结合题中“E是DC的黄金分割点，$CE＞ED$”的条件，先验证结论①的比例是否符合黄金分割的定义，再推导结论②的比值是否正确，最终判断选项。
【解析】
已知E是线段DC的黄金分割点，且$CE＞ED$，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{CE}{DC}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{DE}{EC}=\frac{EC}{DC}$，因此结论①正确。
由黄金比的性质，较长段CE与全长DC的比值为黄金比，即$\frac{CE}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则$\frac{DE}{DC}=\frac{DC-CE}{DC}=1-\frac{CE}{DC}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此结论②错误。
综上，①正确，②错误，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义、比例线段计算
【点评】
本题结合艺术文化情境考查黄金分割的基础概念，解题的核心是准确区分黄金分割中较长段、较短线段与线段总长的对应比例关系，注意不要混淆较短线段与总长的比值和黄金比，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
解题需先明确黄金分割的定义：若点将一条线段分为较长段和较短段，满足较长段与全长的比值等于较短段与较长段的比值，则该点为线段的黄金分割点，较长段与全长的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先结合题中“E是DC的黄金分割点，$CE＞ED$”的条件，先验证结论①的比例是否符合黄金分割的定义，再推导结论②的比值是否正确，最终判断选项。
【解析】
已知E是线段DC的黄金分割点，且$CE＞ED$，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{CE}{DC}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{DE}{EC}=\frac{EC}{DC}$，因此结论①正确。
由黄金比的性质，较长段CE与全长DC的比值为黄金比，即$\frac{CE}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
则$\frac{DE}{DC}=\frac{DC-CE}{DC}=1-\frac{CE}{DC}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此结论②错误。
综上，①正确，②错误，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义、比例线段计算
【点评】
本题结合艺术文化情境考查黄金分割的基础概念，解题的核心是准确区分黄金分割中较长段、较短线段与线段总长的对应比例关系，注意不要混淆较短线段与总长的比值和黄金比，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
2 如图，C 是线段AB 的黄金分割点，若$S_1$表示以CA 为边的正方形的面积，$S_2$表示长为AB、宽为CB 的矩形的面积，则$S_1$与$S_2$之间的大小关系是
$S_1=S_2$
。答案
2. $S_1=S_2$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆黄金分割点的性质，若点C是线段AB的黄金分割点且AC为较长线段，则满足AC²=AB·CB；接下来分别用对应线段表示出S₁和S₂的面积表达式，最后对比两个表达式即可得到大小关系。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，
交叉相乘得：$AC^2=AB· BC$。
又
∵$S_1$是以CA为边的正方形的面积，
∴$S_1=AC^2$；
$S_2$是长为AB、宽为CB的矩形的面积，
∴$S_2=AB· BC$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
$S_1=S_2$
【知识点】
黄金分割的性质，正方形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用黄金分割的线段比例关系得到线段乘积等式，再结合常见图形的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆黄金分割点的性质，若点C是线段AB的黄金分割点且AC为较长线段，则满足AC²=AB·CB；接下来分别用对应线段表示出S₁和S₂的面积表达式，最后对比两个表达式即可得到大小关系。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，
交叉相乘得：$AC^2=AB· BC$。
又
∵$S_1$是以CA为边的正方形的面积，
∴$S_1=AC^2$；
$S_2$是长为AB、宽为CB的矩形的面积，
∴$S_2=AB· BC$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
$S_1=S_2$
【知识点】
黄金分割的性质，正方形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用黄金分割的线段比例关系得到线段乘积等式，再结合常见图形的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.8
3 [2025达州达川期末]如图，P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，AB=2，则BP的长为
$3-\sqrt{5}$
。答案
3. $3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路：首先明确黄金分割的定义，若点P是线段AB的黄金分割点且AP为较长线段，则较长线段与整条线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AB的总长度，我们可以先根据黄金分割的比例求出较长线段AP的长度，再利用线段和差关系$BP=AB-AP$即可算出BP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=2$，代入得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
又
∵$BP=AB-AP$
∴$BP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，牢记黄金分割的比值、分清较长线段和较短线段的对应关系是解题的关键，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确黄金分割的定义，若点P是线段AB的黄金分割点且AP为较长线段，则较长线段与整条线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AB的总长度，我们可以先根据黄金分割的比例求出较长线段AP的长度，再利用线段和差关系$BP=AB-AP$即可算出BP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=2$，代入得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
又
∵$BP=AB-AP$
∴$BP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，牢记黄金分割的比值、分清较长线段和较短线段的对应关系是解题的关键，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
4 [2025深圳光明期末]某观景平台为矩形，当短边与长边的比接近黄金比(约为0.618)时，视觉效果最佳.若该平台的长边为10 m，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为 (
A.3.82 m
B.5 m
C.6.18 m
D.7.2 m
C
)A.3.82 m
B.5 m
C.6.18 m
D.7.2 m
答案
4. C
解析
【分析】
首先明确题目核心条件：矩形观景平台短边与长边的比为黄金比（约0.618），已知长边长度为10m，要求短边长度。解题时先理清黄金比对应的数量关系：短边长度÷长边长度=黄金比，已知长边求短边，直接用长边长度乘以黄金比即可计算出结果。
【解析】
由题意可知，短边长度与长边长度的比值为黄金比≈0.618，即：
短边长度 = 长边长度 × 0.618
已知长边为10m，代入得：
短边长度 = 10 × 0.618 = 6.18（m）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；比例计算
【点评】
本题是黄金比在实际生活中的应用类基础题，解题的关键是准确理解题目中黄金比对应的边的比例关系，代入数值计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
首先明确题目核心条件：矩形观景平台短边与长边的比为黄金比（约0.618），已知长边长度为10m，要求短边长度。解题时先理清黄金比对应的数量关系：短边长度÷长边长度=黄金比，已知长边求短边，直接用长边长度乘以黄金比即可计算出结果。
【解析】
由题意可知，短边长度与长边长度的比值为黄金比≈0.618，即：
短边长度 = 长边长度 × 0.618
已知长边为10m，代入得：
短边长度 = 10 × 0.618 = 6.18（m）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；比例计算
【点评】
本题是黄金比在实际生活中的应用类基础题，解题的关键是准确理解题目中黄金比对应的边的比例关系，代入数值计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
5 新情境 学科融合 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感.如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B恰好是横画AC的黄金分割点(AB＞BC).若横画AC的长为2 cm，则AB的长为(结果精确到0.1 cm) (
A.0.8 cm
B.1.2 cm
C.1.4 cm
D.1.6 cm
(第5题) (第6题)
B
)A.0.8 cm
B.1.2 cm
C.1.4 cm
D.1.6 cm
(第5题) (第6题)
答案
5. B
解析
【分析】
解题首先需要明确黄金分割点的定义：若点B把线段AC分成两条线段AB和BC（AB＞BC），且AB是AC和BC的比例中项，就称点B是AC的黄金分割点，此时较长线段AB与总线段AC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。已知AC的长度，结合AB＞BC的条件，直接用总长度乘以黄金比即可求出AB的长度，最后将结果精确到0.1匹配选项即可。
【解析】
∵B是横画AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，
∴较长线段$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AC$，
已知$AC=2\mathrm{cm}$，代入得：
$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
∵$\sqrt{5}\approx2.236$，
∴$AB\approx2.236-1=1.236\approx1.2\mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 实数的近似计算
【点评】
本题结合汉字书写的情境考查黄金分割的实际应用，解题的关键是准确掌握黄金分割的比例关系，注意题干给出的$AB＞BC$的限制条件，避免混淆较长线段和较短线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题首先需要明确黄金分割点的定义：若点B把线段AC分成两条线段AB和BC（AB＞BC），且AB是AC和BC的比例中项，就称点B是AC的黄金分割点，此时较长线段AB与总线段AC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。已知AC的长度，结合AB＞BC的条件，直接用总长度乘以黄金比即可求出AB的长度，最后将结果精确到0.1匹配选项即可。
【解析】
∵B是横画AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，
∴较长线段$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AC$，
已知$AC=2\mathrm{cm}$，代入得：
$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
∵$\sqrt{5}\approx2.236$，
∴$AB\approx2.236-1=1.236\approx1.2\mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 实数的近似计算
【点评】
本题结合汉字书写的情境考查黄金分割的实际应用，解题的关键是准确掌握黄金分割的比例关系，注意题干给出的$AB＞BC$的限制条件，避免混淆较长线段和较短线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
6 教材变式题 如图，乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$，两个端点$A$，$B$固定在乐器面板上，支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，则支撑点$C$，$D$之间的距离为
$(80\sqrt{5}-160)$
$\mathrm{cm}.$答案
6. $(80\sqrt{5}-160)$
解析
【分析】
首先明确黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，靠近某一端点时，远离该端点的线段为较长线段，较长线段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍。本题解题思路如下：1. 根据支撑点C、D的位置，分别确定AC、BD是对应黄金分割下的较长线段，利用黄金比计算两条线段的长度；2. 分析线段和差关系：AC+BD的长度等于AB的长度加上重叠部分CD的长度，因此推导得$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点C是靠近点B的AB的黄金分割点，
∴较长线段$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
同理，点D是靠近点A的AB的黄金分割点，
∴较长线段$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段组成关系可得：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
因此$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
1. 黄金分割的定义 2. 线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割的实际应用类题目，解题核心是准确判断不同黄金分割点对应的较长线段，熟记黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合线段和差关系即可求解，解题时需注意区分靠近不同端点时的较长线段，避免混淆比例关系出错。
【难度系数】
0.7
首先明确黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，靠近某一端点时，远离该端点的线段为较长线段，较长线段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍。本题解题思路如下：1. 根据支撑点C、D的位置，分别确定AC、BD是对应黄金分割下的较长线段，利用黄金比计算两条线段的长度；2. 分析线段和差关系：AC+BD的长度等于AB的长度加上重叠部分CD的长度，因此推导得$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点C是靠近点B的AB的黄金分割点，
∴较长线段$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
同理，点D是靠近点A的AB的黄金分割点，
∴较长线段$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
由线段组成关系可得：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
因此$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
1. 黄金分割的定义 2. 线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割的实际应用类题目，解题核心是准确判断不同黄金分割点对应的较长线段，熟记黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合线段和差关系即可求解，解题时需注意区分靠近不同端点时的较长线段，避免混淆比例关系出错。
【难度系数】
0.7
7 人体上半身长和下半身长的黄金比约为0.618:1，这时人的身长比例看上去更美观。某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6 cm的高跟鞋。请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低。
答案
7. 设这双高跟鞋的高度为$x$ cm时,该演员的上半身长和下半身长的比是黄金比. 由题意,得 64：(102+x)=0.618：1,
$\therefore x\approx1.6. \because 6＞1.6,\therefore$ 这双高跟鞋的高度偏高
$\therefore x\approx1.6. \because 6＞1.6,\therefore$ 这双高跟鞋的高度偏高
解析
【分析】
要判断高跟鞋高度偏高还是偏低，首先需要算出刚好符合黄金比时所需的高跟鞋高度。穿高跟鞋时上半身长度不变，仍为64cm，下半身长度会增加高跟鞋的高度x cm，此时上半身长与下半身长的比等于黄金比0.618:1，据此列比例式求解出x，再将x的值和实际购买的6cm高跟鞋高度比较，即可得出结论。
【解析】
解：设这双高跟鞋的高度为$x$ cm时，该演员的上半身长和下半身长的比符合黄金比。
穿高跟鞋后上半身长仍为64cm，下半身长变为$(102+x)$cm，根据黄金比定义列比例式：
$64:(102+x)=0.618:1$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，得：
$0.618×(102+x)=64$
展开计算：$63.036+0.618x=64$
移项得：$0.618x=0.964$
解得：$x\approx1.6$
已知实际高跟鞋高度为6cm，$6＞1.6$，因此这双高跟鞋的高度偏高。
【答案】
这双高跟鞋的高度偏高
【知识点】
黄金分割、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，解题核心是抓住“穿高跟鞋仅改变下半身长度，上半身长度不变”的要点，结合黄金比的定义列方程计算即可，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断高跟鞋高度偏高还是偏低，首先需要算出刚好符合黄金比时所需的高跟鞋高度。穿高跟鞋时上半身长度不变，仍为64cm，下半身长度会增加高跟鞋的高度x cm，此时上半身长与下半身长的比等于黄金比0.618:1，据此列比例式求解出x，再将x的值和实际购买的6cm高跟鞋高度比较，即可得出结论。
【解析】
解：设这双高跟鞋的高度为$x$ cm时，该演员的上半身长和下半身长的比符合黄金比。
穿高跟鞋后上半身长仍为64cm，下半身长变为$(102+x)$cm，根据黄金比定义列比例式：
$64:(102+x)=0.618:1$
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，得：
$0.618×(102+x)=64$
展开计算：$63.036+0.618x=64$
移项得：$0.618x=0.964$
解得：$x\approx1.6$
已知实际高跟鞋高度为6cm，$6＞1.6$，因此这双高跟鞋的高度偏高。
【答案】
这双高跟鞋的高度偏高
【知识点】
黄金分割、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，解题核心是抓住“穿高跟鞋仅改变下半身长度，上半身长度不变”的要点，结合黄金比的定义列方程计算即可，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
