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1 如图，$l_1 // l_2 // l_3$，下列比例式中，不正确的是（
A.$\frac{AD}{DF} = \frac{BC}{CE}$
B.$\frac{AD}{BC} = \frac{DF}{CE}$
C.$\frac{AB}{CD} = \frac{CD}{EF}$
D.$\frac{AF}{AD} = \frac{BE}{BC}$
C
）A.$\frac{AD}{DF} = \frac{BC}{CE}$
B.$\frac{AD}{BC} = \frac{DF}{CE}$
C.$\frac{AB}{CD} = \frac{CD}{EF}$
D.$\frac{AF}{AD} = \frac{BE}{BC}$
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段（被截直线上的线段）成比例。解题时首先明确哪两条是被截直线，找出各对应线段，再结合比例的基本性质逐一判断选项是否正确，注意平行线上截得的线段没有题中C选项所示的必然比例关系。
【解析】
已知$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理：
1. 对应线段成比例可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，故A选项正确；
2. 将A选项的比例式交叉变形，可得$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$，故B选项正确；
3. 结合总线段与部分线段的对应比例关系，可得$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$，故D选项正确；
4. AB、CD、EF是三条平行线上截得的线段，平行线分线段成比例定理不涉及此类平行线上线段的比例关系，无法推出$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}$，故C选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确区分被截直线上的线段和平行线上的线段，找准对应关系即可快速判断，混淆对应线段是主要易错点。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段（被截直线上的线段）成比例。解题时首先明确哪两条是被截直线，找出各对应线段，再结合比例的基本性质逐一判断选项是否正确，注意平行线上截得的线段没有题中C选项所示的必然比例关系。
【解析】
已知$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理：
1. 对应线段成比例可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，故A选项正确；
2. 将A选项的比例式交叉变形，可得$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$，故B选项正确；
3. 结合总线段与部分线段的对应比例关系，可得$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$，故D选项正确；
4. AB、CD、EF是三条平行线上截得的线段，平行线分线段成比例定理不涉及此类平行线上线段的比例关系，无法推出$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}$，故C选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确区分被截直线上的线段和平行线上的线段，找准对应关系即可快速判断，混淆对应线段是主要易错点。
【难度系数】
0.75
2 [2025 乐山]如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=2$，$DE=3$，$BC=4$，则$EF$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的三条平行直线的条件，回忆平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；其次找准截得的对应线段，即线段AB、BC与DE、EF是对应线段，列出比例关系；最后将已知线段长度代入比例式，计算求出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线截得的对应线段，避免对应线段混淆，只要熟练掌握平行线分线段成比例定理的内容，代入数值计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的三条平行直线的条件，回忆平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；其次找准截得的对应线段，即线段AB、BC与DE、EF是对应线段，列出比例关系；最后将已知线段长度代入比例式，计算求出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线截得的对应线段，避免对应线段混淆，只要熟练掌握平行线分线段成比例定理的内容，代入数值计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3 [2025哈尔滨]如图，AB//CD//EF. 若BC = 5，CE = 8，则$\frac{AD}{DF}=$
$\frac{5}{8}$
. 答案
$\frac{5}{8}$
解析
【分析】
首先观察题目条件：AB、CD、EF三条直线互相平行，两条截线截这组平行线得到线段BC、CE和AD、DF。我们可以运用平行线分线段成比例定理解题，该定理指出两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。只需找到与AD、DF对应的线段，即可求出二者的比值，其中AD对应BC，DF对应CE，代入已知长度计算即可。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
又$\because BC=5$，$CE=8$，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$。
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别成比例的对应线段，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件：AB、CD、EF三条直线互相平行，两条截线截这组平行线得到线段BC、CE和AD、DF。我们可以运用平行线分线段成比例定理解题，该定理指出两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。只需找到与AD、DF对应的线段，即可求出二者的比值，其中AD对应BC，DF对应CE，代入已知长度计算即可。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
又$\because BC=5$，$CE=8$，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$。
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别成比例的对应线段，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 如图，直线$l_1,l_2,l_3$分别截直线$l_4$于点$A,B,C$，截直线$l_5$于点$D,E,F$，且$l_1// l_2// l_3$。
(1)若$AB=3,BC=6,DE=4$，求$EF$的长；
(2)若$DE:EF=2:3,AC=25$，求$AB$的长。
(1)若$AB=3,BC=6,DE=4$，求$EF$的长；
(2)若$DE:EF=2:3,AC=25$，求$AB$的长。
答案
(1) $\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\because AB=3,BC=6,DE=4,$
$\therefore \frac{3}{6}=\frac{4}{EF}.\therefore EF=8$
(2) $\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}.$
$\because DE:EF=2:3,AC=25,\therefore \frac{2}{3}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{AC-AB},即\frac{2}{3}=\frac{AB}{25-AB}.\therefore AB=10$
$\therefore \frac{3}{6}=\frac{4}{EF}.\therefore EF=8$
(2) $\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}.$
$\because DE:EF=2:3,AC=25,\therefore \frac{2}{3}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{AC-AB},即\frac{2}{3}=\frac{AB}{25-AB}.\therefore AB=10$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：(1) 根据“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，可直接得到AB与BC的比等于DE与EF的比，将已知的AB、BC、DE的长度代入比例式，即可求解EF的长度；(2) 同样先由平行线分线段成比例得到AB与BC的比等于DE与EF的比，结合DE:EF=2:3，可知AB:BC=2:3，再利用AC=AB+BC=25，将BC替换为AC-AB，代入比例式即可求解AB的长度。
【解析】
(1) 因为 $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知 $ AB=3, BC=6, DE=4 $，代入得 $\frac{3}{6}=\frac{4}{EF}$，
交叉相乘计算得 $ 3EF = 24 $，解得 $ EF=8 $。
(2) 因为 $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$。
已知 $ DE:EF=2:3 $，所以 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$。
又因为 $ AC=AB+BC=25 $，即 $ BC=25-AB $，代入比例式得：
$\frac{2}{3}=\frac{AB}{25-AB}$，
交叉相乘得 $ 2(25-AB)=3AB $，
展开整理得 $ 5AB=50 $，解得 $ AB=10 $。
【答案】
(1) $ EF=8 $；(2) $ AB=10 $
【知识点】
1. 平行线分线段成比例 2. 比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础典型题，解题核心是准确识别对应线段、正确列出比例式，能帮助学生巩固对定理中“对应线段成比例”的理解，掌握利用比例式求解线段长度的方法。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：(1) 根据“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，可直接得到AB与BC的比等于DE与EF的比，将已知的AB、BC、DE的长度代入比例式，即可求解EF的长度；(2) 同样先由平行线分线段成比例得到AB与BC的比等于DE与EF的比，结合DE:EF=2:3，可知AB:BC=2:3，再利用AC=AB+BC=25，将BC替换为AC-AB，代入比例式即可求解AB的长度。
【解析】
(1) 因为 $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知 $ AB=3, BC=6, DE=4 $，代入得 $\frac{3}{6}=\frac{4}{EF}$，
交叉相乘计算得 $ 3EF = 24 $，解得 $ EF=8 $。
(2) 因为 $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$。
已知 $ DE:EF=2:3 $，所以 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$。
又因为 $ AC=AB+BC=25 $，即 $ BC=25-AB $，代入比例式得：
$\frac{2}{3}=\frac{AB}{25-AB}$，
交叉相乘得 $ 2(25-AB)=3AB $，
展开整理得 $ 5AB=50 $，解得 $ AB=10 $。
【答案】
(1) $ EF=8 $；(2) $ AB=10 $
【知识点】
1. 平行线分线段成比例 2. 比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础典型题，解题核心是准确识别对应线段、正确列出比例式，能帮助学生巩固对定理中“对应线段成比例”的理解，掌握利用比例式求解线段长度的方法。
【难度系数】
0.8
5 新情境 生活实际 如图①是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图②，其中，$BC// DE// FG$，$AD=50\ \mathrm{cm}$，$DF=50\ \mathrm{cm}$。若$AG=150\ \mathrm{cm}$，则线段$EG$的长为（
A.$75\ \mathrm{cm}$
B.$105\ \mathrm{cm}$
C.$120\ \mathrm{cm}$
D.$125\ \mathrm{cm}$
（第5题）（第6题）
A
）A.$75\ \mathrm{cm}$
B.$105\ \mathrm{cm}$
C.$120\ \mathrm{cm}$
D.$125\ \mathrm{cm}$
（第5题）（第6题）
答案
A
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例的推论求解。首先先求出线段AF的总长度，再根据DE//FG，得到三角形中对应线段的比例关系，计算出AE的长度，最后用AG的总长减去AE的长度即可得到EG的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AD=50\ \mathrm{cm}$，$DF=50\ \mathrm{cm}$，因此$AF=AD+DF=50+50=100\ \mathrm{cm}$。
因为$DE// FG$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AG}$
将$AD=50\ \mathrm{cm}$，$AF=100\ \mathrm{cm}$，$AG=150\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{50}{100}=\frac{AE}{150}$
解得$AE=75\ \mathrm{cm}$。
因此$EG=AG-AE=150-75=75\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中阶梯花架的实际情境，考查平行线分线段成比例的应用，解题的关键是找准对应线段，列出正确的比例式，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用平行线分线段成比例的推论求解。首先先求出线段AF的总长度，再根据DE//FG，得到三角形中对应线段的比例关系，计算出AE的长度，最后用AG的总长减去AE的长度即可得到EG的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AD=50\ \mathrm{cm}$，$DF=50\ \mathrm{cm}$，因此$AF=AD+DF=50+50=100\ \mathrm{cm}$。
因为$DE// FG$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AG}$
将$AD=50\ \mathrm{cm}$，$AF=100\ \mathrm{cm}$，$AG=150\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{50}{100}=\frac{AE}{150}$
解得$AE=75\ \mathrm{cm}$。
因此$EG=AG-AE=150-75=75\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中阶梯花架的实际情境，考查平行线分线段成比例的应用，解题的关键是找准对应线段，列出正确的比例式，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
6 [2025青海]如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，且$AD=3$，$DB=2$，则$\dfrac{AE}{AC}$的值是
$\frac{3}{5}$
。答案
$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
要计算$\dfrac{AE}{AC}$的值，首先观察图形特征：$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。由此可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$，接下来先求出$AB$的长度，再代入数值计算即可得到所求比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
根据平行线分线段成比例的推论，可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$。
已知$AD=3$，$DB=2$，
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$，
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 线段和差计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题时需准确识别平行关系，找准对应成比例的线段，再结合已知线段长度计算即可，易错点是容易混淆对应线段的比例关系。
【难度系数】
0.85
要计算$\dfrac{AE}{AC}$的值，首先观察图形特征：$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。由此可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$，接下来先求出$AB$的长度，再代入数值计算即可得到所求比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
根据平行线分线段成比例的推论，可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$。
已知$AD=3$，$DB=2$，
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$，
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 线段和差计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题时需准确识别平行关系，找准对应成比例的线段，再结合已知线段长度计算即可，易错点是容易混淆对应线段的比例关系。
【难度系数】
0.85
7 如图，在$△ ABC$中，$DE// AC$，$DF// BC$，$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{2}{3}$，$BE=9$，则$DF$的长为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$5$
C.$6$
D.$15$
C
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$5$
C.$6$
D.$15$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察图形中的平行条件，由DF//BC、DE//AC可判定四边形DECF是平行四边形，由此可得DF=EC，将求DF长度的问题转化为求EC的长度。再根据DE//AC，利用平行线分线段成比例的性质，可得到BE与EC的比值等于BD与AD的比值，结合已知的$\frac{AD}{BD}$和BE的长度，代入计算即可求出EC，即DF的长度。
【解析】
解：
∵DF//BC，DE//AC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴DF=EC。
∵DE//AC，
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EC}$。
已知$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，则$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，又BE=9，
代入得$\frac{3}{2}=\frac{9}{EC}$，
解得$EC=\frac{9×2}{3}=6$，
∴DF=EC=6。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例和平行四边形的相关知识，解题核心是通过平行四边形的性质对所求线段进行转化，再利用平行线分线段成比例的关系列式求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形中的平行条件，由DF//BC、DE//AC可判定四边形DECF是平行四边形，由此可得DF=EC，将求DF长度的问题转化为求EC的长度。再根据DE//AC，利用平行线分线段成比例的性质，可得到BE与EC的比值等于BD与AD的比值，结合已知的$\frac{AD}{BD}$和BE的长度，代入计算即可求出EC，即DF的长度。
【解析】
解：
∵DF//BC，DE//AC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴DF=EC。
∵DE//AC，
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EC}$。
已知$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，则$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，又BE=9，
代入得$\frac{3}{2}=\frac{9}{EC}$，
解得$EC=\frac{9×2}{3}=6$，
∴DF=EC=6。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例和平行四边形的相关知识，解题核心是通过平行四边形的性质对所求线段进行转化，再利用平行线分线段成比例的关系列式求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$和$△ ACG$中，$DE// BC$，$EF// CG$，$AD:AB=1:3$，$AE=3$。
（1）求$EC$的长；
（2）求证：$AD· AG=AF· AB$。
（1）求$EC$的长；
（2）求证：$AD· AG=AF· AB$。
答案
(1) $\because DE// BC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}.\because \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},AE=3,$
$\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}.\therefore AC=9.\therefore EC=AC-AE=9-3=6$
(2) 由(1)知,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\because EF// CG,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}.\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG},即AD· AG=AF· AB$
$\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}.\therefore AC=9.\therefore EC=AC-AE=9-3=6$
(2) 由(1)知,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\because EF// CG,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}.\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG},即AD· AG=AF· AB$
解析
【分析】
（1）求EC的长，已知AE长度，只需先求出AC长度即可。由$DE// BC$，根据平行线分三角形两边成比例的性质，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，代入已知的$AD:AB=1:3$和$AE=3$即可计算出AC，再用AC减去AE就能得到EC的长。
（2）要证明等积式$AD· AG=AF· AB$，可先根据比例的基本性质转化为证明比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$。由（1）已得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，再结合$EF// CG$，利用平行线分线段成比例的性质可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，等量代换即可得到所需比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
（1）解：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},AE=3$，
$\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=9$，
$\therefore EC=AC-AE=9-3=6$。
（2）证明：由（1）可知$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
$\because EF// CG$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
交叉相乘得$AD· AG=AF· AB$，得证。
【答案】
（1）$\boldsymbol{EC=6}$；
（2）证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查平行线分线段成比例性质的应用，解题关键是找准平行线对应的成比例线段，证明等积式时优先转化为比例式结合已知条件推导，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
（1）求EC的长，已知AE长度，只需先求出AC长度即可。由$DE// BC$，根据平行线分三角形两边成比例的性质，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，代入已知的$AD:AB=1:3$和$AE=3$即可计算出AC，再用AC减去AE就能得到EC的长。
（2）要证明等积式$AD· AG=AF· AB$，可先根据比例的基本性质转化为证明比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$。由（1）已得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，再结合$EF// CG$，利用平行线分线段成比例的性质可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，等量代换即可得到所需比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
（1）解：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},AE=3$，
$\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=9$，
$\therefore EC=AC-AE=9-3=6$。
（2）证明：由（1）可知$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
$\because EF// CG$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
交叉相乘得$AD· AG=AF· AB$，得证。
【答案】
（1）$\boldsymbol{EC=6}$；
（2）证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查平行线分线段成比例性质的应用，解题关键是找准平行线对应的成比例线段，证明等积式时优先转化为比例式结合已知条件推导，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
